Beweis der Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | I [mm] \subset \IR [/mm] ist ein offenes Intervall, f: I [mm] \to \IR [/mm] ist stetig und F : IxI [mm] \to \IR [/mm] eine reelle Fkt mit den Eigenschaften:
a) für alle a,b,c gilt: F(a,b) =F(a,c) +F(c,b)
b) es seien n,N reelle Zahlen und x,y in I,sodass Intervall x,y [mm] \subset [/mm] I und [mm] n\le f(\alpha) \le [/mm] N für alle [mm] \alpha [/mm] im Intervall x,y. Dann gilt: n(y-x) [mm] \le [/mm] F(x,y) [mm] \le [/mm] N(y-x). |
ich soll nun zeigen,dass für beliebige [mm] x_{0} \in [/mm] I die Fkt [mm] x(\in [/mm] I) [mm] \mapsto [/mm] F( [mm] x_{0},x) [/mm] auf I differenzierbar ist mit der Ableitung f.
Ich weiss leider überhaupt nicht,was ich tun soll...
|
|
| |
|
> I [mm]\subset \IR[/mm] ist ein offenes Intervall, f: I [mm]\to \IR[/mm] ist
> stetig und F : IxI [mm]\to \IR[/mm] eine reelle Fkt mit den
> Eigenschaften:
> a) für alle a,b,c gilt: F(a,b) =F(a,c) +F(c,b)
> b) es seien n,N reelle Zahlen und x,y in I,sodass
> Intervall x,y [mm]\subset[/mm] I und [mm]n\le f(\alpha) \le[/mm] N für alle
> [mm]\alpha[/mm] im Intervall x,y. Dann gilt: n(y-x) [mm]\le[/mm] F(x,y) [mm]\le[/mm]
> N(y-x).
> ich soll nun zeigen,dass für beliebige [mm]x_{0} \in[/mm] I die
> Fkt [mm]x(\in[/mm] I) [mm]\mapsto[/mm] F( [mm]x_{0},x)[/mm] auf I differenzierbar ist
> mit der Ableitung f.
>
> Ich weiss leider überhaupt nicht,was ich tun soll...
Hallo,
ich sage ganz offen, daß ich mir die Aufgabe auch mindestens dreimal durchlesen mußte.
Aber Deinen Lösungsansatz finde ich wirklich mehr als mager.
Auch wenn Du nicht genau weißt, wie Du zum Ziel kommst - was ich gut verstehen kann -, so könntest Du doch schonmal beginnen ein wenig zu sortieren und zumindest aufzuschreiben, was man machen soll. Ohne dies zu tun findest man nämlich niemals eine Lösung.
In Deiner Aufgabe wird eine Funktion definiert, nämlich für [mm] a\in [/mm] I die Funktion (Ich habe hier das [mm] x_0 [/mm] aus der Aufgabe in a umgetauft)
[mm] \Phi: [/mm] I [mm] \to \IR [/mm] mit
[mm] \Phi(x):=F(a,x).
[/mm]
(Die Funktion F hat dabei die Eigenschaften von oben.)
Nun sollst Du die Diffbarkeit von [mm] \Phi [/mm] nachweisen und zeigen, daß [mm] \phi'=f [/mm] ist.
Was mußt Du denn für Differenzierbarkeit zeigen? Daß der limes des Differenzenquotienten existiert. Also?
(Zumindest bis hierher solltest Du kommen.)
Einige Hinweise:
wenn Du den Differenzenquotienten dastehen hast, kannst Du mal schauen, ob und wie Du Dir die Eigenschaft a) von F zunutze machen kannst.
Um mit Gewinn die Eigenschaft b) auszuspielen, nutze die Stetigkeit der Funktion f und reize aus, was Du über stetige Funktionen über kompakten Intervallen weißt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=572023
FRED
|
|
|
| |
|
okay...dann muss doch der linksseitige GW auch gegen z laufen...ist das so richtig? g(z)-g(x) = F(z,x) usw. sei n(z-x) [mm] \le [/mm] g(z)-g(x) [mm] \le [/mm] N daraus folgt:
n [mm] \le [/mm] g(z)-g(x)/x-z [mm] \le [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \to [/mm] z ,g ist linksseitig differenzierbar mit ableitung f(z)
|
|
|
| |
|
Hallo,
> okay...dann muss doch der linksseitige GW
wovon?
> auch gegen z
> laufen...
gegen z?
> ist das so richtig?
Man kann es schlecht entscheiden, weil man nicht weiß, von welchem GW die Rede ist.
> g(z)-g(x) = F(z,x) usw.
Was meinst Du mit usw.?
> sei
> n(z-x) [mm]\le[/mm] g(z)-g(x) [mm]\le[/mm] N
Wieso "sei"?
Und was meinst Du mit n und N?
> daraus folgt:
> n [mm]\le[/mm] g(z)-g(x)/x-z [mm]\le[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\to[/mm] z ,
???
> g ist
> linksseitig differenzierbar mit ableitung f(z)
Mit Deiner Stichwortsammlung kann man wenig anfangen.
Viel sinnvoller wäre es, würdest Du freds Anleitung zum Beweis für "rechts" wirklich mal ausführen.
Wenn Du das kannst, kannst Du auch "links".
(Wenn du das nämlich einfach so abpinnst, dann werden Deine Korrektoren ganz oft in rot "warum???" hinschreiben, oder "Begründung?")
Wenn Du Dich, bevor Du Dich mit Freds Beweisbastelanleitung beschäftigst, mit den von mir gegebenen Hinweisen befaßt, ist es keinesfalls schädlich, bzw.: es ist fürs Verständnis unbedingt notwendig.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:36 Fr 10.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
> I [mm]\subset \IR[/mm] ist ein offenes Intervall, f: I [mm]\to \IR[/mm] ist
> stetig und F : IxI [mm]\to \IR[/mm] eine reelle Fkt mit den
> Eigenschaften:
> a) für alle a,b,c gilt: F(a,b) =F(a,c) +F(c,b)
> b) es seien n,N reelle Zahlen und x,y in I,sodass
> Intervall x,y [mm]\subset[/mm] I und [mm]n\le f(\alpha) \le[/mm] N für alle
> [mm]\alpha[/mm] im Intervall x,y. Dann gilt: n(y-x) [mm]\le[/mm] F(x,y) [mm]\le[/mm]
> N(y-x).
Auf den ersten Blick finde ich die Aufgabe auch etwas merkwuerdig. Aber eventuell steckt mehr dahinter. Wenn man den Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechnung kennt, sieht man sofort dass $F(a, b) = [mm] \int_a^b [/mm] f(x) dx$ gelten muss.
Deshalb wuerde ich sagen, dass diese Aufgabe nichts anderes ist als der Beweis eben dieses Hauptsatzes (abgesehen von der Tatsache, dass stetige Funktionen Riemann-integrierbar sind). Dass $F(a, b) = [mm] \int_a^b [/mm] f(x) dx$ die Voraussetzungen erfuellt sind schliesslich einfach nachzupruefende allgemeine Aussagen ueber das Riemann-Integral.
Ich vermute mal, dass trixi28788 und maximathe die gleiche Vorlesung hoeren momentan, vermutlich in Berlin, und in der Vorlesung der Hauptsatz nicht bewiesen wurde, sondern dort auf die Uebungen verwiesen wird. Und diese Uebung ist dann schliesslich der Hauptsatz. So, und ein paar Minuten Recherche spaeter: es geht wohl um die ![[]](/images/popup.gif) TU Berlin, und zwar um Aufgabe 4 auf dem 11. Uebungsblatt. Mir scheint uebrigens, dass Integrale noch gar nicht dran waren.
LG Felix
|
|
|
|
