Beweis der Unstetigkeit v. Fkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mi 18.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR
[/mm]
[mm] f(x_{1},x_{2})=\bruch{2x_{1}x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} [/mm] , falls [mm] (x_{1},x_{2})^{T}\not=(0,0)^{T}
[/mm]
[mm] f(x_{1},x_{2})=0 [/mm] , falls [mm] (x_{1},x_{2})^{T}=(0,0)^{T}
[/mm]
nicht stetig in [mm] \vec{a}=(0,0)^{T} [/mm] ist. |
Hallo,
diese Aufgabe haben wir heute in der Übung behandelt, jedoch sind mir die Schritte nicht ganz klar.
Hier der Rechenweg :
[mm] x_{k}=(\bruch{1}{k}, 0)^{T} [/mm] ( Meine Frage, wieso wählt der Übungsleiter ausgerechnet dieses hier? Auf meine Nachfrage hat er geantwortet, dass wir eine Nullfolge brauchen, jedoch ist mir dies auch nicht klar.)
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{1}{k}, 0)^{T} =(0,0)^{T}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=1\not=0=f(0,0)
[/mm]
Kann mir einer verraten wieso wir so vorgehen ? Weshalb benötigen wir eine Nullfolge? Hoffe ihr könnt mir die Fragen gut erklären.
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Hiho,
sollte dein Übungsleiter dir das wirklich so beantwortet haben, scheint es eher so zu sein, als hätte er es selbst nicht wirklich verstanden oder kann sein Wissen nicht rüberbringen.
Aber sei es, wie es sei, fangen wir mal an.
Wir rufen uns in Erinnerung, wann eine Funktion (folgen-)stetig heißt: Eine Funktion heißt stetig in [mm] $x_0$, [/mm] falls [mm] $\lim_{x\to x_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0)$.
[/mm]
Sieht erstmal nicht spektakulär aus, ist es aber schon!
Machen wir uns mal klar, was [mm] $\lim_{x\to x_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0)$ [/mm] bedeutet:
Das heißt: Für alle Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to \infty} x_n [/mm] = [mm] x_0$ [/mm] (oder kurz: [mm] $x_n \to x_0$) [/mm] gilt [mm] $\lim_{n\to \infty} f(x_n) [/mm] = [mm] f(x_0)$ [/mm] (oder wieder kurz: [mm] $f(x_n) \to f(x_0)$)
[/mm]
Im Umkehrschluß heißt das also: Finden wir eine Folge [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] für die [mm] $f(x_n)\not\to f(x_0)$ [/mm] kann f schon nicht mehr stetig in [mm] x_0 [/mm] sein.
Das tolle ist nun: Obige Beschreibung gilt exakt so auch im [mm] $\IR^2$, [/mm] d.h. selbst wenn dein [mm] $x_0$ [/mm] aus zwei Komponenten besteht, bleiben die Aussagen identisch.
An deinem Beispiel im [mm] \IR^2 [/mm] ist [mm] $x_0 [/mm] = [mm] (x_0^1,x_0^2) [/mm] = (0,0)$
Wir müssen uns also Folgen betrachten im [mm] $\IR^2$ [/mm] die gegen (0,0) konvergieren und das tun eben die Folgen, die in jeder Komponente gegen 0 konvergieren.
Also bspw [mm] $\left(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}\right)$ [/mm] oder auch [mm] $\left(\bruch{1}{n^3},\bruch{n!}{n^n}\right)$ [/mm] oder, oder, oder......
Um Stetigkeit zu zeigen, müsste man jetzt für alle Folgen [mm] $x_n [/mm] = [mm] (x_n^1,x_n^2) \to [/mm] (0,0) = [mm] x_0$ [/mm] zeigen, dass [mm] $f(x_n) [/mm] = [mm] f(x_n^1,x_n^2) \to [/mm] f(0,0) = [mm] f(x_0) [/mm] = 0$
Oder man findet eine für die das eben nicht gilt und genau das hat dein Übungsleiter getan. Er hat die Folge [mm] $x_n [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{n},0\right)$ [/mm] "geraten" (beachte, dass für diese gilt: [mm] $x_n \to [/mm] (0,0)$) und gezeigt, dass [mm] $f(x_n) \to [/mm] 1 [mm] \not= [/mm] 0 = [mm] f(x_0)$
[/mm]
Also ist die Funktion an der Stelle nicht stetig.
Wenn du dich nun fragst, wie man auf so etwas kommt: Üben, üben, üben und eine Menge Erfahrung 
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Do 19.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Wow, super!Danke für die ausführliche Erklärung ! Ich glaube langsam verstehe ich es und hoffe, dass ich es auch auf andere Aufgaben anwenden kann!
Wenn ich bspw. die Unstetigkeit in [mm] \vec{a}=(1,0)^{T} [/mm] zeigen soll, muss ich ein [mm] x_{n} [/mm] finden, in welchem die erste Komponente gegen 1 und die zweite gegen 0 konvergiert oder?
Wenn ich dann beweisen kann, dass der Grenzwert [mm] x_{0} [/mm] nicht mit dem Funktionswert [mm] f(x_{0}) [/mm] übereinstimmt, dann habe ich den Beweis gezeigt, indem ich gezeigt habe, dass es eine Folge nicht gilt!
Wäre der Lösungsweg für folgende Aufgabe richtig? Ich hoffe, ich habe es jetzt verstanden :
Gegeben:
[mm] f(x_{1},x_{2})=\bruch{2x_{1}x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} [/mm] , falls [mm] (x_{1},x_{2})^{T}\not=(0,0)^{T}
[/mm]
und
[mm] f(x_{1},x_{2})=0 [/mm] , falls [mm] (x_{1},x_{2})^{T}=(0,0)^{T}
[/mm]
Mein Lösungsweg :
[mm] x_{k}=(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})^{T} [/mm] (dies habe ich so gewählt, da wenn ich eine Komponente gleich 0 setze, der Zähler 0 wird, was nicht der Fall sein soll)
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} ((\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})^{T}) [/mm] = [mm] (0,0)^{T}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] f = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{\bruch{2}{k^{2}}}{\bruch{2}{k^{2}}}) [/mm] = 1 [mm] \not=0 [/mm] = f(0,0)
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Hallo,
> Wow, super für die ausführliche Erklärung ! Ich glaube
> langsam verstehe ich es und hoffe, dass ich es auch auf
> andere Aufgaben anwenden kann!
>
> Wenn ich bspw. die Unstetigkeit in [mm]\vec{a}=(1,0)^{T}[/mm] zeigen
> soll, muss ich ein [mm]x_{n}[/mm] finden, in welchem die erste
> Komponente gegen 1 und die zweite gegen 0 konvergiert
> oder?
>
> Wenn ich dann beweisen kann, dass der Grenzwert [mm]x_{0}[/mm] nicht
> mit dem Funktionswert [mm]f(x_{0})[/mm] übereinstimmt, dann habe
> ich den Beweis gezeigt, indem ich gezeigt habe, dass es
> eine Folge nicht gilt!
>
> Wäre der Lösungsweg für folgende Aufgabe richtig? Ich
> hoffe, ich habe es jetzt verstanden :
>
> Gegeben:
>
> [mm]f(x_{1},x_{2})=\bruch{2x_{1}x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}[/mm] ,
> falls [mm](x_{1},x_{2})^{T}\not=(0,0)^{T}[/mm]
>
> und
>
> [mm]f(x_{1},x_{2})=0[/mm] , falls [mm](x_{1},x_{2})^{T}=(0,0)^{T}[/mm]
>
>
> Mein Lösungsweg :
>
> [mm]x_{k}=(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})^{T}[/mm] (dies habe ich so
> gewählt, da wenn ich eine Komponente gleich 0 setze, der
> Zähler 0 wird, was nicht der Fall sein soll)
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} ((\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})^{T})[/mm]
> = [mm](0,0)^{T}[/mm]
>
> [mm]%5CRightarrow%20%5Climes_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D[/mm] f =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] (
> [mm]\bruch{\bruch{2}{k^{2}}}{\bruch{2}{k^{2}}})[/mm] = 1 [mm]\not=0[/mm] =
> f(0,0)
Es ist alles richtig, und im Gegensatz zu deinem Übungsleiter hast du eine geeignete Folge gewählt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Do 19.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Super! Noch etwas daran üben und dann sollten solche Aufgaben ( hoffentlich ) kein allzu großes Problem werden.
Weshalb war die Folge die mein Übungsleiter gewählt hat nicht ganz so geeignet?
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Hallo,
> Super! Noch etwas daran üben und dann sollten solche
> Aufgaben ( hoffentlich ) kein allzu großes Problem
> werden.
>
> Weshalb war die Folge die mein Übungsleiter gewählt hat
> nicht ganz so geeignet?
Rechne doch nach: da kommt für [mm] k\to\infty [/mm] ein undefinierter Ausdruck der Form [mm] 0*\infty [/mm] heraus...
Gruß, Diophant
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