Beweis der existenz von Lösung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Di 26.02.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | exp(x)=5+x , x [mm] \in \IR
[/mm]
Beweise, dass die gleichung genau 2 relle Lösungen hat, eine positive und eine negative. |
hier muss man bestimmt mit dem zwischenwertsatz arbeiten....
Die gleichnung ist stetig, da die e-funktion stetig ist und 5+x auch.
Dann exisitiert laut zwischenwertsatz zu jedem v [mm] \in [/mm] [f(a),f(b)] min. ein u [mm] \in [/mm] [a,b] mit f(u)=v
mal ne ganz dumme frage exp(x)=5+x ist ne gleichung, wie kann man die denn als funktion darstellen? ich komme da nicht weiter?
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Hallo Kreide!
Betrachte hier die Funktion $f(x) \ = \ [mm] \exp(x)-(5+x) [/mm] \ = \ [mm] \exp(x)-5-x$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Kreide |
okay, war mir da irgenwie unsicher ^^
f(x)=exp(x)-5-x
f(x) ist eine komposition stetiger funktionen und damit stetig
Beim Anwenden des Zwischenwertsatzes will ich ja drauf hinaus, dass die Funktion zwei Nullstellen besitzt, eine negative (-x,y) und eine positive(x,y)
Das bedeutet, dass die Funktion entweder eine Parabel oder eine umgedrehte Parabel ist. (in der Klausur kann ich die funktion ja nicht in einen Taschenrechner eingeben)
nun setze ich mal -5 un 5 ein:
f(-5)=exp(-5)
f(5)=exp(5)-10
aus dem zwischensatz folgt: Dann exisitert zur 0 mit f(-5)<0<f(5) ein x [mm] \in [/mm] (-5,5) mit f(x)=0
Wie kann ich daraus erkennen, ob ich die positive oder negative Nullstelle gefunden habe?
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> f(x) = exp(x)-5-x
>
> f(x) ist eine komposition stetiger funktionen und damit
> stetig
Hallo,
ja, das ist richtig.
>
> Beim Anwenden des Zwischenwertsatzes will ich ja drauf
> hinaus, dass die Funktion zwei Nullstellen besitzt, eine
> negative (-x,y) und eine positive(x,y)
Der Aufgabenstellung kann ich entnehmen, daß Du jetzt zeigen müßtest, daß es eine negative und eine positive Nullstelle gibt,
aber davon, daß diese betragsgleich sein sollen, wie Du oben schreibst (-x und x), kann doch keine rede sein.
> Das bedeutet, dass die Funktion entweder eine Parabel oder
> eine umgedrehte Parabel ist.
Was ist denn das fürn Schnack?!
Es sind doch wahrlich Parabeln nicht die einzigen Funktionen, die eine neg. und eine pos. Nullstelle haben!
(Ich habe den dunklen Verdacht und die große Hoffnung, daß Du nicht über Parabeln, sondern über Extremwerte zwischen den Nullstellen sprechen wolltest.)
> nun setze ich mal -5 un 5 ein:
Das kann man tun. Man sollte sich allerdings vorher überlegen, was man bezweckt.
Was Du mit den Stellen -5 und 5 im allergünstigsten Falle erreichen könntest, wäre ja, daß Du ggf. wüßtest, daß dazwischen eine Nullstelle liegt. Aber was bringt Dir das? Nicht so viel: Du weißt ja gar nicht, ob sie positiv oder negativ ist.
Schauen wir mal weiter.
> f(-5)=exp(-5)
> f(5)=exp(5)-10
> aus dem zwischensatz folgt:
Ü - ber - haupt nichts.
Das ist doch Blödsinn! f(-5) und f(5) sind beide größer als Null.
Aus der Traum von Zwischenwert und Nullstelle.
> Wie kann ich daraus erkennen, ob ich die positive oder
> negative Nullstelle gefunden habe?
Man kann noch nicht mal erkennen, daß es eine Nullstelle gibt.
Du hast die Testpunkte doch völlig sinnlos gewählt. Versuch's nochmal, 'ne Skizze wäre sicher hilfreich,
auch auszurechnen ob f(0) größer oder kleiner als 0 ist, kann nicht von Schaden sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Kreide |
> > nun setze ich mal -5 un 5 ein:
>
ich hab etwas falsch gedacht, (hab im kopf y=-5 und y=5 gehabt...)
> Das kann man tun. Man sollte sich allerdings vorher
> überlegen, was man bezweckt.
>
> Was Du mit den Stellen -5 und 5 im allergünstigsten Falle
> erreichen könntest, wäre ja, daß Du ggf. wüßtest, daß
> dazwischen eine Nullstelle liegt.
ja
f(-8)=exp(-8)+3 ---> negativ, da exp(-8) so gut wie null ist
f(0)=-4 ----> negativ
f(4)=exp(4)-9 ----> positiv, da exp(4) größer als 16 ist
>
>
aus dem zwischensatz folgt:
daß es eine Nullstelle gibt,
die sich zw. -8 und 0 befindet und die negativ sein muss und eine,
die sich zw. 0 un 4 befindet und die muss positiv sein
____________________
Nun muss ich noch zeigen, dass es keine weiteren nullstellen gibt:
1) 1. Abl bestimmen und sehen, dass es nur ein extrempunkt gibt
2) links und recht vom Extrempunkt die monotonie zeigen
1) f'(x)=exp(x)-1
f''(x)=exp(x) > 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt
2) für x<0 ist f'(x) negativ
für x> 0 ist f'(x) positiv
[mm] \Rightarrow [/mm] Links vom Extrempunkt ist die funktion strengmonoton fallend und rechts davon streng monoton steigend
[mm] \Rightarrow, [/mm] es gibt keine anderen nullstellen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Kreide |
hatte hier die begrüung vergessen
> 2) für x<0 ist f'(x) negativ WEIL exp(x) für negative x so gut wie 0 ist und exp(x)-1 kann dann ja nur negativ sein
> für x> 0 ist f'(x) positiv WEIL exp(x) für positive x positiv ist
> [mm]\Rightarrow[/mm] Links vom Extrempunkt ist die funktion
> strengmonoton fallend und rechts davon streng monoton
> steigend
> [mm]\Rightarrow,[/mm] es gibt keine anderen nullstellen
>
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> > > nun setze ich mal -5 un 5 ein:
> >
>
> ich hab etwas falsch gedacht, (hab im kopf y=-5 und y=5
> gehabt...)
> > Das kann man tun. Man sollte sich allerdings vorher
> > überlegen, was man bezweckt.
> >
> > Was Du mit den Stellen -5 und 5 im allergünstigsten Falle
> > erreichen könntest, wäre ja, daß Du ggf. wüßtest, daß
> > dazwischen eine Nullstelle liegt.
>
> ja
>
> f(-8)=exp(-8)+3 ---> , da exp(-8) so gut wie null
Hallo,
ich gehe davon aus, daß hier lediglich eine temporäre Schusseligkeit die Ursache war:
f(-8)=exp(-8)+3 ist natürlich >0.
> ist
> f(0)=-4 ----> negativ
> f(4)=exp(4)-9 ----> positiv, da exp(4) größer als 16
> ist
> >
> >
> aus dem zwischensatz folgt:
> daß es eine Nullstelle gibt,
> die sich zw. -8 und 0 befindet und die negativ sein muss
> und eine,
> die sich zw. 0 un 4 befindet und die muss positiv sein
Ja!
So ist das richtig.
> ____________________
>
> Nun muss ich noch zeigen, dass es keine weiteren
> nullstellen gibt:
> 1) 1. Abl bestimmen und sehen, dass es nur ein extrempunkt
> gibt
Im Grunde reicht das.
Angenommen, man hätte mindestens drei Nullstellen. Dann gäbe es mindestens zwei Extremwerte.
Und nun zeigt man, daß es nur einen Extremwert gibt.
> 2) links und recht vom Extrempunkt die monotonie zeigen
>
> 1) f'(x)=exp(x)-1
> f''(x)=exp(x) > 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] Tiefpunkt
So, wie das jetzt dasteht, kann ich der Folgerung mit dem Tiefpunkt nicht folgen.
>
> 2) für x<0 ist f'(x) negativ
> für x> 0 ist f'(x) positiv
> [mm]\Rightarrow[/mm] Links vom Extrempunkt ist die funktion
> strengmonoton fallend und rechts davon streng monoton
> steigend
Also kann rechts und links der Null die x-Achse jeweils höchstens einmal geschnitten werden.
Somit
> es gibt keine anderen nullstellen
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Kreide |
1) f'(x)=exp(x)-1
f'(x)=0 0=exp(x)-1 [mm] \to [/mm] x=0
f''(x)=exp(x)
f''(0)=1 > 0
f(1)=exp(1)-5-1=e-6
[mm] \Rightarrow [/mm] der extrempunkt ist Tiefpunkt , der lautet (1, e-6)
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Hallo!
Leider hat sich noch ein kleiner Fehler eingeschlichen. [mm] f(x)=e^{x}-5-x \Rightarrow f(0)=e^{0}-5-0=1-5-0=-4 [/mm] 
Demnach TP(0|-4)
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Kreide |
hast recht!!! danke nochmal!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
warum setzt du die 1 ein? Der Kandidat ist doch 0. Also berechne f(0)=....
