Beweis des Pythagoras < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Di 01.04.2008 | | Autor: | Jedec |
| Aufgabe | | Beweisen Sie den Satz des Pythagoras mithilfe von Vektoren |
Also mir ist klar, wie man die Aufgabe lösen kann, allerdings nur, wenn ich die Formel für die Länge von Vektoren benutze.
Aber in dieser Formel steckt der Pythagoras doch drinnen, somit wäre das dann ja im Kreis bewießen, das geht doch eigentlich nicht...
Gibt es einen Weg den Pythagoras zu beweisen, ohne die Formel [mm] |\vec{a}|=\wurzel{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²} [/mm] zu benutzen???
#Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hey,
also der Satz des Pythagoras lautet ja: [mm] a^2+b^2=c^2. [/mm] Mache dir dazu am Besten mal eine Skizze. Dann kannst du nämlich c mit Hilfe von a und b ausdrücken.
Um dann die Gleichheit zu zeigen, musst du die Voraussetzung mit einbauen. Der Satz gilt ja nur in rechtwinkligen Dreiecken, d.h. die beiden Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] stehen senkrecht aufeinander. Somit gilt für das Skalarprodukt [mm] \vec{a}*\vec{b}= [/mm] ...
Kommst du damit erstmal weiter?
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 01.04.2008 | | Autor: | Jedec |
Wie gesagt, ich komm schon zur Lösung, aber im nächsten Schritt braucht man dann ja die Länge der Vektoren und dazu wiederum braucht man den Phytagoras... Ich meine, darf man den benutzen, wenn man ihn beweisen soll. Wenn man ihn einsetzt ist es ja kein Wunder, dass er rauskommt.
Der Beweis wäre dann ja eigentlich für'n A-Wort...
... aber ich vermute gerade, dass es nicht möglich ist, da sich der Pythagoras ja auf Längen bezieht und ich kenne keinen anderen Weg, die Länge eines Vektors auszurechnen...
|
|
|
| |
|
Hi,
ich weiß nicht ob ich dich ganz richtig verstehe, aber vielleicht solltest du dir zuerst einmal bewusst machen, dass [mm] \vec{a}^2=|\vec{a}|^2.
[/mm]
Dann hast du zwei Voraussetzungen:
[mm] \vec{a}*\vec{b}=0
[/mm]
[mm] \vec{c}=\vec{b}-\vec{a}
[/mm]
Wir behaupten:
[mm] |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2
[/mm]
Nun folgt der Beweis, indem du die rechte Seite anders ausdrückst und dann zeigst, dass das Gleichheitszeichen zurecht da steht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Di 01.04.2008 | | Autor: | Jedec |
Ist mir schon klar, ich versteh eigentlich auch alles, aber ich glaube, dass die Aufgabe nicht sauber lösbar ist...
Wenn man sich die Länge eines Vektors herleitet, so macht man das über den Pythagoras. Deshalb dürfte man meiner Meinung nach im ganzen Beweis nicht mit [mm] |\vec{a}| [/mm] argumentieren. Und [mm] \vec{a}²=|\vec{a}|² [/mm] stimmt auch nur, wenn man [mm] |\vec{a}| [/mm] mit dem Pythagoras ausrechnet...
Somit kann der Pythagoras nicht mit Vektoren bewiesen werden.
Der Pythagoras sagt etwas über Längenverhältnisse aus und Längen von Vektoren bekommt nunmal man nur mit dem Pythagoras (ich weiß, ich wiederhol mich... :-D)
Also kann man den Pythagoras mit Vektoren nur beweisen, wenn man ihn als bewiesen annimmt.
|
|
|
|
