www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Beweis V sei Vektorraum
Beweis V sei Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis V sei Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:22 Di 24.10.2006
Autor: Hiroschiwa

Aufgabe
Es sei $V = [mm] \{(x, y) | x, y \in \IR \mbox{ und } y > 0\}$. [/mm] Ferner seien [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] definiert durch
[mm] $(x_1, y_1)\oplus (x_2, y_2) [/mm] := [mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] , [mm] \bruch{1}{2}y_1 [/mm] * [mm] y_2)$ [/mm]
$k [mm] \odot (x_1, y_1) [/mm] := (k*x1 , 2 * [mm] \left(\bruch{y_1}{2}\right)^k) \mbox{ für } [/mm] k [mm] \in \IR$. [/mm]
Untersuchen Sie, ob $(V, [mm] \oplus, \odot)$ [/mm]  ein [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist.

Jo ich habe mich mal auf das Axiom 8 (Anton, Lineare Algebra) l*(u,v) = (l*u,l*v)gestützt. V erfüllt siese Bedingung (k [mm] \odot [/mm] (x1, y1) := (k*x1 , 2 · [mm] (\bruch{y1}{2})^k)) [/mm] nicht also ist V kein VR.

Ist das so richtig, oder habe ich etwas föllig falsch verstanden?

        
Bezug
Beweis V sei Vektorraum: völlig anstatt föllig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Mi 25.10.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Morgen,

> Es sei [mm]V = \{(x, y) | x, y \in \IR \mbox{ und } y > 0\}[/mm].
> Ferner seien [mm]\oplus[/mm] und [mm]\odot[/mm] definiert durch
>  [mm](x_1, y_1)\oplus (x_2, y_2) := (x_1 + x_2 , \bruch{1}{2}y_1 * y_2)[/mm]
>  
> [mm]k \odot (x_1, y_1) := (k*x1 , 2 * \left(\bruch{y_1}{2}\right)^k) \mbox{ für } k \in \IR[/mm].
>  
> Untersuchen Sie, ob [mm](V, \oplus, \odot)[/mm]  ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum
> ist.
>  Jo ich habe mich mal auf das Axiom 8 (Anton, Lineare
> Algebra) l*(u,v) = (l*u,l*v)gestützt. V erfüllt siese
> Bedingung (k [mm]\odot[/mm] (x1, y1) := (k*x1 , 2 ·
> [mm](\bruch{y1}{2})^k))[/mm] nicht also ist V kein VR.
>  

Dieses ist leider kein Axiom für Vektorräume, was auch immer Herr oder Frau Anton da schreibt oder wie auch immer
Du es interpretierst.

Die Axiome zur skalaren Multiplikation sind in Deinem Fall

[mm] k\odot (u\oplus v)=(k\odot u)\oplus(k\odot [/mm] v)
[mm] (k+j)\odot v=(k\odot v)\oplus (j\odot [/mm] v)
[mm] (k\cdot j)\cdot [/mm] v= [mm] k\odot (j\odot [/mm] v)
[mm] 1\odot [/mm] v=v


Nun,

der Nullvektor müsste bei diesen Operationen ja gleich (0,2) sein.

Es bildet dann die Menge V mit dieser Operation [mm] \oplus [/mm] eine kommutative Gruppe.

Rechnen wir mal exemplarisch eines der anderen Axiome nach:

[mm] (k+j)\odot (x,y)=((k+j)\cdot [/mm] x, [mm] 2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^{k+j}) [/mm]

[mm] k\odot (x,y)\oplus j\odot (x,y)=(kx,2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^{k})\oplus (jx,2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^{j}) [/mm]

= (kx+jx, [mm] \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \:\: \left (\frac{y}{2}\right )^{k}\:\cdot\:\: 2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^{j}) [/mm]

= [mm] ((k+j)\cdot x,\:\: 2\cdot (\frac{y}{2}\right )^{k+j}) [/mm]

Und noch eines:

[mm] k\odot (j\odot (x,y))\: =\:\:(k\cdot j\cdot x,\:\: 2\cdot \left (\frac{1}{2}\cdot\:\: 2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^j\:\right )^k) [/mm]

[mm] =(k\cdot j\cdot x,\:\: 2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^{j\cdot k}) [/mm] = [mm] \:\: (k\cdot j)\odot [/mm] (x,y)

Und noch eines:

[mm] k\odot ((x,y)\oplus (u,v))=k\odot [/mm] (x+u, [mm] \frac{1}{2}\cdot y\cdot [/mm] v)

= [mm] (k\cdot (x+u),\: 2\cdot \left (\frac{1}{4}\cdot y\cdot v\right )^k) [/mm]

[mm] k\odot (x,y)\oplus k\odot [/mm] (u,v)
= [mm] (kx,2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^k)\:\oplus\: (ku,2\cdot \left (\frac{v}{2}\right )^k) [/mm]
= [mm] (k(x+u),\: \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \left (\frac{y}{2}\right )^k \cdot 2\cdot \left (\frac{v}{2}\right )^k) [/mm]
= [mm] (k\cdot (x+u),\: 2\cdot \left (\frac{y\cdot v}{4}\right )^k [/mm]

Auf diese Weise musst Du ganz konsequent auch die anderen Axiome prüfen,
um dann zu sehen, ob es ein reeller Vektorraum ist oder nicht.



Viele Grüße,

Mathias

> Ist das so richtig, oder habe ich etwas föllig falsch
> verstanden?

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de