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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Vassago |
Mohoin Leute,
Ich schäme mich, so lange nicht im Forum aktiv gewesen zu sein, und erst jetzt mit einer Frage wieder zurückzukehren. Ich gelobe Besserung :)
Wir haben in einer Arbeitsgruppe vor folgender Aufgabe gesessen und dann uns nach drei Stunden schlussendlich zum vorläufigen Aufgeben entschieden:
Zeigen Sie:
(a) [mm] f(M_1 \cup M_2 ) = f(M_1 ) \cup f(M_2 )[/mm]
Die Richtung "[mm]\supset[/mm]" haben wir wenigstens halbwegs zurechtgekriegt:
Sofern wir als gegeben annehmen dürfen [mm]f(M_1) \subseteq f(M_1 \cup M_2 )[/mm] und [mm]f(M_2) \subseteq f(M_1 \cup M_2 )[/mm] können wir anhand des Satzes [mm]A \subseteq C \wedge B\subseteq C \Leftrightarrow A\cup B \subseteq C[/mm] schließen, dass [mm]f(M_1) \cup f(M_2) \subseteq f(M_1 \cup M_2) [/mm]
Ich wäre überaus dankbar, wenn mir jemand den Beweis für die "[mm]\subset[/mm]"-Richtung präsentieren könnte, wir drehen uns da nämlich nur noch im Kreis, mit immer wieder Erkenntnissen, die eigentlich keine sind, weil sie unsere Voraussetzung wiederspiegeln.
Wenn zudem noch jemand einen formalen Beweis für [mm]f(M_1) \subseteq f(M_1 \cup M_2 )[/mm] hätte, wäre ich ihm quasi unendlich verbunden :D
Vielen, vielen Dank im Voraus,
Der verzweifelte Ersti
Vassago
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Hallo Vassago,
manchmal hat man einfach ein Brett vom Kopf, vilelleicht ich jetzt auch...
Sei x [mm] \in M_1 \cup M_2 [/mm] beliebig, so ist x in [mm] M_1 [/mm] oder in [mm] M_2 [/mm] und f(x) in [mm] f(M_1) [/mm] oder in [mm] f(M_2), [/mm] also f(x) [mm] \in f(M_1) \cup f(M_2).
[/mm]
Das müsste es schon sei.
Gruß Richard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Vassago |
Mohoin Toellner,
Bedanke mich für schnelle Antwort, nur hilft sie mir irgendwie überhaupt nicht:
Folgendes:
1. Ist das nicht wieder nur die Implikation von rechts nach links? Den Beweis haben wir schließlich schon gebildet, und ich finde ihn eigentlich ganz schön so :D
2. Wenn ich diesen Schluss [mm](f(x\in M_1) \vee f(x\in M_2)) \Leftrightarrow f(x\in M_1 \cup M_2)[/mm] anwenden dürfte, wäre nicht dann die Aufgabe total sinnlos? :)
Ich bitte um detaillierte Erläuterung, und wäre nach wie vor auch sehr dankbar dafür, wenn jemand einen Beweis oder eine Beweisidee für [mm]f(M_1)\subseteq f(M_1\cup M_2)[/mm] wüsste.
Gruß
Vassago
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Hallo Vassago,
> Ich bitte um detaillierte Erläuterung, und wäre nach wie
> vor auch sehr dankbar dafür, wenn jemand einen Beweis oder
> eine Beweisidee für [mm]f(M_1)\subseteq f(M_1\cup M_2)[/mm] wüsste.
Wie ist denn [mm] f(M_1) [/mm] definiert? Doch so: [mm] f(M_1)= \{f(x): x\in M_1\} [/mm]
Dann ist [mm] f(M_1\cup M_2) [/mm] = [mm] \{f(x): x\in M_1\vee x\in M_2\}, [/mm] also [mm] f(M_1)\subseteq f(M_1\cup M_2). [/mm]
> Folgendes:
> 1. Ist das nicht wieder nur die Implikation von rechts nach
> links? Den Beweis haben wir schließlich schon gebildet, und
> ich finde ihn eigentlich ganz schön so :D
Nein, aus meinem letzten Posting folgt, dass für alle x [mm] \in M_1\cup M_2 [/mm] gilt, dass f(x) in [mm] f(M_1)\cup f(M_2) [/mm] liegt, also nach der Definition oben: [mm] f(M_1\cup M_2) \subseteq f(M_1)\cup f(M_2)
[/mm]
Vergleiche mit dem unten.
> 2. Wenn ich diesen Schluss [mm](f(x\in M_1) \vee f(x\in M_2)) \Leftrightarrow f(x\in M_1 \cup M_2)[/mm]
> anwenden dürfte, wäre nicht dann die Aufgabe total sinnlos?
Nein, sie ist so einfach! (Abgesehen von Deiner Schreibweise):
[mm](f(x)\in f(M_1) \vee f(x)\in f(M_2)) \Leftrightarrow f(x)\in f(M_1 \cup M_2))[/mm]
Grüße, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Vassago |
Bedanke mich recht herzlich, Richard. In etwas ausführlicher kann ich dann auch tatsächlich folgen. Bloß ich traute mich nicht eine nur wenig oder gar gar nicht umgeformte Voraussetzung als bewiesen darzustellen :)
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