Beweis Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | a) Sei f: D -> [mm] \IR [/mm] stetig in a [mm] \in [/mm] D. Weiterhin sei f(a) > 0. Dann gilt:
[mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (a - [mm] \delta, a+\delta) \cap [/mm] D : f(x) >0
b) Seien f : D -> [mm] \IR, [/mm] g: D´-> [mm] \IR [/mm] Funktionen mit f(D) [mm] \subset [/mm] D´. Ist f stetig in a [mm] \in [/mm] D und ist g stetig in f(a), dann ist g [mm] \circ [/mm] f stetig in a. |
Hallo,
auch hier hab ich keinen blassen Schimmer! Bitte um Hilfe...
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> a) Sei f: D -> [mm]\IR[/mm] stetig in a [mm]\in[/mm] D. Weiterhin sei f(a) >
> 0. Dann gilt:
> [mm]\exists \delta[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] (a - [mm]\delta, a+\delta) \cap[/mm]
> D : f(x) >0
Es ist doch klar, weshalb die Behauptung gilt: denn wenn [mm]f(a)>0[/mm] ist, gibt es ein [mm]\delta > 0[/mm], so dass sich der Funktionswert [mm]f(x)[/mm] um weniger als z.B. [mm]\frac{f(a)}{2}[/mm] verändert, sofern [mm]|x-a|<\delta[/mm]. Im Detail:
Aus der Stetigkeit von [mm]f[/mm] an der Stelle [mm]a[/mm] und [mm]f(a)>0[/mm] folgt, dass es ein [mm]\delta > 0[/mm] gibt, derart dass für alle [mm]x\in (a - \delta, a+\delta)\cap D[/mm] gilt:
[mm]|f(x)-f(a)|< \frac{f(a)}{2}[/mm]
Dies ist im wesentlichen die zu beweisende Behauptung, denn daraus folgt, dass [mm]f(x)>\frac{a}{2}> 0[/mm] sein muss.
> b) Seien f : D -> [mm]\IR,[/mm] g: D´-> [mm]\IR[/mm] Funktionen mit f(D)
> [mm]\subset[/mm] D´. Ist f stetig in a [mm]\in[/mm] D und ist g stetig in
> f(a), dann ist g [mm]\circ[/mm] f stetig in a.
Hier musst Du einfach die Stetigkeit der beiden Funktionen anwenden, um zu einem vorgegebenen [mm]\varepsilon > 0 [/mm] ein passendes [mm]\delta > 0[/mm] zu finden, so dass für alle [mm]|x-a|< \delta[/mm] gilt:
[mm]|g(f(x))-g(f(a))| < \varepsilon[/mm]
Im Detail: Sei also [mm]\varepsilon > 0[/mm] vorgegeben. Da [mm]g[/mm] stetig ist in [mm]f(a)[/mm] gibt es ein [mm]\delta_g > 0[/mm], so dass für alle [mm]y[/mm] mit [mm]|y-f(a)| < \delta_g[/mm] gilt:
[mm]|g(y)-g(f(a))| < \varepsilon[/mm]Da [mm]f[/mm] stetig ist in [mm]a[/mm] gibt es zudem ein [mm]\delta>0[/mm], so dass für alle [mm]x[/mm] mit [mm]|x-a| < \delta[/mm] gilt:
[mm]|f(x)-f(x)| < \delta_g[/mm]
Insgesamt erhält man somit was zu beweisen war: nämlich, dass für alle [mm]x[/mm] mit [mm]|x-a|<\delta[/mm] gilt:
[mm]|g(f(x))-g(f(a))| < \varepsilon[/mm]
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