Beweis de Morgansche Regel < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind eine nichtleere Menge O und eine nichtleere, endliche oder abzählbar unendliche Indexmenge J. Zu jedem [mm] j\in [/mm] J sei eine [mm] A_{J} \subseteq [/mm] O definiert.
Beweise die Komplementaritätsregel von de Morgan:
[mm] \bigcup_{j\in J} (A_{J})^c=(\bigcap_{j\in J}A_{J})^c
[/mm]
wobei [mm] B^c [/mm] als die Menge aller x Element O definiert ist, die nicht zu B gehören. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgenden Ansatz: Wenn [mm] \bigcup_{j\in J} (A_{J})^c \subseteq (\bigcap_{j\in J}A_{J})^c
[/mm]
und [mm] (\bigcap_{j\in J}A_{J})^c \subseteq \bigcup_{j\in J} (A_{J})^c
[/mm]
Dann ist [mm] \bigcup_{j\in J} (A_{J})^c=(\bigcap_{j\in J}A_{J})^c
[/mm]
Leider habe ich noch keine Ahnung, wie ich das beweisen soll.
Kann mir jemand den vollständigen Beweis und Erläuterungen dazu geben? Ist mein Ansatz vielleicht falsch?
Ich habe leider ziemlich keine Ahnung von Beweisen und ich kenne nur den mit [mm] \wurzel{2}\not\in \IQ. [/mm] Also nur einen indirekten.
Ein Kommilitone hatte auch noch eine andere Idee: wenn es ein x sowohl in der linken als auch in der rechten Menge gibt, dann sind die gleich, aber ich glaube, dass dann nur gezeigt wird, dass beide Mengen eine Schnittmenge haben.
Ich danke euch schon mal für eure Hilfe, denn ich bin echt hilflos.
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Hallo Serpiente und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegeben sind eine nichtleere Menge O und eine nichtleere,
> endliche oder abzählbar unendliche Indexmenge J. Zu jedem
> [mm]j\in[/mm] J sei eine [mm]A_{J} \subseteq[/mm] O definiert.
> Beweise die Komplementaritätsregel von de Morgan:
> [mm]\bigcup_{j\in J} (A_{J})^c=(\bigcap_{j\in J}A_{J})^c[/mm]
>
> wobei [mm]B^c[/mm] als die Menge aller x Element O definiert ist,
> die nicht zu B gehören.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe folgenden Ansatz: Wenn [mm]\bigcup_{j\in J} (A_{J})^c \subseteq (\bigcap_{j\in J}A_{J})^c[/mm]
>
> und [mm](\bigcap_{j\in J}A_{J})^c \subseteq \bigcup_{j\in J} (A_{J})^c[/mm]
>
> Dann ist [mm]\bigcup_{j\in J} (A_{J})^c=(\bigcap_{j\in J}A_{J})^c[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (beachte aber, dass die Indizes an den Mengen kleine j sein müssen: [mm]A_j[/mm]
Das ist der Ansatz der Wahl! Eine Mengengleichheit kann man immer durch den Nachweis beider Inklusionen beweisen, so wie du es geschrieben hast.
>
> Leider habe ich noch keine Ahnung, wie ich das beweisen
> soll.
> Kann mir jemand den vollständigen Beweis und
> Erläuterungen dazu geben?
Nein!
> Ist mein Ansatz vielleicht
> falsch?
Nein, das kannst du so machen.
Ich beginne mit der einen Inklusion [mm]\subsetequ[/mm][mm]\subseteq[/mm]:
Zu zeigen ist [mm]\bigcup_{j\in J} (A_{j})^c \subseteq (\bigcap_{j\in J}A_{j})^c[/mm]
Wie zeigt man eine Inklusion? Man zeigt, dass jedes Element x in der linken Menge auch in der rechten liegt.
Nehmen wir uns also ein beliebiges [mm]x\in \bigcup_{j\in J} (A_{j})^c[/mm] her.
Von dem müssen wir nun zeigen, dass es gefälligst auch in der anderen Menge liegt:
Nutzen wir die Definitionen: [mm]x\in \bigcup_{j\in J} (A_{j})^c[/mm] bedeutet [mm]x\in A_1^c \vee x\in A_2^c\vee ...[/mm]
Also liegt x in mindestens einem der [mm]A_j^c[/mm]
Damit liegt nach Def "Komplement" aber x nicht in [mm]A_j[/mm]
Was bedeutet das für den Schnitt über all die [mm]A_i[/mm] ??
Liegt x in diesem Schnitt? Nein! Warum nicht?
Darum liegt es in dem Komplement des Schnittes ...
Da dies für ein beliebiges x aus der Menge linkerhand gilt, gilt es für alle Elemente der linken Menge, somit ist diese Inklusion gezeigt.
Das habe ich jetzt bewusst "unmathemat." (ohne viel Formelwirrwar) aufgeschrieben, damit es erstmal gut nachvollziehbar bleibt.
Du kannst es ja mal schön "verpacken"
Die andere Inklusion geht sehr ähnlich, die Beweisstruktur ist dieselbe.
Geh's mal mit diesen Hinweisen an, das sollte genügen, damit du was zusammen bekommst 
> Ich habe leider ziemlich keine Ahnung von Beweisen und ich
> kenne nur den mit [mm]\wurzel{2}\not\in \IQ.[/mm] Also nur einen
> indirekten.
> Ein Kommilitone hatte auch noch eine andere Idee: wenn es
> ein x sowohl in der linken als auch in der rechten Menge
> gibt, dann sind die gleich, aber ich glaube, dass dann nur
> gezeigt wird, dass beide Mengen eine Schnittmenge haben.
> Ich danke euch schon mal für eure Hilfe, denn ich bin
> echt hilflos.
Immer an die Definitionen halten!
Gruß
schachuzipus
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