Beweis der Diffbarkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f : R -> R und es gebe eine Zahl c 2R+, so dass
|f(x)|<,=c*x²
für alle xR. Zeigen Sie, dass f im Punkt x = 0 differenzierbar ist und geben Sie f′(0)
an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Erstmal HALLO,ich bin schon lange stiller Mitleser,aber jetzt brauch ich mal direkt eure Hilfe zu einer Aufgabe:)
Und zwar habe ich mich an dieser Aufgabe mal versucht(war Klausuraufgabe Analysis1) und eine Überlegung, nur niemanden der mir sagen kann, ob das richtig ist oder totaler Schwachsinn:(
Meine Idee:
zz. f in x=0 diff.bar:
fals der Grenzwert f'(x):=lim(h->0) f(x+h)-f(x)/h existiert ist die Fkt. im Punkt x diffbar.
Also:
(f(x+h)-f(x))/h<,= (c*(x+h)²-c*x²)/h=(c*x²+c*2*x*h-c*x²=2*c*x für h->0
Also ist die Fkt. diffbar.
zz:f´(0)
f´(0)<,=0
Ich hoff ich habe mir da nicht allzuviel zusammengeraten
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 So 29.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] und es gebe eine Zahl [mm] $c\in\IR^+$, [/mm] so dass
> [mm] $|f(x)|\le cx^2$ [/mm] für alle [mm] x\in\IR. [/mm] Zeigen Sie, dass f im Punkt x=0
> differenzierbar ist und geben Sie f'(0) an
> Meine Idee:
> zz. f in x=0 diff.bar:
> falls der Grenzwert [mm] f'(x):=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm]
> existiert, ist die Fkt. im Punkt x diffbar.
Genau.
> Also:
> [mm] \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\le \frac{c*(x+h)^2-c*x^2}{h}=...
[/mm]
Ja... das stimmt schonmal nicht. Warum sollte [mm] $f(x+h)-f(x)\le c(x+h)^2-cx^2$ [/mm] sein? Das folgt jedenfalls nicht aus der Voraussetzung.
Du willst ja die Diffbarkeit im Punkt [mm] x_0=0 [/mm] zeigen, also musst du den Differenzenquotienten [mm] $$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$$ [/mm] betrachten.
1) Was kannst du aus der Voraussetzung über f(0) Folgern?
2) Was folgt damit für [mm] $\left|\frac{f(h)-f(0)}{h}\right|$?
[/mm]
3) Was ist also f'(0)?
Gruß, Robert
PS: Versuch bitte in Zukunft den Formeleditor des Forums zu benutzen, das macht uns die Arbeit deutlich leichter.
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Danke für die noch so späte Antwort:)
Den Formeleditor versteh ich nicht so ganz aber danke fürs umschreiben.
Warum das nicht korrekt ist versteh ich leider immer noch nicht $ [mm] f(x+h)-f(x)\le c(x+h)^2-cx^2 [/mm] $ ,aber jetzt mal meine Versuche mit deinen Tips:
Nach Defintion muss f(0)=0 sein (oder?)
Also wird $ [mm] f'(x):=\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} [/mm] $ gegen Null laufen.????
Dann ist f'(0) =o? omg, Ich verzweifel
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Hiho,
> Warum das nicht korrekt ist versteh ich leider immer noch
> nicht [mm]f(x+h)-f(x)\le c(x+h)^2-cx^2[/mm]
Nehmen wir mal spaßeshalber [mm]f(x) = -cx^2[/mm], dann gilt die Voraussetzung [mm]|f(x)| \le cx^2[/mm]
und damit:
[mm]f(x+h) - f(x) = -c(x+h)^2 + cx^2 = -2xh - h^2 = -(2xh + h^2)[/mm]
aber [mm]c(x+h)^2 - cx^2 = 2xh + h^2[/mm]
Was gilt nun für [mm] x< -\bruch{h}{2}[/mm] (bspw. [mm]x = -h^2[/mm])?
> Nach Defintion muss f(0)=0 sein (oder?)
Ja, aber warum? Schachtel es am besten ein, beachte dazu:
[mm]0 \le -|x| \le x \le |x|[/mm]
> Also wird [mm]f'(x):=\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}[/mm] gegen
> Null laufen.????
Naja, erstmal nicht f'(x) sondern f'(0), du betrachtest es ja schliesslich gerade an x = 0, aber auch hier gilt: Warum? Beweis bitte, nicht einfach so hinschreiben.
Das läuft genauso wie bei f(0) 
> Dann ist f'(0) =o?
Wenn du gezeigt hast, dass obiger Grenzwert gegen 0 läuft, dann ist das auch der Wert von f'(0)
> omg, Ich verzweifel
Kein Grund dazu, das wird schon.
MFG,
Gono.
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Wow, das geht ja echt hammer schnell mit na kompetenten Antwort hier bei euch :)
Ok, also ich hab in mein Heft als Beweis eigentl. nur geschrieben:)
Da nach Voraussetzung $ [mm] |f(x)|\le cx^2 [/mm] $ , muss für $ [mm] |f(0)|\le c0^2 [/mm] $ $ [mm] |f(0)|\le [/mm] 0 $ sein. Aufgrund des Betrags also f(0)=0
Berechne Differenzenquotient:
$ [mm] f'(0):=\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] $=$ [mm] f'(x):=\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-0}{h} [/mm] $=f´(0)=0
Anders wüsst ich leider echt nicht wie ich vorgehen soll:(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 So 29.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Wow, das geht ja echt hammer schnell mit na kompetenten
> Antwort hier bei euch :)
>
> Ok, also ich hab in mein Heft als Beweis eigentl. nur
> geschrieben:)
> Da nach Voraussetzung [mm]|f(x)|\le cx^2[/mm] , muss für [mm]|f(0)|\le c0^2[/mm]
> [mm]|f(0)|\le 0[/mm] sein. Aufgrund des Betrags also f(0)=0
Richtig. Aus [mm] $|f(0)|\le [/mm] 0$ folgt ja $|f(0)|=0$, also $f(0)=0$.
> Berechne Differenzenquotient:
> [mm]f'(0):=\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm]=[mm] f'(x):=\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-0}{h} [/mm]=f´(0)=0
Naja, hier fehlt halt einfach die Begründung warum der Grenzwert gegen 0 geht. Ich zeig dir mal wie man es machen könnte:
Wir benutzen die Ungleichung [mm] $-|\alpha|\le \alpha\le|\alpha|$. [/mm] Damit erhallten wir für den Differenzenquotienten und f(0)=0: [mm] $$-\left|\frac{f(h)}{h}\right|\le \frac{f(h)}{h}\le\left|\frac{f(h)}{h}\right|\qquad(\star)$$ [/mm] Nach Voraussetzung gilt [mm] $$\left|\frac{f(h)}{h}\right|=\frac{|f(h)|}{|h|}\le\frac{ch^2}{|h|}=\begin{cases}ch&\text{falls }h\ge 0\\-ch&\text{falls }h>0\end{cases}$$ [/mm] und die rechte Seite geht für [mm] h\to [/mm] 0 gegen 0! Lassen wir nun in der Ungleichungskette [mm] $(\star)$ [/mm] in jedem Term [mm] $h\to0$ [/mm] gehen, so folgt also [mm] $$0\le\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}\le 0\quad\text{also}\quad\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}=0$$ [/mm] Also ist f in 0 differenzierbar und es gilt f'(0)=0.
Die Argumentation ist schon etwas diffizil, aber im Grunde sind das "Standarttricks" in der Analysis. Wirst du auch noch hinkriegen. Falls dir das alles sehr neu vorkommt, dann pass gut auf, dass du auch jeden kleinen Schritt verstehst.
Gruß, Robert
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:-O ok das sieht schon ein wenig anders aus als bei mir:)
Hast du vll bei $ [mm] \left|\frac{f(h)}{h}\right|=\frac{|f(h)|}{|h|}\le\frac{ch^2}{|h|}=\begin{cases}ch&\text{falls }h\ge 0\\-ch&\text{falls }h>0\end{cases} [/mm] $ statt h<0 dich mit h>0 vertan?,weil das sonst für mich nicht nachvollzihbar ist.
Ich versteh jetzt nur noch nicht wieso ich in diesem Schritt
$ [mm] 0\le\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}\le 0\quad\text{also}\quad\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}=0 [/mm] $
sagen darf,dass $ [mm] \left|\frac{f(h)}{h}\right| [/mm] $ gleich null wird, aber bei der mittleren Ungleichung nicht?!
Ihr seid eine riesen Hilfe, danke
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Hiho,
> :-O ok das sieht schon ein wenig anders aus als bei mir:)
> Hast du vll bei
> [mm]\left|\frac{f(h)}{h}\right|=\frac{|f(h)|}{|h|}\le\frac{ch^2}{|h|}=\begin{cases}ch&\text{falls }h\ge 0\\-ch&\text{falls }h>0\end{cases}[/mm]
> statt h<0 dich mit h>0 vertan?,weil das sonst für mich
> nicht nachvollzihbar ist.
Ja hat er, aber ich denke es war klar, was er gemeint hat 
> Ich versteh jetzt nur noch nicht wieso ich in diesem
> Schritt
> [mm]0\le\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}\le 0\quad\text{also}\quad\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}=0[/mm]
>
> sagen darf,dass [mm]\left|\frac{f(h)}{h}\right|[/mm] gleich null
> wird, aber bei der mittleren Ungleichung nicht?!
Ich verstehe zwar gerade nicht, was du mit mittlerer Ungleichung meinst, aber vielleicht hilft dir diese Gleichungskette nochmal:
Wir wissen ja bereits, dass gilt:
[mm]-\left|\frac{f(h)}{h}\right| \le \frac{f(h)}{h} \le \left|\frac{f(h)}{h}\right|[/mm]
Und damit auch:
[mm]\lim_{h\to 0} -\left|\frac{f(h)}{h}\right| \le \lim_{h\to 0} \frac{f(h)}{h} \le \lim_{h\to 0}\left|\frac{f(h)}{h}\right|[/mm]
Von der linken und rechten Seite wissen wir nun nach obiger Betrachtung (da wir NUR den Betrag von f(h) abschätzen können, aber NICHT f(h) selbst), daß beides gegen Null läuft, also:
[mm]0 \le \lim_{h\to 0} \frac{f(h)}{h} \le 0[/mm]
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 So 29.03.2009 | | Autor: | MoggManiac |
Da ich mir bei der ganzen Rechnung unsicher bin, wollt ich mich nur vergewissern,sollte nicht negativ rüberkommen :)
Aber ich habs jetzt wohl ganz gut verstanden, auch wenn ich mir sicher bin es nicht in der Klausur zu schaffen.
DAnke euch und einen schönen Sontag noch,vll kommt ja noch eine Frage im Laufe des Tages auf euch zu :D
LG
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