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Forum "Sonstiges / Diverses" - Beweis durch Kontraposition
Beweis durch Kontraposition < Sonstiges / Diverses < Vorhilfe
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Beweis durch Kontraposition: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:58 Do 10.11.2011
Autor: jess240890

Aufgabe
Es seien m endliche Mengen M1, . . . , Mm für ein m ∈ N>0 gegeben. Beweisen Sie die folgende Aussage:
Falls die Summe der Kardinalitäten der Mengen M1, . . . , Mm größer als n ∈ N ist, so existiert eine Menge M ∈ {M1, . . . , Mm}, deren Kardinalität größer als n/m ist.

ich komm leider nicht weiter, hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

formal haben ich es so interpretiert:

Für i,m [mm] \in \IN>0 [/mm] (also i,m > 0) und beliebig n [mm] \in \IN: [/mm]
  
Falls  [mm] \summe_{i=1}^{m} [/mm] |Mi| > n, dann existiert M [mm] \in [/mm] {M1,...Mm} sodass |M| > n/m

und wir müssen beweisen:


Falls  [mm] \summe_{i=1}^{m} [/mm] |Mi| < n, dann existiert M [mm] \in [/mm] {M1,...Mm} sodass |M| < n/m

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis durch Kontraposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:21 Fr 11.11.2011
Autor: M.Rex

Hallo


> Es seien m endliche Mengen M1, . . . , Mm für ein m ∈
> N>0 gegeben. Beweisen Sie die folgende Aussage:
>  Falls die Summe der Kardinalitäten der Mengen M1, . . . ,
> Mm größer als n ∈ N ist, so existiert eine Menge M ∈
> {M1, . . . , Mm}, deren Kardinalität größer als n/m
> ist.
>  ich komm leider nicht weiter, hoffe ihr könnt mir
> weiterhelfen.
>  
> formal haben ich es so interpretiert:
>  
> Für i,m [mm]\in \IN>0[/mm] (also i,m > 0) und beliebig n [mm]\in \IN:[/mm]
>  
>  
> Falls  [mm]\summe_{i=1}^{m}[/mm] |Mi| > n, dann existiert M [mm]\in[/mm]
> {M1,...Mm} sodass |M| > n/m
>  

So ist es.

> und wir müssen beweisen:
>  
>
> Falls  [mm]\summe_{i=1}^{m}[/mm] |Mi| < n, dann existiert M [mm]\in[/mm]
> {M1,...Mm} sodass |M| < n/m

Das stimmt leider nicht.
Kontraposition bedeutet, dass man anstatt [mm] A\Rightarrow B[/mm] folgendes zeigt: [mm] \neg B\Rightarrow\neg A[/mm], hier also:
[mm]\frac{n}{m}\leq|M|\Rightarrow n\leq\summe_{i=1}^{m}|M_{i}|[/mm]

Marius

Bezug
                
Bezug
Beweis durch Kontraposition: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Fr 11.11.2011
Autor: jess240890

mhh ok ich verstehe... aber wenn wir folgendes haben:

[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] |Mi| > n [mm] \Rightarrow [/mm] |M| > [mm] \bruch{n}{m} [/mm]

müssen wir dann nicht folgedes beweisen:

[mm] \bruch{n}{m} [/mm] [mm] \ge [/mm] |M| [mm] \Rightarrow [/mm] n   [mm] \ge [/mm]   [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] |Mi|

anstatt:

[mm] \bruch{n}{m} [/mm] [mm] \le [/mm] |M| [mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \le [/mm] [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] |Mi|

oder irre ich mich da?


Bezug
                        
Bezug
Beweis durch Kontraposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:24 Fr 11.11.2011
Autor: schachuzipus

Hallo jess240890,


> mhh ok ich verstehe... aber wenn wir folgendes haben:
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] |Mi| > n [mm]\Rightarrow[/mm] |M| > [mm]\bruch{n}{m}[/mm]
>  
> müssen wir dann nicht folgedes beweisen:
>  
> [mm]\bruch{n}{m}[/mm] [mm]\ge[/mm] |M| [mm]\Rightarrow[/mm] n  [mm]\ge[/mm]  [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm]  |Mi|
>  
> anstatt:
>  
> [mm]\bruch{n}{m}[/mm] [mm]\le[/mm] |M| [mm]\Rightarrow[/mm] n [mm]\le[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm]
> |Mi|
>  
> oder irre ich mich da?

Nein, du irrst nicht, genauer lautet die Aussage formal (unter den gegebenen Voraussetzungen):

[mm]\sum\limits_{i=1}^m\left|M_i\right| \ > \ n \ \ \Rightarrow \ \ \exists M\in\{M_1,M_2,\ldots,M_m\}: \left|M\right| \ > \ \frac{n}{m}[/mm]

Mit Kontraposition ist dies äquivalent zu:

[mm]\forall M\in\{M_1,M_2,\ldots,M_m\}:\frac{n}{m} \ \ge \ \left|M\right| \ \ \Rightarrow \ \ n \ \ge \ \sum\limits_{i=1}^m\left|M_i\right|[/mm]



Gruß

schachuzipus


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