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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Di 22.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie - falls vorhanden - das Inf, Sup, Min und Max der folgenden Teilmengen der reelen Zahlen. Benutzen Sie die Charakterisierung des Infimums bzw. Supremums.
a) [mm] A_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} +\bruch{1}{m} [/mm] | n,m [mm] \in \IN [/mm] . [mm] \IN [/mm] {1,2,3...} |
Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe! Und zwar geht es mir um diesen Teil der Aufgabe: "Benutzen Sie die Charakterisierung des Infimums bzw. Supremums"
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} +\bruch{1}{m}
[/mm]
Es gilt sup [mm] (A_{1}) [/mm] = 2
Setze für m,n = 1 -> [mm] \bruch{1}{1} +\bruch{1}{1} \le [/mm] 2 [mm] \gdw [/mm] 2 [mm] \le [/mm] 2 (w.A)
Für bel m,n > 1 wird [mm] A_{1} [/mm] Werte unterhalb von 2 annehmen und gegen Null laufen. 2 ist demnach eine obere Schranke und Maximum.
Es gilt [mm] inf(A_{1}) [/mm] =0
Wenn m,n gegen unendlich läuft, dann läuft [mm] \bruch{1}{n} +\bruch{1}{m} [/mm] gegen 0. Damit ist Null eine untere Schranke aber kein Minumum, da Null für m,n in [mm] [1,\infty] [/mm] nicht erreicht wird.
Kann man das so lassen, ich denke eher nicht! Bitte um Hilfe...
Danke und Grüße
Diese Frage habe ich noch in keinem Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mi 23.05.2007 | | Autor: | zetamy |
> Bestimmen Sie - falls vorhanden - das Inf, Sup, Min und Max
> der folgenden Teilmengen der reelen Zahlen. Benutzen Sie
> die Charakterisierung des Infimums bzw. Supremums.
>
> a) [mm]A_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} +\bruch{1}{m}[/mm] | n,m [mm]\in \IN[/mm] .
> [mm]\IN[/mm] {1,2,3...}
> Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe! Und zwar geht es mir
> um diesen Teil der Aufgabe: "Benutzen Sie die
> Charakterisierung des Infimums bzw. Supremums"
>
>
> [mm]A_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} +\bruch{1}{m}[/mm]
>
> Es gilt sup [mm](A_{1})[/mm] = 2
>
> Setze für m,n = 1 -> [mm]\bruch{1}{1} +\bruch{1}{1} \le[/mm] 2 [mm]\gdw[/mm]
> 2 [mm]\le[/mm] 2 (w.A)
> Für bel m,n > 1 wird [mm]A_{1}[/mm] Werte unterhalb von 2 annehmen
> und gegen Null laufen. 2 ist demnach eine obere Schranke
> und Maximum.
Richtig, es gilt sup [mm](A_{1})[/mm] = max[mm](A_{1})[/mm] = 2
>
> Es gilt [mm]inf(A_{1})[/mm] =0
>
> Wenn m,n gegen unendlich läuft, dann läuft [mm]\bruch{1}{n} +\bruch{1}{m}[/mm]
> gegen 0. Damit ist Null eine untere Schranke aber kein
> Minumum, da Null für m,n in [mm][1,\infty][/mm] nicht erreicht
> wird.
Auch richtig. Aber [mm] m,n\in [1,\infty] [/mm] ist falsch. Da Intervalle immer auf dem Raum der reellen Zahlen definiert sind, du aber mit den nat. Zahlen rechnest, schreibe besser: für alle [mm] n,m\in \IN[/mm]
>
> Kann man das so lassen, ich denke eher nicht! Bitte um
> Hilfe...
Wenn es ganz geneu machen willst, kannst die Behauptungen mit Induktion beweisen, also [mm]A_{1}=\bruch{1}{n} +\bruch{1}{m}\le 2[/mm] und [mm]A_{1}=\bruch{1}{n} +\bruch{1}{m}> 0[/mm] für alle [mm]n,m \in \IN[/mm]
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> Danke und Grüße
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