Beweis Wronski-Determinante < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 So 01.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Es geht, wie der Titel schon sagt, um den Beweis der Wronski Determinante. Hier ![[]](/images/popup.gif) Wronski-Determinante Wiki steht folgendes:
Aus [mm] \summe_{k=1}^{n}\lambda_{k}*f_{k} \equiv [/mm] 0 folgt [mm] \summe_{k=1}^{n}\lambda_{k}*f(x_{0})_{k}^{j} [/mm] für j [mm] \IN [/mm] {0,...,n-1}. Die Bedingung lässt sich also als Linearkombination von Spaltenvektoren schreiben, und somit folgt trivialerweise, dass die Determinante ungleich 0 sein muss, damit die Funktionen linear unabhängig sind.
Was ich nicht verstehe: Wieso genügt nicht einfach [mm] \summe_{k=1}^{n}\lambda_{k}*f(x_{0})_{k} [/mm] = 0, ohne Ableitungen? Ich habe mir gedacht, dass mit den Ableitungen macht man vielleicht weil es ja auf einem Intervall gelten muss, und wenn die 1. Ableitung auch linear unabhängig ist, muss ein Punkt in Nähe des Punktes [mm] x_{0} [/mm] auch lineare unabhängigkeit für die Funktionen bringen? Aber wieso macht man die Ableitungen bis n-1 ?
Danke!:)
Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Sa 07.05.2011 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo qsxqsx!
> Was ich nicht verstehe: Wieso genügt nicht einfach
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\lambda_{k}*f(x_{0})_{k}[/mm] = 0, ohne
> Ableitungen?
Für welche Folgerung soll das genügen? Für die Bildung der Wronski-Determinante benötigst Du $n$ Gleichungen. Falls also $n>1$ [mm] \ldots
[/mm]
LG mathfunnel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Sa 07.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Summe irgendwelcher fester funktionswerte, also Zahlen läßt sich doch IMMER 0 machen. sin(x) und cos(x) sind linear unabh. aber [mm] sin(\pi\4)-cos(/pi/4)=0 [/mm] an anderen Stellen [mm] sin(\pi)+0*cos(/pi)=0
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Sa 07.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Danke euch.
Aber wieso sinds dann genau n - Ableitungen?
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Hallo qsxqsx!
> Danke euch.
>
> Aber wieso sinds dann genau n - Ableitungen?
Ich traue mich kaum zu antworten. Also frage ich mal:
Um eine quadratischen Matrix bilden zu können? (siehe meine erste Antwort)
Ich vermute allerdings, dass Du auf etwas anderes hinaus willst.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 So 08.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ja, wieso n ? Ich meine es kommt ja wahrscheinlich aus der Taylorentwicklung:
Man entwickelt jede Funktion bis n und erhält jeweils eine Spalte. Die Koeffizienten fallen weg, da man sie in der Matrix nachher durch die Zeilen wegkürzen kann.
Aber wieso genügt n um sicher zu gehen, dass sie linear unabhängig sind, wenn ich n Funktionen habe...? Das ist strange.
...Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 So 08.05.2011 | | Autor: | huzein |
Wenn du $n$ Funktionen auf lineare Unabhängigkeit überprüfen willst, dann müssen die $n$ Funktionen jeweils $(n-1)$-mal differenziert werden. Damit entsteht eine quadratische [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix und man kann die Determinante ausrechnen. Dass das so sinvoll ist und auch funktioniert, entnimmt man dem Beweis von Wronski.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 So 08.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Jetzt ists mir klar: Das steht ja genau in dem Beweis von Wronski wie du sagst. Eigentlich beweist der Beweis von Wronski, dass n mal Ableiten genügt.
Ich habe nach einer Art anderen Beweis gefragt, der das eben von einer anderen Herleitung her zeigt. Nun aber so bin ich doch auch mal zufrieden, verstanden zu haben, dass der Beweis von Wronski das zumindest auch tut.
Danke euch für die Interesse.
Grüsse
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