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Forum "Uni-Stochastik" - Beweis Varianz von Summe
Beweis Varianz von Summe < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis Varianz von Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Sa 21.07.2018
Autor: Hela123

Aufgabe
Sei [mm] (\Omega,A, [/mm] P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien [mm] X, Y, X_1,..., X_n \in L^2(P) [/mm] reelle Zufallsvariablen, für die das zweite Moment existiert.

Zeige, dass gilt:

[mm]Var(\summe_{i=1}^{n} X_{i}) = \summe_{i=1}^{n} Var(X_{i}) + \summe_{i,j=1, i\not= j}^{n} Cov(X_{i},X_{j}) [/mm]



Hallo Forum,

ich habe folgenden Beweis hierzu gefunden und kann ihn aber nicht ganz nachvollziehen:

[mm]Var(\summe_{i=1}^{n} X_{i}) = E(\summe_{i=1}^{n} X_{i} - E(\summe_{i=1}^{n} (X_{i})^2))[/mm]
         [mm]= E(\summe_{i=1}^{n} X_{i} - E(X_{i})^2))[/mm]
         [mm]= E(\summe_{i=1}^{n} X_{i} - E(X_{i})\summe_{j=1}^{n} X_{j} - E(X_{j}))[/mm]
         [mm]= E(\summe_{i=1}^{n} (X_{i} - E(X_{i}))^2 + \summe_{i,j=1, i\not= j}^{n}X_{i} - E(X_{i}) * X_{j} - E(X_{j})[/mm]
         [mm]= \summe_{i=1}^{n} Var(X_{i}) + 2 \summe_{i          [mm]= \summe_{i=1}^{n} Var(X_{i}) + \summe_{i,j=1, i\not= j}^{n} Cov(X_{i},X_{j}) [/mm]

1. Ist der Beweis korrekt?

2. Ich verstehe nicht den Übergang von 1. in die 2. Zeile. Warum können wir die Summe weglassen?
Der Übergang 2 zu 3 ist mir auch nicht klar: Woher kommt auf einmal j usw?
Weitere Umformungen sind mir demensprechend auch etwas schleierhaft...

Schönen Dank im Voraus!
Hela123


        
Bezug
Beweis Varianz von Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 So 22.07.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> ich habe folgenden Beweis hierzu gefunden und kann ihn aber
> nicht ganz nachvollziehen:
>  
> [mm]Var(\summe_{i=1}^{n} X_{i}) = E(\summe_{i=1}^{n} X_{i} - E(\summe_{i=1}^{n} (X_{i})^2))[/mm]

Hier müsste das Quadrat und  die Klammer vertauscht werden, damit es stimmt.

Machen wir es mal langsam: Setzen wir [mm] $Z=\summe_{i=1}^n X_i$, [/mm] dann erhalten wir:

$Z - E(Z)$
$= [mm] \summe_{i=1}^n X_i [/mm] - [mm] E\left(\summe_{i=1}^n X_i\right)$ [/mm]
$= [mm] \summe_{i=1}^n X_i [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^n E(X_i)$ [/mm]
$= [mm] \summe_{i=1}^n \left(X_i - E(X_i)\right)$ [/mm]

Nun erhalten wir damit:

[mm] $\text{Var}\left(\summe_{i=1}^n X_i\right) [/mm] = [mm] \text{Var}(Z) [/mm] = [mm] E\left[(Z - E(Z))^2\right]$ [/mm]
$= [mm] E\left(\left[\summe_{i=1}^n \left(X_i - E(X_i)\right)\right]^2\right)$ [/mm]

Setzen wir jetzt [mm] $Z_i [/mm] = [mm] X_i [/mm] - [mm] E(X_i)$ [/mm] können wir das schreiben als

$= [mm] E\left(\left[\summe_{i=1}^n Z_i \right]^2\right)$ [/mm]

Es wird also eine Summe quadriert. Und du kannst dir überlegen, dass wenn du die Summe quadrierst, bekommst du quadratische Terme und Mischterme, d.h. mathematisch kürzer aufgeschrieben, gilt:

[mm] $\left[\summe_{i=1}^n Z_i \right]^2 [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^n Z_i^2 [/mm] + [mm] \summe_{\substack{i=j=1 \\ i\not=j}}^n Z_iZ_j$ [/mm]

Setzt du jetzt die Definition von [mm] $Z_i$ [/mm] wieder ein, kannst du normal mit deinem Beweis weitermachen.

Wenn du den Beweis verstanden hast, zeige ich dir einen deutlich kürzeren.....

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Beweis Varianz von Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 So 22.07.2018
Autor: Hela123

Hallo Gono,

vielen vielen Dank für deine (wie immer) sehr hilfreiche Antwort!

> Hier müsste das Quadrat und  die Klammer vertauscht
> werden, damit es stimmt.

Stimmt!

> Machen wir es mal langsam: Setzen wir [mm]Z=\summe_{i=1}^n X_i[/mm],
> dann erhalten wir:
>  
> [mm]Z - E(Z)[/mm]
> [mm]= \summe_{i=1}^n X_i - E\left(\summe_{i=1}^n X_i\right)[/mm]
>  [mm]= \summe_{i=1}^n X_i - \summe_{i=1}^n E(X_i)[/mm]
>  
> [mm]= \summe_{i=1}^n \left(X_i - E(X_i)\right)[/mm]

Das verstehe ich, wir können beide Summanden quasi unter eine Summe ziehen.

> Nun erhalten wir damit:
>  
> [mm]\text{Var}\left(\summe_{i=1}^n X_i\right) = \text{Var}(Z) = E\left[(Z - E(Z))^2\right][/mm]
>  
> [mm]= E\left(\left[\summe_{i=1}^n \left(X_i - E(X_i)\right)\right]^2\right)[/mm]

Das ist auch klar: Einsetzen in die Ursprungsgleichung.

> Setzen wir jetzt [mm]Z_i = X_i - E(X_i)[/mm] können wir das
> schreiben als
>  
> [mm]= E\left(\left[\summe_{i=1}^n Z_i \right]^2\right)[/mm]

Ich merke, das ist wirklich viel übersichtlicher, wenn man das Ganze in kleinere Päckchen verpackt.

> Es wird also eine Summe quadriert. Und du kannst dir
> überlegen, dass wenn du die Summe quadrierst, bekommst du
> quadratische Terme und Mischterme, d.h. mathematisch
> kürzer aufgeschrieben, gilt:
>  
> [mm]\left[\summe_{i=1}^n Z_i \right]^2 = \summe_{j=1}^n Z_i^2 + \summe_{\substack{i=j=1 \\ i\not=j}}^n Z_iZ_j[/mm]

Ja, verstehe.

> Setzt du jetzt die Definition von [mm]Z_i[/mm] wieder ein, kannst du
> normal mit deinem Beweis weitermachen.

Also wenn wir [mm]Z_i[/mm] (und entsprechend dann auch [mm]Z_j[/mm]) einsetzen, bekommen wir:

[mm]= E(\summe_{i=1}^{n} (X_{i} - E(X_{i}))^2 + \summe_{i,j=1, i\not= j}^{n}X_{i} - E(X_{i}) * X_{j} - E(X_{j})[/mm]

Dann können wie Linearität des Erwartungswertes nutzen:

[mm]= E(\summe_{i=1}^{n} (X_{i} - E(X_{i}))^2) + E(\summe_{i=j=1, i\not= j}^{n}(X_{i} - E(X_{i})) * (X_{j} - E(X_{j})))[/mm]
[mm]= \summe_{i=1}^{n}(E(X_{i} - E(X_{i}))^2) + \summe_{i=j=1, i\not= j}^{n} E((X_{i} - E(X_{i})) * (X_{j} - E(X_{j})))[/mm]

Dann nutzen wir die Definition von Varianz und Kovarianz:
[mm]= \summe_{i=1}^{n} Var(X_{i}) + 2 \summe_{i
Hier habe ich Frage: Woher kommt die 2 vor der Summe?
Die Rechenregel, die wir hier brauchen ist (wenn ich mich nicht vertue):
[mm]Cov(X,Y)= E(XY) - E(X)E(Y) = E((X - E(X))(Y-E(Y)))[/mm]

> Wenn du den Beweis verstanden hast, zeige ich dir einen
> deutlich kürzeren.....

Ich glaube, ich bin nah dran :-)

Noch mal danke!
Hela123


Bezug
                        
Bezug
Beweis Varianz von Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 So 22.07.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also der Schritt ist in der Umformung zwar nicht falsch aber irgendwie sinnlos. Es gilt
[mm] $\summe_{i=j=1,i\not=j}^n Cov(X_i,X_j) [/mm] = [mm] 2\summe_{i=j=1,i Das liegt einfach daran, dass die Kovarianz symmetrisch ist. Im ersten Fall summiert man eben einfach alle Kovarianzen auf, im zweiten nur diejenigen wo i<j ist und sagt dann einfach: anstatt jetzt die für i>j auch noch zu summieren multiplizieren wir das Ergebnis einfach mit 2.

Sind jetzt alle Unklarheiten beseitigt?

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Beweis Varianz von Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 So 22.07.2018
Autor: Hela123

Hallo Gono,

shönen Dank für deine Antwort!

> also der Schritt ist in der Umformung zwar nicht falsch
> aber irgendwie sinnlos. Es gilt
>  [mm]\summe_{i=j=1,i\not=j}^n Cov(X_i,X_j) = 2\summe_{i=j=1,i
>  
> Das liegt einfach daran, dass die Kovarianz symmetrisch
> ist. Im ersten Fall summiert man eben einfach alle
> Kovarianzen auf, im zweiten nur diejenigen wo i<j ist und
> sagt dann einfach: anstatt jetzt die für i>j auch noch zu
> summieren multiplizieren wir das Ergebnis einfach mit 2.
>  
> Sind jetzt alle Unklarheiten beseitigt?

Alles klar! Ja, jetzt verstehe ich den Beweis, danke dir!

Wie könnte man es denn kürzer beweisen?:-)

Viele Grüße
Hela123

Bezug
                                        
Bezug
Beweis Varianz von Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 So 22.07.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

die Kovarianz ist linear und trivialerweise gilt [mm] $\summe_{i=1}^n X_i [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^n X_j [/mm] $ und damit gilt:

[mm] $\text{Var}\left(\summe_{i=1}^n X_i\right)$ [/mm]

[mm] $=\text{Cov}\left(\summe_{i=1}^n X_i, \summe_{j=1}^n X_j\right)$ [/mm]

[mm] $=\summe_{i=1}^n \summe_{j=1}^n \text{Cov}(X_i,X_j)$ [/mm]

[mm] $=\summe_{i=j=1,i=j}^n \text{Cov}(X_i,X_j) [/mm] + [mm] \summe_{i=j=1,i\not=j}^n \text{Cov}(X_i,X_j)$ [/mm]

[mm] $=\summe_{i=j=1}^n \text{Var}(X_i) [/mm] + [mm] \summe_{i=j=1,i\not=j}^n \text{Cov}(X_i,X_j)$ [/mm]

Gruß,
Gono


Bezug
                                                
Bezug
Beweis Varianz von Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:59 Mo 23.07.2018
Autor: Hela123

Hallo Gono,

den Beweis kann ich auch nachvollziehen und der ist in der Tat deutlich übersichtlicher!
Noch mal vielen vielen Dank für deine Hilfe!

Gruß,
Hela123

Bezug
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