Beweis Ungleichung Sum u. Prod < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:38 Sa 18.11.2006 | | Autor: | SvenMathe |
| Aufgabe | Beweisen?!
Falls [mm] x_{v} \ge [/mm] 0 für alle v [mm] \in {1,\ldots,n}, [/mm] dann gilt:
[mm] \produkt_{v=1}^{n} (1+x_{v}) \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{v=1}^{n} x_{v} [/mm] |
Hallo an alle! Ich jhab ein großes Problem mit Summen- und Produktzeichen und nun soll ich auch noch diese Ungleichung beweisen. Wie gehe ich vor und was muß ich tun nach den Rechenregeln?
Vielen Dank!
Sven
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Sven,
auch hier ist Induktion angezeigt. Wenn du gar nicht weisst was das ist, bleibt dir, fürchte ich, nichts anderes übrig, als es zu lernen. Kuck mal hier oder ![[]](/images/popup.gif) hier und es steht bestimmt auch in deiner Vorlesung.
L G walde
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Danke Walde, das ist ir klar, aber wie gehe ich da ran?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi sven,
naja, den Ind.Anfang könntest du doch schon mal gemacht haben:
Für n=1 steht da:
[mm] 1+x_1\ge 1+x_1 [/mm] offensichtlich stimmt das.
Ich gebe zu der Schritt ist etwas schwerer, wenn man mit den Zeichen nicht so vertraut ist.
Ind.Annahme, es gilt für n. Zu zeigen, es gilt auch
[mm] \produkt_{\nu=1}^{n+1}(1+x_\nu)\ge 1+\summe_{\nu=1}^{n+1}x_\nu
[/mm]
Wir beginnen also mit der linken Seite und ziehen den letzten Faktor aus dem Zeichen raus, damit wir die Ind.Annahme einsetzen können:
[mm] \produkt_{\nu=1}^{n+1}(1+x_\nu)=(1+x_{n+1})\produkt_{\nu=1}^{n}(1+x_\nu)\ge_{I.A.}(1+x_{n+1})*(1+\summe_{\nu=1}^{n}x_\nu)\red{\ge}1+x_{n+1}+\summe_{\nu=1}^{n}x_\nu=1+\summe_{\nu=1}^{n+1}x_\nu
[/mm]
Beweis fertig.
Um den vorletzten (mit rot gekennzeichneten) Schritt zu verstehen, mach dir klar, dass [mm](1+a)(1+b)=1+a+b+a*b\ge 1+a+b [/mm], da [mm] a,b\ge [/mm] 0 ist. Da alle [mm] x_\nu\ge0 [/mm] haben wir damit keine Schwierigkeiten.
Alles klar?
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Sa 18.11.2006 | | Autor: | SvenMathe |
Vielen Dank Walde,
da stand ich ja echt auf dem Schlauch...so probier ich das und das mach ich mit der anderen Aufgabe dann auch so, oder? Müßte doch dann eigentlich auch der Beweis durch vollst. Induktion sein, oder?
sven
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Walde |
Ja, mit der anderen läuft's analog. Mit der linken Seite anfangen, das letzte Glied aus dem Summenzeichen rausziehen, damit du die Ind. Annahme verwenden kannst und dann mal schauen ob man es schon sieht. Wenn nicht, solange umformen, bis es da steht 
Viel Erfolg. Wenn's partout nicht klappt, kannste dich im andern Thread ja nochmal melden.
L G Walde
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hey Walde,
habs mit der anderen Aufgabe probiert, weiß aber nicht, wie ich da genau weiterkomme...wär nett, wenn du nochmal helfen könntest...das letzte glied ist draußen aber ich seh da nichts !danke sven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:10 Di 21.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Sven,
die andere Aufgabe ist inzwischen grün. Ich nehme also an, sie ist ausreichend beantwortet? Falls doch nicht, frage nochmal dort nach. Die Frage hier ist ja fertig.
L G walde
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