Beweis V sei Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $V = [mm] \{(x, y) | x, y \in \IR \mbox{ und } y > 0\}$. [/mm] Ferner seien [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] definiert durch
[mm] $(x_1, y_1)\oplus (x_2, y_2) [/mm] := [mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] , [mm] \bruch{1}{2}y_1 [/mm] * [mm] y_2)$
[/mm]
$k [mm] \odot (x_1, y_1) [/mm] := (k*x1 , 2 * [mm] \left(\bruch{y_1}{2}\right)^k) \mbox{ für } [/mm] k [mm] \in \IR$.
[/mm]
Untersuchen Sie, ob $(V, [mm] \oplus, \odot)$ [/mm] ein [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist. |
Jo ich habe mich mal auf das Axiom 8 (Anton, Lineare Algebra) l*(u,v) = (l*u,l*v)gestützt. V erfüllt siese Bedingung (k [mm] \odot [/mm] (x1, y1) := (k*x1 , 2 · [mm] (\bruch{y1}{2})^k)) [/mm] nicht also ist V kein VR.
Ist das so richtig, oder habe ich etwas föllig falsch verstanden?
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Hallo und guten Morgen,
> Es sei [mm]V = \{(x, y) | x, y \in \IR \mbox{ und } y > 0\}[/mm].
> Ferner seien [mm]\oplus[/mm] und [mm]\odot[/mm] definiert durch
> [mm](x_1, y_1)\oplus (x_2, y_2) := (x_1 + x_2 , \bruch{1}{2}y_1 * y_2)[/mm]
>
> [mm]k \odot (x_1, y_1) := (k*x1 , 2 * \left(\bruch{y_1}{2}\right)^k) \mbox{ für } k \in \IR[/mm].
>
> Untersuchen Sie, ob [mm](V, \oplus, \odot)[/mm] ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum
> ist.
> Jo ich habe mich mal auf das Axiom 8 (Anton, Lineare
> Algebra) l*(u,v) = (l*u,l*v)gestützt. V erfüllt siese
> Bedingung (k [mm]\odot[/mm] (x1, y1) := (k*x1 , 2 ·
> [mm](\bruch{y1}{2})^k))[/mm] nicht also ist V kein VR.
>
Dieses ist leider kein Axiom für Vektorräume, was auch immer Herr oder Frau Anton da schreibt oder wie auch immer
Du es interpretierst.
Die Axiome zur skalaren Multiplikation sind in Deinem Fall
[mm] k\odot (u\oplus v)=(k\odot u)\oplus(k\odot [/mm] v)
[mm] (k+j)\odot v=(k\odot v)\oplus (j\odot [/mm] v)
[mm] (k\cdot j)\cdot [/mm] v= [mm] k\odot (j\odot [/mm] v)
[mm] 1\odot [/mm] v=v
Nun,
der Nullvektor müsste bei diesen Operationen ja gleich (0,2) sein.
Es bildet dann die Menge V mit dieser Operation [mm] \oplus [/mm] eine kommutative Gruppe.
Rechnen wir mal exemplarisch eines der anderen Axiome nach:
[mm] (k+j)\odot (x,y)=((k+j)\cdot [/mm] x, [mm] 2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^{k+j})
[/mm]
[mm] k\odot (x,y)\oplus j\odot (x,y)=(kx,2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^{k})\oplus (jx,2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^{j})
[/mm]
= (kx+jx, [mm] \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \:\: \left (\frac{y}{2}\right )^{k}\:\cdot\:\: 2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^{j})
[/mm]
= [mm] ((k+j)\cdot x,\:\: 2\cdot (\frac{y}{2}\right )^{k+j})
[/mm]
Und noch eines:
[mm] k\odot (j\odot (x,y))\: =\:\:(k\cdot j\cdot x,\:\: 2\cdot \left (\frac{1}{2}\cdot\:\: 2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^j\:\right )^k)
[/mm]
[mm] =(k\cdot j\cdot x,\:\: 2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^{j\cdot k}) [/mm] = [mm] \:\: (k\cdot j)\odot [/mm] (x,y)
Und noch eines:
[mm] k\odot ((x,y)\oplus (u,v))=k\odot [/mm] (x+u, [mm] \frac{1}{2}\cdot y\cdot [/mm] v)
= [mm] (k\cdot (x+u),\: 2\cdot \left (\frac{1}{4}\cdot y\cdot v\right )^k)
[/mm]
[mm] k\odot (x,y)\oplus k\odot [/mm] (u,v)
= [mm] (kx,2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^k)\:\oplus\: (ku,2\cdot \left (\frac{v}{2}\right )^k)
[/mm]
= [mm] (k(x+u),\: \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^k \cdot 2\cdot \left (\frac{v}{2}\right )^k)
[/mm]
= [mm] (k\cdot (x+u),\: 2\cdot \left (\frac{y\cdot v}{4}\right )^k
[/mm]
Auf diese Weise musst Du ganz konsequent auch die anderen Axiome prüfen,
um dann zu sehen, ob es ein reeller Vektorraum ist oder nicht.
Viele Grüße,
Mathias
> Ist das so richtig, oder habe ich etwas föllig falsch
> verstanden?
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