www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Analysis-Sonstiges" - Beweis der Dreiecksungleichung
Beweis der Dreiecksungleichung < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis der Dreiecksungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Di 22.08.2006
Autor: lauravr

- Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. -

Als Hausaufgabe soll ein Beweis für die Dreiecksungleichung
|a+b| [mm] \le [/mm] |a| + |b|
gefunden werden.
Habe mich im Internet schon etwas umgeguckt, und kaum wirkliche Beweise gefunden. Teilweise habe ich auch Behauptungen gefunden, dass die Dreiecksungleichung ein Axiom sei, also gar nicht wirklich beweisbar. Ist das richtig?


Lg, Laura

        
Bezug
Beweis der Dreiecksungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Di 22.08.2006
Autor: M.Rex


> - Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. -
>  
> Als Hausaufgabe soll ein Beweis für die Dreiecksungleichung
> |a+b| [mm]\le[/mm] |a| + |b|
> gefunden werden.
>  Habe mich im Internet schon etwas umgeguckt, und kaum
> wirkliche Beweise gefunden. Teilweise habe ich auch
> Behauptungen gefunden, dass die Dreiecksungleichung ein
> Axiom sei, also gar nicht wirklich beweisbar. Ist das
> richtig?
>  
>
> Lg, Laura

Hallo Laura,

Zuerst einmal: Die Dreiecksungleichung ist KEIN Axiom, sie kann bewiesen werden.

Dazu brauchen wir erstmal die Definition des Betrages, ich nehme mal an, dass ihr in [mm] \IR [/mm] rechnet.

Also
|x| = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases} [/mm]


Jetzt machst du ein paar Fallunterscheidungen:

1) a [mm] \ge [/mm] 0 und b [mm] \ge [/mm] 0

Dann gilt: |a + b| = |a| + |b|.

2) a<0 und b<0 Dann gilt |a + b| = |(-1) [mm] \underbrace{(-a -b)}_{>0}| [/mm] = |-1| (|-a| + |-b|) =  |a| + |b|

3) Sei nun a [mm] \ge [/mm] 0 und b < 0:
Dann gilt: |a| = a und |b| = -b
(Wenn gilt: a<0 und [mm] b\ge0 [/mm] betrachte |a+b| = |b+a|)

Jetzt musst du nochmal eine Fallunterscheidung machen.

3.1) Es gilt zusätzlich a+b [mm] \ge [/mm] 0:

Dann gilt, ich weiss, dass ist ein wenig verwirrend, aber ich habe keinen besseren Beweis gefunden:
|a| + |b| - |a +b| = a + (-b) + (a+b) = -b + -b [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] |a| + |b| - |a +b| [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] |a| + |b| [mm] \ge [/mm] |a +b|

3.2)
Es gilt zusätzlich: a+b < 0

Dann gilt:
|a| + |b| - |a +b| = a + (-b) + (a+b) = a + a [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] |a| + |b| - |a +b| [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] |a| + |b| [mm] \ge [/mm] |a +b|

Das sind die vier auftretenden Fälle.  

Das ganze habe ich aus dem sehr guten Skript von meinem Analysis1 Professor, das du []hier herunterladen kannst. Dieser Beweis steht in Kapitel 2, "Der Körper der rationalen Zahlen".

Marius

Bezug
                
Bezug
Beweis der Dreiecksungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Mi 23.08.2006
Autor: lauravr

Erst einmal danke für die schnelle Hilfe. Habe jedoch noch einige Fragen.

Die Dreiecksungleichung bedeutet ja, geometrisch gesehen, dass die Seiten a und b eines Dreiecks immer größer oder gleich c sind. Müsste das dann nicht bedeuten, dass für das Dreieck nur Fallunterscheidung 1 gelten würde? Kann 3.1. trotzdem damit in Verbindung gebracht werden (denn wenn sowohl a, als auch b größer gleich Null ist, dann ist es deren Summe ja erst recht.) ? Oder setzen 3.1. und 3.2. Fallbespiel 3 voraus?
Sind 2. und 3. nur theoretisch (also nicht konstruirbar)?

Wenn ich 3.1. mal mit Zahlen durchgehe, kommen noch Fragen auf.  Wenn ich a = 5 und b = (-2) einsetze, erhalte ich für die erste Gleichung in der ersten Zeile 4=10, was ja nicht sein kann. Wo liegt der Fehler?
Genau dasgleiche bei 3.2. . Wenn ich a = 1 und b = (-3) einsetze, bekomme ich in der ersten Zeile 4 = 2 raus.



Ich hoffe auf schnelle Hilfe.
Dankeschön, schon mal.

Bezug
                        
Bezug
Beweis der Dreiecksungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Mi 23.08.2006
Autor: M.Rex

Hallo nochmal,

3.1 und 3.2 setzen tatsächlich 3 voraus.

Tatsächlich wirst du kein Dreieck mit negativen Seitenlängen finden, (also Fälle 2 und 3) wenn du willst, lass diese Fälle dann weg. Ich wusste nur nicht, wie genau du den Beweis brauchtest.

Und noch ein Tipp: Wenn gilt: Die beiden kurzen Seiten a und b ergeben zusammen die lange Seite c, hast du eine Gerade. d.h. für jedes "echte" Dreieck gilt  a+b > c.

Ich hoffe, das das deine Fragen klärt.

Marius


Bezug
                                
Bezug
Beweis der Dreiecksungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Mi 23.08.2006
Autor: lauravr

Gut. Dankeschön.
Und wie kommt es nun zu meinen Rechenfehlern bei 3.1 und 3.2 ?

Für ein echtes Dreieck (also Fall 1) gibt es also nicht wirklich einen Beweis, sondern nur die Hypothese |a+b| = |a| + |b| ?

Lg Laura

Bezug
                                        
Bezug
Beweis der Dreiecksungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Mi 23.08.2006
Autor: M.Rex


> Gut. Dankeschön.
>  Und wie kommt es nun zu meinen Rechenfehlern bei 3.1 und
> 3.2 ?

Keine Ahnung, vergiss den Teil einfach, kann durchaus sein, dass ich nen Vorzeichendreher eingebaut habe.

>  
> Für ein echtes Dreieck (also Fall 1) gibt es also nicht
> wirklich einen Beweis, sondern nur die Hypothese |a+b| =
> |a| + |b| ?
>  

Die Aussage |a+b| = |a| + |b| gilt generell, sofern a und b > 0.  Aber ich denke, dass du zeigen sollst, dass in einem Dreieck mit Seiten a, b und der langen Seite c gilt:
|a|+|b| > |c| .


Das werde ich mal versuchen, komplett zu beweisen, wenn ich dir schon solche Sachen an den Kopf werfe.
Also nehmen wir mal an, a und b sind die Kurzen Seiten: (beide [mm] \not= [/mm] 0).

Dann gilt sicher |2a| + |2b| > |a| + |b| = |a| + |b| + c - c > |a| + |b| - c, weil ja c>0.
[mm] \Rightarrow [/mm] |2a+2b| > |a| + |b| - c  [mm] \Rightarrow [/mm] |a+b| > |-c| = |c| > 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] |a| + |b| > |c| .

> Lg Laura

Ich hoffe, dass ich dich nicht allzusehr verwirrt habe, wenn doch, SORRY.

Marius


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de