Beweis Summenformel < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Aufgabe 4
(a) Zeige für n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \produkt_{k=1}^{n}a_{k} [/mm] - [mm] \produkt_{k=1}^{n}b_{k} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}(\produkt_{k=j+1}^{n}a_{k})*(a_{j} [/mm] - [mm] b_{j})*(\produkt_{k=1}^{j-1}b_{k}) [/mm] |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 4
(b) Seien [mm] f_{m}, ...,f_{n+1},g_{m}, [/mm] ..., [mm] g_{n+1} [/mm] reelle Zahlen mit m,n [mm] \in \IZ, [/mm] m<n. Zeige
[mm] \summe_{k=m}^{n}f_{k}*(g_{k+1}-g_{k}) [/mm] = [mm] f_{n+1}*g_{n+1}-f_{m}*g_{m}-\summe_{k=m}^{n}(f_{k+1}-f_{k})*g_{k+1} [/mm] |
Hallo,
zu Aufgabe 4 (a): Ich habe versucht sie per Induktion nach n zu lösen. Induktionsanfang n=1 ist klar und funktioniert auch. Aber beim Induktionsschluss n [mm] \to [/mm] n+1 habe ich schon Schwierigkeiten, diesen auf die Induktionsvorraussetzung zurückzuführen, denn:
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}a_{k} [/mm] - [mm] \produkt_{k=1}^{n+1}b_{k} [/mm] = [mm] (\produkt_{k=1}^{n}a_{k})*(a_{n+1})-(\produkt_{k=1}^{n}b_{k})*(b_{n+1})
[/mm]
Hier weiß ich nicht, wie ich die beiden Produktzeichen isolieren kann, sodass ich die Induktionsvorraussetzung anwenden kann.
Zu Aufgabe 4 (b): Hier fehlt mir jeglicher Ansatz, weil m, n [mm] \in \IZ [/mm] sind. Ich hatte mir gedacht, den Bereich auf [mm] \IN [/mm] zu verkleinern, damit ich auch eine Induktion durchführen kann, aber ich weiß nicht, ob man das so machen kann? Weil m und n sind ja einfach nur die Indizes, deswegen dürfte es ja eigentlich keine Rolle spielen, wie die Folgen heißen?!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Aufgabe 4
>
> (a) Zeige für n [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}a_{k}[/mm] - [mm]\produkt_{k=1}^{n}b_{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{j=1}^{n}(\produkt_{k=j+1}^{n}a_{k})*(a_{j}[/mm] -
> [mm]b_{j})*(\produkt_{k=1}^{j-1}b_{k})[/mm]
> Aufgabe 4
>
> (b) Seien [mm]f_{m}, ...,f_{n+1},g_{m},[/mm] ..., [mm]g_{n+1}[/mm] reelle
> Zahlen mit m,n [mm]\in \IZ,[/mm] m<n. zeige<br="">>
> [mm]\summe_{k=m}^{n}f_{k}*(g_{k+1}-g_{k})[/mm] =
> [mm]f_{n+1}*g_{n+1}-f_{m}*g_{m}-\summe_{k=m}^{n}(f_{k+1}-f_{k})*g_{k+1}[/mm]
> Hallo,
>
> zu Aufgabe 4 (a): Ich habe versucht sie per Induktion nach
> n zu lösen. Induktionsanfang n=1 ist klar und funktioniert
> auch. Aber beim Induktionsschluss n [mm]\to[/mm] n+1 habe ich schon
> Schwierigkeiten, diesen auf die Induktionsvorraussetzung
> zurückzuführen, denn:
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n+1}a_{k}[/mm] - [mm]\produkt_{k=1}^{n+1}b_{k}[/mm] =
> [mm](\produkt_{k=1}^{n}a_{k})*(a_{n+1})-(\produkt_{k=1}^{n}b_{k})*(b_{n+1})[/mm]
>
Hier würde ich "hinten" anfangen. Überprüfe aber bitte dich nochmal deine Klammerung, das scheint mir nicht ganz "sauber geklammert" zu sein.
[mm] $\summe_{j=1}^{n+1}(\produkt_{k=j+1}^{n+1}a_{k})\cdot(a_{j}-b_{j})\cdot(\produkt_{k=1}^{j-1}b_{k})$
[/mm]
[mm] $=\summe_{j=1}^{n+1}a_{n+1}\produkt_{k=j+1}^{n}a_{k})\cdot(a_{j}-b_{j})\cdot(\produkt_{k=1}^{j-1}b_{k})$
[/mm]
<n. zeige<br="">
> Hier weiß ich nicht, wie ich die beiden Produktzeichen
> isolieren kann, sodass ich die Induktionsvorraussetzung
> anwenden kann.
>
> Zu Aufgabe 4 (b): Hier fehlt mir jeglicher Ansatz, weil m,
> n [mm]\in \IZ[/mm] sind. Ich hatte mir gedacht, den Bereich auf [mm]\IN[/mm]
> zu verkleinern, damit ich auch eine Induktion durchführen
> kann, aber ich weiß nicht, ob man das so machen kann? Weil
> m und n sind ja einfach nur die Indizes, deswegen dürfte
> es ja eigentlich keine Rolle spielen, wie die Folgen
> heißen?!
Du musst hier zum Indunktionsschritt n -> n+1 auch einen zweiten Induktionsschritt n -> n-1 machen.
Marius
</n.>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 So 13.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Aufgabe b)
> Du musst hier zum Indunktionsschritt n -> n+1 auch einen
> zweiten Induktionsschritt n -> n-1 machen.
Fixiere alternativ [mm] m\in\IZ [/mm] und mache Induktion über k, wobei k:=n-m.
LG
|
|
|
| |
|
Danke euch beiden. Aufgabe 4 (a) von ,,hinten" ging ohne Probleme und die 4 (b) habe ich mit zweifacher Induktion gelöst. :)
|
|
|
|
