Beweis Surjektivität/Injektivi < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei eine Abbildung f definiert durch:
f: [mm] \IR \rightarrow \left[ 1;-1 \right]
[/mm]
x [mm] \rightarrow \bruch{x}{1+ \left| x \right|}
[/mm]
Beweisen Sie, dass f bijektiv ist. |
Hallo,
ich studiere Mathematik auf Lehramt -.- und schreibe in vier Wochen eine Klausur in fachwissenschaftliche Grundlagen. Glücklicherweise wurde der Rest für Förderschule/Grundschule vereinfacht, so dass ich jetzt wohl nur noch diese Klausur bestehen muss und dann die höhere Mathematik hinter mir hab. Das ist der pure Horror.
Mir ist prinzipiell vollkommen klar, wie ich beweise, dass eine Funktion bijektiv ist, sprich die Injektivität und die Surjektivität beweise. Aber ich komme mit den Betragsstrichen absolut nicht klar.
Muss ich da eine Fallunterscheidung machen?
-.- Wäre lieb, wenn ihr mir schnellst möglich helfen könntet.
Wenn hier jemand ist, der davon viel Ahnung hat, und evt. auch ICQ hat, dann wäre ich auch absolut dankbar, wenn man vielleicht ICQNummern tauschen könnte. Ich hoffe, dass ich diese blöde Klausur irgendwie packe und wenn es ne 4,0 wird, ist es auch egal.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
Mit der Fallunterscheidung liegst du richtig! Es gibt insgesamt vier Fälle:
1) [mm] $x\ge 0\wedge y\ge [/mm] 0$
2) [mm] $x<0\wedge [/mm] y<0$
3) [mm] $x\ge 0\wedge [/mm] y<0$
4) [mm] $x<0\wedge y\ge [/mm] 0$
Nun für jeden Fall Injektivität überprüfen:
Seien [mm] $x,y\in\IR$:
[/mm]
[mm] $\frac{x}{1+|x|}=\frac{y}{1+|y|}\gdw [/mm] x+x|y|=y+y|x|$
1) [mm] $x+x|y|=y+y|x|\gdw [/mm] ...$
2) [mm] $x+x|y|=y+y|x|\gdw [/mm] ...$
3) [mm] $x+x|y|=y+y|x|\gdw [/mm] ...$
4) [mm] $x+x|y|=y+y|x|\gdw [/mm] ...$
Hier zuerst immer den Betrag mit dessen Definition auflösen.
Die ersten beiden Fälle sind klar, die Gleichungen 3) und 4) müssen addiert werden, dann bist du fertig.
Surjektivität für [mm] $x\ge0$ [/mm] und $x<0$ überprüfen:
[mm] $\frac{x}{1+x}=z\gdw [/mm] ...$
[mm] $\frac{x}{1-x}=z\gdw [/mm] ...$
Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 So 10.01.2010 | | Autor: | Study1988 |
Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe! Ich habe mir deine Antwort jetzt ausgedruckt und werde mich mit deren Hilfe jetzt noch einmal selbst der Aufgabe widmen.
Prinzipiell glaube ich aber, es dann jetzt hinzubekommen.
Lg study1988
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mo 11.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Für die Injektivität ist keine Fallunterscheidung nötig:
Seien $ [mm] x,y\in\IR [/mm] $:
Aus $ [mm] \frac{x}{1+|x|}=\frac{y}{1+|y|}$ [/mm] folgt
(*) $x(1+|y|)=y(1+|x|) $
Also auch $|x|(1+|y|)=|y|(1+|x|) $. Hieraus folgt: $|x|=|y|$. Daraus folgt dann mit (*), dass x=y ist.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Study1988 |
Ich denke, dass wohl beides möglich ist, oder?
Gestern habe ich mit Hilfe der Fallunterscheidung und der ersten Antwort die Aufgabe lösen kann, noch mal vielen Dank! :)
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