Beweis durch vollst. Induktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe mit folgender Aufgabe ein Problem:
Zu zeigen ist: [mm] (1-a)^{n} \ge [/mm] 1 -na
für alle n [mm] \ge [/mm] 0
mit 0 < a < 1
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
wie du ja schon richtig in der Frage geschrieben hast, kann man diese Aussage durch vollständige Induktion zeigen.
Wie geht man dann also vor?
1) Induktionsanfang: Du mußt zeigen, dass die Aussage für n=0 gültig ist.
2) Induktionsschritt: Du musst nun zeigen, dass die Aussage für [mm]n+1[/mm] gilt, wenn sie für [mm]n[/mm] gilt. Das heißt, gegeben ist die Gültigkeit der Aussage:
[mm](1-a)^{n} \ge 1-n*a[/mm]
für ein [mm]n \ge 0[/mm] mit [mm] 0 < a < 1 [/mm]
Und mithilfe dieser Voraussetzung ist zu zeigen:
[mm](1-a)^{n+1} \ge 1-(n+1)*a[/mm]
für [mm] 0 < a < 1 [/mm]
Damit hast du dann die Aussage bewiesen.
Wenn du nicht weiterkommst, dann melde dich doch noch einmal mit deinen Ansätzen!
Gruß,
Astrid
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Sa 06.11.2004 | | Autor: | spaceshark |
Danke für deine Antwort. Jedoch ist es mir noch nicht richtig klar.
Mir ist irgendwie nicht klar was ich mit "0 < a < 1" machen soll?!
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Wäre der Beweis erbracht wenn ich folgendes also schreibe: (?)
[mm] (1-a)^{n} \ge [/mm] 1-na
[mm] (1-a)^{0} \ge [/mm] 1-0*a
1 [mm] \ge [/mm] 1
[mm] (1-a)^{n+1} \ge [/mm] 1-(n+1] *a
[mm] (1-a)^{0+1} \ge [/mm] 1-(0+1] *a
1-a [mm] \ge [/mm] 1-a
Oder was isz falsch/fehlt noch, bzw. kann nicht so aufgeschrieben werden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Astrid |
Nein, du mußt den Schritt von n auf n+1 für ein beliebiges n zeigen, es reicht nicht, n=0 anzunehmen. Versuche doch einfach mal, mit der linken Seite der Gleichung zu beginnen:
[mm](1-a)^{n+1} = (1-a)^{n} * (1-a)^1 \ge ... ? [/mm]
und dann die Voraussetzung (siehe "Hinweis") einfließen zu lassen.
Die Bedingung, [mm] 0 < a < 1 [/mm] brauchst du für die Beweisidee erst einmal nicht beachten.
Gruss,
Astrid
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