Beweis der Meßbarkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:28 So 19.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hey, Leute!
Betrachte die Wahrscheinlichkeitsräume [mm] $(\Omega,\mathcal{A},P), (\Omega',\mathcal{B},P')$, [/mm] die Indikatorfunktion [mm] $\chi_{A\times B}(x,y), A\in\mathcal{A}, B\in\mathcal{B}$, [/mm] die [mm] $\mathcal{A}-\mathcal{B}$-messbare [/mm] Funktion [mm] $T\colon\Omega\to\Omega'$sowie [/mm] die Funktion [mm] $g\colon\Omega'\times\Omega'\to\mathbb{R}$.
[/mm]
Setze für beliebiges, aber festes [mm] $\eta\in\Omega'$
[/mm]
[mm] $g(y,\eta)=E(\chi_{A\times B}(x,\eta)|T(x)=y)$.
[/mm]
Zeige, daß [mm] $g(y,\eta)=h(y)\cdot\chi_{B}(\eta)$ [/mm] mit [mm] $h\geq [/mm] 0$ und $h(y)=P(A|T(x)=y)$ in y [mm] $\mathcal{B}$-messbar [/mm] ist. |
Hier sind meine bisherigen Überlegungen.
[mm] $g(y,\eta)=\begin{cases}P(A|T(x)=y)=E(\chi_A(x)|T(x)=y), & \mbox{falls }\eta\in B\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Und das zeigt doch eigentlich auch schon, würde ich meinen, daß [mm] $g(y,\eta)$ [/mm] in y [mm] $\mathcal{B}$-messbar [/mm] ist:
Denn [mm] $E(\chi_A(x)|T(x)=y)=q(y)$für [/mm] eine [mm] $\mathcal{B}-\mathcal{B}(\mathbb{R})$-messbare [/mm] Funktion [mm] $q\colon\Omega'\to\mathbb{R}$ [/mm] (sog. faktorisierte bedingte Erwartung) und falls [mm] $g(y,\eta)\equiv [/mm] 0$, so gilt für ein beliebiges [mm] $C\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$:
[/mm]
[mm] $g^{-1}(C,\eta)=\left\{w^*\in\Omega'|0\in C\right\}=\begin{cases}\Omega'\in\mathcal{B}, & 0\in C\\\emptyset\in\mathcal{B}, & 0\notin C\end{cases}$
[/mm]
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Ich wüsste gerne, ob ich richtig liege. Wenn nicht, freue ich mich über Tipps.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 So 19.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Entschuldigung, ich habe noch etwas vergessen!
Laut der Aufgabe soll gelten [mm] $h\geq [/mm] 0$, $h(y)=P(A|T(x)=y)$ und [mm] $\mathcal{B}$-meßbar.
[/mm]
Dann ist es ja eigentlich noch viel einfacher!
Denn dann hat man ja direkt
[mm] $g(y,\eta)=\begin{cases}h(y), &\mbox{ falls }\eta\in B\\0, &\mbox{sonst}\end{cases}$ [/mm] und damit liegt in beiden Fällen eine in y [mm] $\mathcal{B}$-meßbare [/mm] Funktion vor..
Si?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 21.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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