Beweis durch vollständige Indu < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Mi 05.01.2005 | | Autor: | who11 |
Hallo,
im Mathe Profilkurs haben wir diese Aufgabe gekriegt :
[mm] 2^n>2n-1
[/mm]
Diese Formel sollen wir mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen.
Ich weiß leider nicht wie!
Der Induktionsanfang krieg ich noch hin
n=1; [mm] 2^1>2*1-1
[/mm]
2>1 w.A.
Ich bedanke mich schon mal im vorraus für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mi 05.01.2005 | | Autor: | who11 |
Hallo Loddar,
danke für die schnelle Antwort aber zwei Fragen habe ich noch.
Bei der I.V. setzt man dort nicht für n=k und dann in deer I.Beh. k=k+1;
also für alle nat. Zahlen und deren Nachfolger.
Beim I.B. verstehe ich das Zeichen unter (2n-3) nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo who11!
> Bei der I.V. setzt man dort nicht für n=k und dann in deer
> I.Beh. k=k+1; also für alle nat. Zahlen und deren Nachfolger.
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Diese Vorgehensweise ist mir so nicht bekannt.
Es ist mir auch nicht klar, warum ich hier noch eine weitere (= zusätzliche) Variable ins Spiel bringen muß ...
Meine Variable (hier: n) wurde mir doch in der Aufgabenstellung vorgegeben.
Also ich halte diesen Schritt für überflüssig ![[meinemeinung]](/images/smileys/meinemeinung.gif "[meinemeinung]") .
> Beim I.B. verstehe ich das Zeichen unter (2n-3) nicht.
Wir haben in unserer "Argumentationskette" stehen: $4n+2$
Da ich weiß, was ich erreichen will (nämlich: 2n+1), teile ich den Ausdruck auf in eben diesen Ausdruck 2n+1 + "Rest".
Dieser "Rest" beträgt nun 2n-3, und dieser "Rest" stört mich noch in meinem Nachweis.
Also sehe ich mir an, welche Eigenschaften dieser "Rest" hat; z.B. ist er größer, kleiner oder gleich 0?
Für meinen Nachweis benötige ich [mm] "$\ge [/mm] 0$".
Also wann ist dieser "Rest" [mm] $\ge [/mm] 0$?
$2n-3 [mm] \ge [/mm] 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $n [mm] \ge \bruch{3}{2}$
[/mm]
Diese Bedingung reicht mir aus: für n=1 haben wir unsere Behauptung bereits nachgewiesen, also gilt für $n [mm] \ge [/mm] 2$, da $n [mm] \in \IN$: [/mm] 2n-3 > 0 !!!
Und das steht etwas formaler unter der geschweiften Klammer:
(2n-3) > 0, [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2$
Übersetzung:
"2n-3 ist größer als 0 für alle n, die größer oder mindestens 2 sind"
Nun etwas klarer??
Grüße in meine Heimatstadt ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mi 05.01.2005 | | Autor: | who11 |
Danke Loddar,
unser Mathelehrer will das so! Kann ich nichts dran ändern und find ich eigentlich auch total überflüssig!
Gruß Stefan
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
