Beweis Stufenform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Di 30.12.2008 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
Ich suche einen mathematisch (also vom aufschreiben her) korrekten Beweis, dass man jede Matrix in eine Stufenform bringen kann. Vom logischen Denken her erscheint mir das recht sinnvoll, dass man nach mehr oder weniger vielen Umformungen auf eine passende Form kommt, aber mathematisch aufschreiben kann ich es nicht.
Also meine Idee wäre so gewesen:
Man nehme eine Matrix A mit Zeilenanzahl m = 1. Wenn diese nicht in Stufenform ist, dann führe Umformung M aus. Eben welche Umformung dies wäre fällt mir nicht ein. Da gibt es doch bestimmt eine mathematisch recht einfache Ausdrucksweise für oder?
Nun müsste ich nur noch zeigen, dass ich, je nach Umformung "bestimmen" kann an welcher Stelle die 1 in der Ziele steht. Somit könnte ich jede Zeile auf eine bestimmte Form bringen (also in welcher Spalte die "1" mit vorrangehenden Nullen steht) und komme so auf die Stufenform.
So viel zu meiner Idee, wie gesagt wie ich die Umformung ausdrücken soll weiss ich nicht.
Müsste ich bei dieser Beweisführung noch den Sonderfall einbauen, wenn alle Einträge in einer Zeile = 0 sind?
Danke!
P.S: Wenn ich mir nun total "bullshit" gedacht habe, dann berichtigt mich gerne. Ein Link zu einem Beweis wäre auch recht hilfreich.
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Hallo Pille456,
das klingt schon gut.
Hier zwei kleine Funde: auf Seite 64 ![[]](/images/popup.gif) dieses Skripts und auf Seite 47 hier wirst Du fündig.
Mehr kannst Du leicht suchen, wenn Du die Stichwörter Beweis und Zeilenstufenform in eine Suchmaschine eingibst.
lg,
reverend
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Ahh danke, hatte zwar auch schon gesucht, aber nichts anständiges gefunden.
Dein erster Link sieht doch recht eingängig aus, jedoch verstehe ich dabei den dritten Schritt des Beweises zum Teil nicht.
Dort lautet der Beweis wie folgt:
"Die j-te Spalte sei die erste, die nicht nur aus Nullen besteht. [mm] j_{1} [/mm] = j
1) Heraufbringen: Ein Zeilentausch (iii) bringt [mm] a_{1j} \not= [/mm] 0
2) Normieren: Anwenden von (i) bewirkt [mm] a_{1j} [/mm] = 1
3) Ausräumen: Durch Ersetzen von [mm] v_{i} [/mm] durch [mm] v_{i} [/mm] − [mm] a_{ij}v_{1} [/mm] erhält die Matrix bis zur j-ten Spalte die gewünschte Form
Jetzt betrachte die Matrix ohne die 1. Zeile und wähle j2. Mache Schritt 1, 2,3 und beachte, daß sich auch in Schritt 3 der wesentliche Teil der ursprünglich ersten Zeile nicht ändert usw."
Wie genau ist der Satz "Durch Ersetzen von [mm] v_{i} [/mm] durch [mm] v_{i} [/mm] − [mm] a_{ij}v_{1}" [/mm] zu verstehen?
EDIT: Glaube ich habe es verstanden - habe mir dazu auch mal ein Beispiel aufgeschrieben:
[mm] \pmat{ 4 & 8 & 12 \\ 8 & 6 & 2 \\ 10 & 14 & 8} [/mm] | :4 (Z1) [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 8 & 6 & 2 \\ 10 & 14 & 8} [/mm] Z2 - [mm] Z2_1*Z1_i, [/mm] d.h:
8 - 1*8 = 0; 6 - 2*8 = -10; 2 - 3*8 = - 22 [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -10 & -22 \\ 10 & 14 & 8}
[/mm]
... [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2,2 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Wenn das so richtig ist: Geht das nicht auch noch etwas einfacherer? Bei allen Beispiele oder was ich so zu den Beweisen gefunden habe, wird das in viel weniger Schritten gemacht. Klar wird da bestimmt was gekürzt sein, aber irgendwie kommt mir das zu viel vor :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 01.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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