Beweis aufstellen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mi 19.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Im komplexen bezeichne [mm] [z_{0}, z_{1}] [/mm] die Verbindungsstrecke zwischen [mm] z_{0}, z_{1} \in \IC, [/mm] d.h.
[mm] [z_{0}, z_{1}] [/mm] = {(1 − [mm] t)z_{0} [/mm] + [mm] tz_{1}| [/mm] t [mm] \in [/mm] [0, 1]}.
Zeigen Sie anhand der Funktion f(z) = [mm] z^{2}, z_{0} [/mm] = 1 und [mm] z_{1} [/mm] = i, dass nicht für alle ,,Zwischenwerte”
y [mm] \in [f(z_{0}),f(z_{1})] [/mm] ein Zwischenpunkt z [mm] \in [z_{0}, z_{1}] [/mm] existiert mit f(z) = y. |
Hallo. Kann mir da jemand helfen? Ich hab das wie folgt gemacht, aber das scheint mir irgendwie zu einfach:
Also:
f(z) = [mm] z^{2}
[/mm]
[mm] z_{0}=1
[/mm]
[mm] z_{1}=i
[/mm]
Es folgt: [mm] [z_{0},z_{1}] [/mm] = [1,i]
Und: [mm] f(z_{0}), [/mm] also f(1) = 1
[mm] f(z_{1}), [/mm] also f(i) = -1
Insgesamt: y [mm] \in [/mm] [-1,1]
Nun hab ich mir überlegt, dass vllt der Wert 0 keinen x-Wert erhält (salopp formuliert)
Dann würde ja gelten:
[mm] [1-t(1-i)]^{2} [/mm] = 0
1-t(1-i) = 0
(1-t) + ti = 0
1-t + ti = 0
-t + ti = -1
Nun muss ti reell sein, hab ich mir gedacht. Somit gilt also: ti = 0
also t=0
Dann würde aber 0=-1 gelten (widerspruch)
So hab ich das jetzt gemacht, bin mir aber total unsicher. Das kann ja auch alles Blödsinn sein. Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:26 Do 20.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Im komplexen bezeichne [mm][z_{0}, z_{1}][/mm] die
> Verbindungsstrecke zwischen [mm]z_{0}, z_{1} \in \IC,[/mm] d.h.
> [mm][z_{0}, z_{1}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {(1 − [mm]t)z_{0}[/mm] + [mm]tz_{1}|[/mm] t [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0, 1]}.
> Zeigen Sie anhand der Funktion f(z) = [mm]z^{2}, z_{0}[/mm] = 1 und
> [mm]z_{1}[/mm] = i, dass nicht für alle ,,Zwischenwerte”
> y [mm]\in [f(z_{0}),f(z_{1})][/mm] ein Zwischenpunkt z [mm]\in [z_{0}, z_{1}][/mm]
> existiert mit f(z) = y.
> Hallo. Kann mir da jemand helfen? Ich hab das wie folgt
> gemacht, aber das scheint mir irgendwie zu einfach:
>
> Also:
>
> f(z) = [mm]z^{2}[/mm]
> [mm]z_{0}=1[/mm]
> [mm]z_{1}=i[/mm]
>
> Es folgt: [mm][z_{0},z_{1}][/mm] = [1,i]
>
> Und: [mm]f(z_{0}),[/mm] also f(1) = 1
> [mm]f(z_{1}),[/mm] also f(i) = -1
>
> Insgesamt: y [mm]\in[/mm] [-1,1]
>
> Nun hab ich mir überlegt, dass vllt der Wert 0 keinen
> x-Wert erhält (salopp formuliert)
Er hat kein Urbild auf der Verbindungsstrecke zwischen 1 und i (weniger salopp formuliert). Von x-Wert zu reden macht nicht so wirklich Sinn.
>
> Dann würde ja gelten:
>
> [mm][1-t(1-i)]^{2}[/mm] = 0
>
> 1-t(1-i) = 0
>
> (1-t) + ti = 0
>
> 1-t + ti = 0
>
> -t + ti = -1
>
> Nun muss ti reell sein, hab ich mir gedacht. Somit gilt
> also: ti = 0
>
> also t=0
>
> Dann würde aber 0=-1 gelten (widerspruch)
>
>
> So hab ich das jetzt gemacht, bin mir aber total unsicher.
> Das kann ja auch alles Blödsinn sein. Danke schonmal.
Passt in meinen Augen alles so. Du musst nur noch zeigen, dass 0 auf der Verbindungsstecke [mm] $[-1,1]\:$ [/mm] liegt. Das ist aber einfach.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:32 Do 20.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Passt in meinen Augen alles so. Du musst nur noch zeigen, dass 0 auf der > Verbindungsstecke $ [mm] [-1,1]\: [/mm] $ liegt. Das ist aber einfach.
Danke vielmals. Aber ist das so einfach? Ich würde das einfach damit begründen, dass das ein Intervall ist. Oder wie soll man das machen? Danke nochmal.
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> > Passt in meinen Augen alles so. Du musst nur noch zeigen,
> dass 0 auf der > Verbindungsstecke [mm][-1,1]\:[/mm] liegt. Das ist
> aber einfach.
>
> Danke vielmals. Aber ist das so einfach? Ich würde das
> einfach damit begründen, dass das ein Intervall ist.
Hallo,
ich würde mich die Def. von "Verbindungsstrecke" halten, und ein reelles t mit [mm] 0\le t\le [/mm] 1 angeben, für welches man erhält (1-t)*1 + t*(-1)=0.
Wenn Du mit "Intervall [-1,1]" argumentieren willst, müßtest Du erstmal glaubhaft machen, daß [mm] [-1,1]:=\{x\in \IR| -1 \le x\le 1\} [/mm] dieselbe Menge ist wie die in der Aufgabe unglücklicherweise genauso bezeichnete Verbindungsstrecke im Komplexen, [mm] [-1,1]:=\{z=(1-t)*1+t*(-1)| 0\le t\le 1\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Do 20.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> ich würde mich die Def. von "Verbindungsstrecke" halten, und ein reelles t > mit $ [mm] 0\le t\le [/mm] $ 1 angeben, für welches man erhält (1-t)*1 + t*(-1)=0.
> Wenn Du mit "Intervall [-1,1]" argumentieren willst, müßtest Du erstmal
> glaubhaft machen, daß $ [mm] [-1,1]:={x\in \IR| 0\le x\le 1} [/mm] $ dieselbe Menge
> ist wie die in der Aufgabe unglücklicherweise genauso bezeichnete
> Verbindungsstrecke im Komplexen, $ [mm] [-1,1]:=\{z=(1-t)\cdot{}1+t
>\cdot{}(-1)| 0\le t\le 1\}. [/mm] $
Kannst du mir das nochmal genauer erklären? Zum Beispiel versteh ich nicht, warum [mm] [-1,1]:={x\in \IR| 0\le x\le 1}. [/mm] War das nicht das y? Also so (?): [mm] [-1,1]:={y\in \IR| 0-1 \le x\le 1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Do 20.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > ich würde mich die Def. von "Verbindungsstrecke" halten,
> und ein reelles t > mit [mm]0\le t\le[/mm] 1 angeben, für welches
> man erhält (1-t)*1 + t*(-1)=0.
>
> > Wenn Du mit "Intervall [-1,1]" argumentieren willst,
> müßtest Du erstmal
> > glaubhaft machen, daß [mm][-1,1]:={x\in \IR| 0\le x\le 1}[/mm]
> dieselbe Menge
> > ist wie die in der Aufgabe unglücklicherweise genauso
> bezeichnete
> > Verbindungsstrecke im Komplexen, $
> [mm][-1,1]:=\{z=(1-t)\cdot{}1+t
>\cdot{}(-1)| 0\le t\le 1\}.[/mm] $
>
> Kannst du mir das nochmal genauer erklären? Zum Beispiel
> versteh ich nicht, warum [mm][-1,1]:={x\in \IR| 0\le x\le 1}.[/mm]
Da hat Angela sich einfach verschrieben. Klar ist
[mm][-1,1]:=\{x\in \IR| -1 \le x \le 1 \}.[/mm]
FRED
> War das nicht das y? Also so (?): [mm][-1,1]:={y\in \IR| 0-1 \le x\le 1}[/mm]
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Do 20.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Aber warum x? Liegt das y nicht im Intervall [-1,1]? Sry, wenn ich so frage. Möchte nur sichergehn, dass ich das nicht falsch verstehe.
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> Aber warum x? Liegt das y nicht im Intervall [-1,1]? Sry,
> wenn ich so frage. Möchte nur sichergehn, dass ich das
> nicht falsch verstehe.
Hallo,
ich hoffe, daß ich Deine Frage richtig verstehe und passend beantworte.
Mich dünkt, Dir ist nicht klar, daß es völlig schnuppe ist, ob ich schreibe
$ [mm] [-1,1]:=\{x\in \IR| -1 \le x\le 1\} [/mm] $
oder
$ [mm] [-1,1]:=\{y\in \IR| -1 \le y\le 1\} [/mm] $
oder
$ [mm] [-1,1]:=\{A\in \IR| -1 \le A\le 1\} [/mm] $
oder
$ [mm] [-1,1]:=\{\xi\in \IR| -1 \le \xi\le 1\} [/mm] $
oder sonstwas.
In Worte übersetzt steht dort jedesmal:
das Intervall [-1,1] ist die Menge aller reellen Zahlen, welche zwischen -1 und 1 liegen.
Entsprechend bedeutet [mm] "y\in \{x\in \IR| -1 \le x\le 1\}" [/mm] in Worten ausgedrückt:
y liegt in der Menge aller reellen Zahlen, welche zwischen -1 und 1 liegen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Do 20.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> ich würde mich die Def. von "Verbindungsstrecke" halten, und ein reelles t > mit $ [mm] 0\le t\le [/mm] $ 1 angeben, für welches man erhält (1-t)*1 + t*(-1)=0.
> Wenn Du mit "Intervall [-1,1]" argumentieren willst, müßtest Du erstmal
> glaubhaft machen, daß $ [mm] [-1,1]:=\{x\in \IR| -1 \le x\le 1\} [/mm] $ dieselbe
> Menge ist wie die in der Aufgabe unglücklicherweise genauso bezeichnete > Verbindungsstrecke im Komplexen, $ [mm] [-1,1]:=\{z=(1-t)\cdot{}1+t
> \cdot{}(-1)| 0\le t\le 1\}. [/mm] $
Kannst du das vllt nochmal ganz genau erklären? Bin jetzt nämlich ziemlich durcheinander, weil ich nicht genau verstehe, was du meinst. Ich habs so verstanden:
y [mm] \in [/mm] [-1,1] ist das Intervall für die Funktionswerte der Funktion f
Aber [-1,1] ist im anderen Fall einfach die Verbindungsstrecke und es wird nicht gesagt, dass 0 darin enthalten ist.
Wenn ich also ein t für Verbindungss.=0 finde, dann liegt dieser Wert auf der Verbindungsstrecke.
Und der Rest wäre dann wie am Anfang. Ich nehme meine vorgebenen Werte und setze in [mm] z_{0} [/mm] und [mm] z_{1} [/mm] ein. Da ich aber jetzt gezeigt hätte, dass t=0 auf der Verbindugsstrecke liegt, darf ich auch überprüfen, ob der Zwischenwert 0 meines Intervalls [-1,1] angenommen wird von f. Aber das kann ich ja dann wirklich wie am Anfang machen (also 1. Beitrag)
Versteh ich das so richtig???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Do 20.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Aber [-1,1] ist im anderen Fall einfach die
> Verbindungsstrecke und es wird nicht gesagt, dass 0 darin
> enthalten ist.
>
> Wenn ich also ein t für Verbindungss.=0 finde, dann liegt
> dieser Wert auf der Verbindungsstrecke.
>
> Und der Rest wäre dann wie am Anfang. Ich nehme meine
> vorgebenen Werte und setze in [mm]z_{0}[/mm] und [mm]z_{1}[/mm] ein. Da ich
> aber jetzt gezeigt hätte, dass t=0 auf der
> Verbindugsstrecke liegt, darf ich auch überprüfen, ob der
> Zwischenwert 0 meines Intervalls [-1,1] angenommen wird von
> f. Aber das kann ich ja dann wirklich wie am Anfang machen
> (also 1. Beitrag)
>
> Versteh ich das so richtig???
Genauso hatte Angela das in meinen Augen gemeint, und ich übrigens auch in meiner ersten Antwort. Zeige nur noch, dass 0 auf der Verbindungsstrecke liegt, genau so wie Angela es beschrieben hat. Dann bist du fertig. Außer dieser Lücke war dein erster Beitrag korrekt.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Do 20.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke.
Also muss ich
1 - t + ti = 0 setzen???
Dann müsste ti = 0 sein und somit t =1 oder? Ist das die gemeinte Lücke?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Do 20.01.2011 | | Autor: | Lippel |
> Danke.
>
> Also muss ich
>
> 1 - t + ti = 0 setzen???
>
> Dann müsste ti = 0 sein und somit t =1 oder? Ist das die
> gemeinte Lücke?
Nein, wenn du 1 einsetzt steht da $i = [mm] 0\:$ [/mm] was offenbar falsch ist. Du hast aber uach den Falschen Ansatz gewählt. 0 soll ja auf der Verbindungsgerade zwischen den Funktionswerten [mm] $f(z_0)=1$ [/mm] und [mm] $f(z_1)=-1$ [/mm] liegen, nicht zwischen 1 und i.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 20.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm, ok. Ich mach das jetzt mal so. Aber um ganz ehrlich zu sein, versteh ich nicht, warum ich von -1 bis 1 wählen muss. Mein [mm] z_{0} [/mm] war doch 1 und mein [mm] z_{1} [/mm] = i und somit meine Verbindungsstrecke [1,i]???
Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir da helfen könntet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Do 20.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Du solltest zeigen, dass es auf der Verbindungsstecke [mm] $[f(x_0),f(x_1)]$ [/mm] einen Zwischenpunkt gibt, der nicht Bildpunkt eines Zwischenpunktes der Verbindungsstrecke [mm] $[1,i]\:$ [/mm] ist. Es gibt also ZWEI Verbindungstrecken, die der Punkte [mm] $[x_0,x_1]$ [/mm] und die der Bilder [mm] $[f(x_0),f(x_1)]$! [/mm] Du sollst nun also wie gesagt zeigen, dass ein Zwischenpunkt von [mm] $[f(x_0),f(x_1)]$ [/mm] nicht getroffen wird, wenn du f auf die Verbindungsstecke [mm] $[x_0,x_1]$ [/mm] anwendest.
Du hast gezeigt, dass 0 nicht getroffen wird, aber noch nicht, dass er auf der Verbindungsstrecke [mm] $[f(x_0),f(x_1)]$ [/mm] liegt!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Do 20.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
ACH SO. Dann meint [-1,1] gar kein Intervall??? Das hab icn nämlich gedacht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Do 20.01.2011 | | Autor: | Lippel |
> ACH SO. Dann meint [-1,1] gar kein Intervall??? Das hab icn
> nämlich gedacht.
Genau, das hat Angela auch schon versucht dir klar zu machen. Es würde auch keinen Sinn machen, denn es steht ja in der Aufgabenstellung: $Y [mm] \in [f(x_0), f(x_1)] [/mm] = [-1,1]$. Es gibt keine Intervalle, deren obere Grenze größer ist als die untere, es muss also die Verbinungsstrecke in der komplexen Ebene gemeint sein.
Also, zeige noch, dass 0 wirklich in diesem Intervall liegt.
LG Lippel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Do 20.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> -t + ti = -1
> Nun muss ti reell sein, hab ich mir gedacht. Somit gilt also: ti = 0
Kann ich das wirklich so begründen oder kann man das geschickter formulieren? Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Do 20.01.2011 | | Autor: | Lippel |
> > -t + ti = -1
>
> > Nun muss ti reell sein, hab ich mir gedacht. Somit gilt
> also: ti = 0
>
> Kann ich das wirklich so begründen oder kann man das
> geschickter formulieren? Danke.
Ich habe dir bereits geschrieben, dass du nicht mehr die Strecke [mm] $[1,i]\:$ [/mm] sondern die Strecke [mm] $[1,-1]\:$ [/mm] betrachten musst!!
Es kommt also kein i mehr vor!
Es ist [mm] $[1,-1]\: [/mm] = [mm] \{(t-1)*1+t*(-1)\:|\: t \in [0,1]\}$.
[/mm]
Darauf soll 0 liegen. Zeige das!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 20.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Sry, mein Beitrag war darauf bezogen, dass die 0 nicht angenommen wird.
Das sie auf der Verbindungsstrecke liegt, müsste doch so gehn:
(1 - t) * 1 + t * (-1)=0
=1-t-t=0
Also t = 0,5
Und das liegt zwischen 0 und 1 (salopp)
Müsste doch so gehn? Aber ich wüsste schon gern, ob ich bei der einen Stelle (Beitrag zuvor) das so begründen kann, dass die 0 nicht angenommen wird. Danke sehr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Do 20.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Tschuldigung, dann habe ich deinen Beitrag falsch verstanden. Es stimmt alles soweit. Beide Begründungen sind richtig.
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