Beweis\binom{n}{k} als Produkt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 21:22 Di 28.06.2011 | Autor: | elmanuel |
Aufgabe | Zeigen sie das gilt: [mm] \binom{n}{k} [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^k \dfrac{n+1-i}{i} [/mm] |
ich bin mir nicht ganz sicher bei diesem beweis und bitte deswegen um kontrolle:
[mm] \binom{n}{k} [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^k \dfrac{n+1-i}{i}
[/mm]
[mm] \binom{n}{k} [/mm] = [mm] \dfrac{n!}{k! (n-k)!} [/mm] (Definition des Binomialkoeffizienten)
[mm] \binom{n}{k} [/mm] = [mm] \dfrac{(n-k)!(n*(n-1)*...*(n+1-k))}{k! (n-k)!} [/mm] (herausheben von (n-k)!)
[mm] \binom{n}{k} [/mm] = [mm] \dfrac{(n*(n-1)*...*(n+1-k))}{k!} [/mm] (kürzen)
[mm] \binom{n}{k} [/mm] = [mm] \dfrac{n}{1} [/mm] * [mm] \dfrac{n-1}{2} [/mm] * ... * [mm] \dfrac{n+1-k}{k} [/mm] (aufteilen des bruchs, zerlegung der faktorielle von k)
[mm] \binom{n}{k} [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^k \dfrac{n+1-i}{i} [/mm] (umschreiben des produkts)
qed!
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Hallo elmanuel,
> Zeigen sie das gilt: [mm]\binom{n}{k}[/mm] = [mm]\prod_{i=1}^k \dfrac{n+1-i}{i}[/mm]
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> ich bin mir nicht ganz sicher bei diesem beweis und bitte
> deswegen um kontrolle:
>
> [mm]\binom{n}{k}[/mm] = [mm]\prod_{i=1}^k \dfrac{n+1-i}{i}[/mm]
>
> [mm]\binom{n}{k}[/mm] = [mm]\dfrac{n!}{k! (n-k)!}[/mm] (Definition des Binomialkoeffizienten)
> [mm]\binom{n}{k}[/mm] = [mm]\dfrac{(n-k)!(n*(n-1)*...*(n+1-k))}{k! (n-k)!}[/mm] (herausheben von (n-k)!)
> [mm]\binom{n}{k}[/mm] = [mm]\dfrac{(n*(n-1)*...*(n+1-k))}{k!}[/mm] (kürzen)
> [mm]\binom{n}{k}[/mm] = [mm]\dfrac{n}{1}[/mm] * [mm]\dfrac{n-1}{2}[/mm] * ... * [mm]\dfrac{n+1-k}{k}[/mm] (aufteilen des bruchs, zerlegung der
> faktorielle von k)
> [mm]\binom{n}{k}[/mm] = [mm]\prod_{i=1}^k \dfrac{n+1-i}{i}[/mm] (umschreiben des produkts)
Alles OK!
>
> qed!
LG
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Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 21:30 Di 28.06.2011 | Autor: | elmanuel |
besten Dank! fleißiger kompadre ;)
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