Beweis einer Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Sa 04.04.2015 | | Autor: | phifre |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion der Form $p(x) = [mm] a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ [/mm] mit [mm] $a_i \in \IR$ [/mm] (also reelle Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] 3$). Sei $V$ der Vektorraum der Funktionen dieser Gestalt.
Zeigen Sie, dass $C = [mm] \{1, 1+x, 1+x+x^2, 1+x+x^2+x^3\}$ [/mm] eine Basis von $V$ ist. |
Hallo allerseits!
Meine Frage ist eher allgemein, aber gerne auch auf die Aufgabe oben bezogen.
Wie beweist man, dass eine Basis wirklich eine Basis ist?
Ich meine dabei keine "normalen" Basen in Vektorräumen wie [mm] $K^n$, [/mm] sondern etwas merkwürdigere Vektorräume wie der oben.
Einerseits könnte man versuchen, die lineare Unabhängigkeit und die Eigenschaft des Erzeugendensystem nachzuweisen, damit wäre ja bewiesen, dass es sich um eine Basis handelt. Allerdings finde ich es schwer zu beweisen, dass [mm] $\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)+\lambda_4(1+x+x^2+x^3)$ [/mm] nur die Nullfunktion ergibt, wenn alle [mm] $\lambda_i [/mm] = 0$ sind.. Man könnte dass alles einzeln beweisen, indem man 4 Gleichungen wie diese aufstellt:
[mm] $\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)=(1+x+x^2+x^3)$
[/mm]
$...$
[mm] $\lambda_1(1+x)+\lambda_2(1+x+x^2)+\lambda_3(1+x+x^2+x^3)=(1)$
[/mm]
Hier könnte man zeigen, dass das bei keiner möglich ist, einen Basisvektor aus den jeweils anderen dazustellen. Geht das nicht einfacher?
Außerdem weiß ich nicht, wie man dann zeigen soll, dass diese Vektoren ein EZS bilden.
Die zweite Möglichkeit wäre, dass man zeigt, dass es für jedes Element im Vektorraum nur eine eindeutige Darstellung mit diesen Basisvektoren gibt.
Reicht es da, einfach eine Darstellung anzugeben, oder muss man die Eindeutigkeit beweisen?
Meine eindeutige Darstellung für eine allgemeine Funktion $p(x) = [mm] a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ [/mm] wäre
[mm] $\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)+\lambda_4(1+x+x^2+x^3)$ [/mm] mit
[mm] $\lambda_4 [/mm] = [mm] a_3$
[/mm]
[mm] $\lambda_3 [/mm] = [mm] a_2-a_3$
[/mm]
[mm] $\lambda_2 [/mm] = [mm] a_1-(a_2+a_3)$
[/mm]
[mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] a_0-(a_1+a_2+a_3)$
[/mm]
Ist das ausreichend, oder muss man das ganz anders machen?
Vielen Dank für die Hilfe!
phifre
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist die Funktion der Form [mm]p(x) = a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm]
> mit [mm]a_i \in \IR[/mm] (also reelle Polynome vom Grad [mm]\le 3[/mm]). Sei
> [mm]V[/mm] der Vektorraum der Funktionen dieser Gestalt.
> Zeigen Sie, dass [mm]C = \{1, 1+x, 1+x+x^2, 1+x+x^2+x^3\}[/mm] eine
> Basis von [mm]V[/mm] ist.
> Hallo allerseits!
>
> Meine Frage ist eher allgemein, aber gerne auch auf die
> Aufgabe oben bezogen.
> Wie beweist man, dass eine Basis wirklich eine Basis ist?
> Ich meine dabei keine "normalen" Basen in Vektorräumen
> wie [mm]K^n[/mm], sondern etwas merkwürdigere Vektorräume wie der
> oben.
Koordinatenabbildungen wären dahingehend schon was Schönes - nur mal
so als Hinweis für später.
> Einerseits könnte man versuchen, die lineare
> Unabhängigkeit und die Eigenschaft des Erzeugendensystem
> nachzuweisen, damit wäre ja bewiesen, dass es sich um eine
> Basis handelt.
Jedenfalls bei endlichdimensionalen Vektorräumen (d.h. endliche
Dimension) ist es so, dass
- linear unabhängiges EZS
- *minimales* EZS
- *maximale* unabhängige Familie
in äquivalenter Weise zur Basisdefinition benutzt werden können. Bei
unendlichen VRen bin ich da immer vorsichtig und lese das lieber erst noch
mal nach. Aber hier haben wir eh einen endlichdimensionalen VR.
> Allerdings finde ich es schwer zu beweisen, dass
> [mm]\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)+\lambda_4(1+x+x^2+x^3)[/mm]
> nur die Nullfunktion ergibt, wenn alle [mm]\lambda_i = 0[/mm] sind..
Du solltest schon benutzen dürfen, dass eine Polynomfunktion genau
dann die "Nullpolynomfunktion" ist, wenn alle Koeffizienten =0 sind. (Das
lernt man relativ früh in der Analysis.) Wenn Du dahingehend Hilfe brauchst,
gebe ich Dir den Tipp, dass etwa im Heuser, Analysis I, nachzuschlagen.
Dann bekommst Du nämlich aus
[mm] $\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)+\lambda_4(1+x+x^2+x^3) \equiv [/mm] 0$ [mm] ($\equiv [/mm] 0$ bedeutet: =0 für alle(!) x)
vier Gleichungen, bis auf Reihenfolge:
(1) [mm] $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=0$
[/mm]
(2) [mm] $\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=0$
[/mm]
(3) [mm] $\lambda_3+\lambda_4=0$
[/mm]
(4) [mm] $\lambda_4=0$
[/mm]
Ist Dir klar, wieso? Generell könnte ich auch einfach sagen: Das folgt auch
direkt, wenn man weiß, dass [mm] $\{1,x,x^2,x^3\}$ [/mm] eine Basis für den Vektorraum der
obigen Polynomfunktionen vom Grad [mm] $\le 3\;$ [/mm] bildet.
> Man könnte dass alles einzeln beweisen, indem man 4
> Gleichungen wie diese aufstellt:
>
> [mm]\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)=(1+x+x^2+x^3)[/mm]
> [mm]...[/mm]
>
> [mm]\lambda_1(1+x)+\lambda_2(1+x+x^2)+\lambda_3(1+x+x^2+x^3)=(1)[/mm]
> Hier könnte man zeigen, dass das bei keiner möglich ist,
> einen Basisvektor aus den jeweils anderen dazustellen. Geht
> das nicht einfacher?
Hier weiß ich nicht, was Du meinst. Was Du aber auch machen kannst, wenn
Du zeigen willst, dass [mm] $C\,$ [/mm] eine Basis für den genannten Vektorraum ist:
Setze solange verschiedene [mm] $x\,$ [/mm] ein, bis Du ein Gleichungssystem erhälst,
dass nur noch dann lösbar ist, wenn alle [mm] $\lambda_i$ [/mm] verschwinden. Das ist dann
zwar nicht besonders generell, aber praktisch möglich.
Damit Du siehst, was ich meine: die Polynomfunktionen vom Grad [mm] $\le [/mm] 2$ haben
etwa die Basis [mm] $\{1,x,x^2\}\,.$ [/mm] Ist nun [mm] $\{1,x,\red{1}+x^2\}$ [/mm] auch eine Basis?
(Edit: Ich meinte [mm] $\{1,x,\red{x}+x^2\}$; [/mm] die folgenden Rechnungen passen dann
auch!!!)
Ja: Ich schreibe nun für die Koeffizienten [mm] $r,s,t\,,$ [/mm] der Einfachheit wegen. Es geht
also erstmal darum, ob
$r+sx + [mm] tx+tx^2 \equiv [/mm] 0$
schon [mm] $r=s=t=0\,$ [/mm] nach sich zieht.
Setze nacheinander $x=0,$ $x=1$ und $x=2$ ein:
(I) $r=0$
(II) $r+s+t+t=0$
(III) $r+2s+2t+4t=0$
[Zur "Logik" dahinter: Wenn eine Gleichung FÜR ALLE [mm] $x\,$ [/mm] gelten soll, dann
müssen auch alle Gleichungen, die aus dieser durch das Einsetzen von
*speziellen* x-en resultieren, gelten! Ich könnte oben also, da diese [mm] $...\equiv [/mm] 0$
Gleichheit ja für alle reellen x gelten soll, durchaus dort auch $x=-1,$ [mm] $x=\sqrt{2}$,
[/mm]
[mm] $x=-\pi$ [/mm] ... einsetzen. Naheliegend(er) ist es natürlich, einige $x [mm] \in \IZ$ [/mm] zu verwenden!]
Du könntest jetzt auch noch mehrere Gleichungen hinschreiben, indem Du
weitere [mm] $x\,$-Werte [/mm] benutzt. Das würde aber nur dann Sinn machen, wenn Du
Dir (ziemlich) sicher wärst, dass die obenstehenden Vektoren linear unabhängig
sind, dass GLS aus (I),(II) und (III) dies aber noch nicht zeigt. Problemhaft
wird dieses Vorgehen insbesondere dann, wenn Du Dich irrst, und die Vektoren
entgegen Deiner Vermutung doch linear abhängig sind!
> Außerdem weiß ich nicht, wie man dann zeigen soll, dass
> diese Vektoren ein EZS bilden.
Zwei Basen endlichdimensionaler Vektorräume haben gleich viele Elemente,
sonst wäre hier der Begriff der Dimension ziemlich sinnfrei. Bei einem n-dimensionalen
Vektorraum ($n [mm] \in \IN$) [/mm] bildet eine Familie von [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren dieses Raums
immer eine Basis, SOFERN sie linear unabhängig ist; damit insbesondere auch
ein Erzeugendensystem.
Aber wenn Du das (noch) nicht weißt oder benutzen willst: Was ist denn
zu zeigen, wenn man zeigen will, dass eine Familie von Vektoren ein EZS
für einen Vektorraum ist?
Wir bleiben weiterhin der Einfachheit wegen erstmal im endlichdimensionalen
Fall: Es ist dann zu zeigen, dass sich jeder Vektor als "Linearkombination
der Familie" schreiben läßt. Wenn ich zum Beispiel zeigen will, dass die Familie
[mm] $\left(\vektor{1\\0\\0},\vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\1\\1}\right)$
[/mm]
auch den [mm] $\IR^3$ [/mm] erzeugt (beachte, dass dort auch nur Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] drinstehen),
dann habe ich zu zeigen: Für alle
[mm] $\vektor{u\\v\\w} \in \IR^3$
[/mm]
ist das Gleichungssystem
[mm] $r*\vektor{1\\0\\0}+s*\vektor{1\\1\\0}+t*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{u\\v\\w}$
[/mm]
lösbar in dem Tripel $(r,s,t)$ mit $r,s,t [mm] \in \IR$.
[/mm]
(Das ist übrigens sehr analog zu Deiner Aufgabe; wie gesagt: Koordinatenabbildungen
sind was schönes!)
Wenn ich zeigen wollte, dass
[mm] $\left(\vektor{1\\0\\0},\vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\1\\1}, \vektor{1\\0\\1}\right)$
[/mm]
auch den [mm] $\IR^3$ [/mm] erzeugt, dann wäre nachzuweisen: Für alle
[mm] $\vektor{u\\v\\w} \in \IR^3$
[/mm]
ist das Gleichungssystem
[mm] $r*\vektor{1\\0\\0}+s*\vektor{1\\1\\0}+t*\vektor{1\\1\\1}+z*\vektor{1\\0\\1}=\vektor{u\\v\\w}$
[/mm]
lösbar in dem Quadrupel $(r,s,t,z)$ mit reellen [mm] $r,s,t,z\,.$ [/mm] Und wenn man zuerst das
mit dem Tripel oben gezeigt hat, bräuchte man sich mit der Quadrupelaufgabe
schon gar nicht mehr beschäftigen. Ist Dir das klar?
> Die zweite Möglichkeit wäre, dass man zeigt, dass es für
> jedes Element im Vektorraum nur eine eindeutige Darstellung
> mit diesen Basisvektoren gibt.
> Reicht es da, einfach eine Darstellung anzugeben, oder
> muss man die Eindeutigkeit beweisen?
Kurz: Bei EZS reicht EINE Darstellung, bei Basis brauchst Du (neben der
Existenz) auch die Eindeutigkeit (einer jeden)!
Zu Rest sollte(n) sich vielleicht auch andere noch äußern, denn Deine Frage
ist doch schon etwas umfangreich(er). 
Gruß,
Marcel
> Meine eindeutige Darstellung für eine allgemeine Funktion
> [mm]p(x) = a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm] wäre
> [mm]\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)+\lambda_4(1+x+x^2+x^3)[/mm]
> mit
> [mm]\lambda_4 = a_3[/mm]
> [mm]\lambda_3 = a_2-a_3[/mm]
> [mm]\lambda_2 = a_1-(a_2+a_3)[/mm]
>
> [mm]\lambda_1 = a_0-(a_1+a_2+a_3)[/mm]
>
> Ist das ausreichend, oder muss man das ganz anders machen?
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
>
> phifre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 04.04.2015 | | Autor: | phifre |
> Hallo,
>
> > Gegeben ist die Funktion der Form [mm]p(x) = a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm]
> > mit [mm]a_i \in \IR[/mm] (also reelle Polynome vom Grad [mm]\le 3[/mm]). Sei
> > [mm]V[/mm] der Vektorraum der Funktionen dieser Gestalt.
> > Zeigen Sie, dass [mm]C = \{1, 1+x, 1+x+x^2, 1+x+x^2+x^3\}[/mm]
> eine
> > Basis von [mm]V[/mm] ist.
> > Hallo allerseits!
> >
> > Meine Frage ist eher allgemein, aber gerne auch auf die
> > Aufgabe oben bezogen.
> > Wie beweist man, dass eine Basis wirklich eine Basis
> ist?
> > Ich meine dabei keine "normalen" Basen in Vektorräumen
> > wie [mm]K^n[/mm], sondern etwas merkwürdigere Vektorräume wie der
> > oben.
>
> Koordinatenabbildungen wären dahingehend schon was
> Schönes - nur mal
> so als Hinweis für später.
>
> > Einerseits könnte man versuchen, die lineare
> > Unabhängigkeit und die Eigenschaft des Erzeugendensystem
> > nachzuweisen, damit wäre ja bewiesen, dass es sich um eine
> > Basis handelt.
>
> Jedenfalls bei endlichdimensionalen Vektorräumen (d.h.
> endliche
> Dimension) ist es so, dass
>
> - linear unabhängiges EZS
> - *minimales* EZS
> - *maximale* unabhängige Familie
Richtig, ich wollte versuchen, das erste zu beweisen, da sich die anderen beiden in der Praxis als etwas umständlich herausstellen.
>
> in äquivalenter Weise zur Basisdefinition benutzt werden
> können. Bei
> unendlichen VRen bin ich da immer vorsichtig und lese das
> lieber erst noch
> mal nach. Aber hier haben wir eh einen
> endlichdimensionalen VR.
>
> > Allerdings finde ich es schwer zu beweisen, dass
> >
> [mm]\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)+\lambda_4(1+x+x^2+x^3)[/mm]
> > nur die Nullfunktion ergibt, wenn alle [mm]\lambda_i = 0[/mm] sind..
>
> Du solltest schon benutzen dürfen, dass eine
> Polynomfunktion genau
> dann die "Nullpolynomfunktion" ist, wenn alle Koeffizienten
> =0 sind. (Das
> lernt man relativ früh in der Analysis.) Wenn Du
> dahingehend Hilfe brauchst,
> gebe ich Dir den Tipp, dass etwa im Heuser, Analysis I,
> nachzuschlagen.
Kannst Du mir genauer sagen, wo ich das finde?
>
> Dann bekommst Du nämlich aus
>
> [mm]\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)+\lambda_4(1+x+x^2+x^3) \equiv 0[/mm]
> ([mm]\equiv 0[/mm] bedeutet: =0 für alle(!) x)
>
> vier Gleichungen, bis auf Reihenfolge:
>
> (1) [mm]\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=0[/mm]
>
> (2) [mm]\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=0[/mm]
>
> (3) [mm]\lambda_3+\lambda_4=0[/mm]
>
> (4) [mm]\lambda_4=0[/mm]
>
> Ist Dir klar, wieso? Generell könnte ich auch einfach
> sagen: Das folgt auch
> direkt, wenn man weiß, dass [mm]\{1,x,x^2,x^3\}[/mm] eine Basis
> für den Vektorraum der
> obigen Polynomfunktionen vom Grad [mm]\le 3\;[/mm] bildet.
Das hab ich leider nicht verstanden.. Wie kommt man auf die vier Gleichungen?
Dass [mm]\{1,x,x^2,x^3\}[/mm] eine Basis ist darf ich schon benutzen!
>
> > Man könnte dass alles einzeln beweisen, indem man 4
> > Gleichungen wie diese aufstellt:
> >
> >
> [mm]\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)=(1+x+x^2+x^3)[/mm]
> > [mm]...[/mm]
> >
> >
> [mm]\lambda_1(1+x)+\lambda_2(1+x+x^2)+\lambda_3(1+x+x^2+x^3)=(1)[/mm]
> > Hier könnte man zeigen, dass das bei keiner möglich
> ist,
> > einen Basisvektor aus den jeweils anderen dazustellen. Geht
> > das nicht einfacher?
>
> Hier weiß ich nicht, was Du meinst.
Hier meine ich einfach, dass man versucht jeden Basisvektor durch Linearkombination der anderen Vektoren dazustellen. Ist das nicht möglich bedeutet das, dass die ganze Familie linear unabhängig ist.
> Was Du aber auch
> machen kannst, wenn
> Du zeigen willst, dass [mm]C\,[/mm] eine Basis für den genannten
> Vektorraum ist:
> Setze solange verschiedene [mm]x\,[/mm] ein, bis Du ein
> Gleichungssystem erhälst,
> dass nur noch dann lösbar ist, wenn alle [mm]\lambda_i[/mm]
> verschwinden. Das ist dann
> zwar nicht besonders generell, aber praktisch möglich.
>
> Damit Du siehst, was ich meine: die Polynomfunktionen vom
> Grad [mm]\le 2[/mm] haben
> etwa die Basis [mm]\{1,x,x^2\}\,.[/mm] Ist nun [mm]\{1,x,1+x^2\}[/mm] auch
> eine Basis?
>
> Ja: Ich schreibe nun für die Koeffizienten [mm]r,s,t\,,[/mm] der
> Einfachheit wegen. Es geht
> also erstmal darum, ob
>
> [mm]r+sx + tx+tx^2 \equiv 0[/mm]
>
> schon [mm]r=s=t=0\,[/mm] nach sich zieht.
>
> Setze nacheinander [mm]x=0,[/mm] [mm]x=1[/mm] und [mm]x=2[/mm] ein:
>
> (I) [mm]r=0[/mm]
> (II) [mm]r+s+t+t=0[/mm]
> (III) [mm]r+2s+2t+4t=0[/mm]
Hast Du Dich hier mit der Anzahl der "t"s vertan? Falls nicht, verstehe ich nicht, wie du durch einsetzen auf diese Gleichung kommst.
> [Zur "Logik" dahinter: Wenn eine Gleichung FÜR ALLE [mm]x\,[/mm]
> gelten soll, dann
> müssen auch alle Gleichungen, die aus dieser durch das
> Einsetzen von
> *speziellen* x-en resultieren, gelten! Ich könnte oben
> also, da diese [mm]...\equiv 0[/mm]
> Gleichheit ja für alle reellen
> x gelten soll, durchaus dort auch [mm]x=-1,[/mm] [mm]x=\sqrt{2}[/mm],
> [mm]x=-\pi[/mm] ... einsetzen. Naheliegend(er) ist es natürlich,
> einige [mm]x \in \IZ[/mm] zu verwenden!]
>
> Du könntest jetzt auch noch mehrere Gleichungen
> hinschreiben, indem Du
> weitere [mm]x\,[/mm]-Werte benutzt. Das würde aber nur dann Sinn
> machen, wenn Du
> Dir (ziemlich) sicher wärst, dass die obenstehenden
> Vektoren linear unabhängig
> sind, dass GLS aus (I),(II) und (III) dies aber noch nicht
> zeigt. Problemhaft
> wird dieses Vorgehen insbesondere dann, wenn Du Dich
> irrst, und die Vektoren
> entgegen Deiner Vermutung doch linear abhängig sind!
>
> > Außerdem weiß ich nicht, wie man dann zeigen soll, dass
> > diese Vektoren ein EZS bilden.
>
> Zwei Basen endlichdimensionaler Vektorräume haben gleich
> viele Elemente,
> sonst wäre hier der Begriff der Dimension ziemlich
> sinnfrei. Bei einem n-dimensionalen
> Vektorraum ([mm]n \in \IN[/mm]) bildet eine Familie von [mm]n\,[/mm]
> Vektoren dieses Raums
> immer eine Basis, SOFERN sie linear unabhängig ist; damit
> insbesondere auch
> ein Erzeugendensystem.
>
> Aber wenn Du das (noch) nicht weißt oder benutzen willst:
> Was ist denn
> zu zeigen, wenn man zeigen will, dass eine Familie von
> Vektoren ein EZS
> für einen Vektorraum ist?
> Wir bleiben weiterhin der Einfachheit wegen erstmal im
> endlichdimensionalen
> Fall: Es ist dann zu zeigen, dass sich jeder Vektor als
> "Linearkombination
> der Familie" schreiben läßt. Wenn ich zum Beispiel
> zeigen will, dass die Familie
>
> [mm]\left(\vektor{1\\0\\0},\vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\1\\1}\right)[/mm]
>
> auch den [mm]\IR^3[/mm] erzeugt (beachte, dass dort auch nur
> Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] drinstehen),
> dann habe ich zu zeigen: Für alle
>
> [mm]\vektor{u\\v\\w} \in \IR^3[/mm]
>
> ist das Gleichungssystem
>
> [mm]r*\vektor{1\\0\\0}+s*\vektor{1\\1\\0}+t*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{u\\v\\w}[/mm]
>
> lösbar in dem Tripel [mm](r,s,t)[/mm] mit [mm]r,s,t \in \IR[/mm].
> (Das ist
> übrigens sehr analog zu Deiner Aufgabe; wie gesagt:
> Koordinatenabbildungen
> sind was schönes!)
>
> Wenn ich zeigen wollte, dass
>
> [mm]\left(\vektor{1\\0\\0},\vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\1\\1}, \vektor{1\\0\\1}\right)[/mm]
>
> auch den [mm]\IR^3[/mm] erzeugt, dann wäre nachzuweisen: Für alle
>
> [mm]\vektor{u\\v\\w} \in \IR^3[/mm]
>
> ist das Gleichungssystem
>
> [mm]r*\vektor{1\\0\\0}+s*\vektor{1\\1\\0}+t*\vektor{1\\1\\1}+z*\vektor{1\\0\\1}=\vektor{u\\v\\w}[/mm]
>
> lösbar in dem Quadrupel [mm](r,s,t,z)[/mm] mit reellen [mm]r,s,t,z\,.[/mm]
> Und wenn man zuerst das
> mit dem Tripel oben gezeigt hat, bräuchte man sich mit
> der Quadrupelaufgabe
> schon gar nicht mehr beschäftigen. Ist Dir das klar?
>
Wie genau zeige ich denn hier, dass sich durch diese Gleichung wirklich ALLE Vektoren in dem VR darstellen lassen?
> > Die zweite Möglichkeit wäre, dass man zeigt, dass es für
> > jedes Element im Vektorraum nur eine eindeutige Darstellung
> > mit diesen Basisvektoren gibt.
> > Reicht es da, einfach eine Darstellung anzugeben, oder
> > muss man die Eindeutigkeit beweisen?
>
> Kurz: Bei EZS reicht EINE Darstellung, bei Basis brauchst
> Du (neben der
> Existenz) auch die Eindeutigkeit (einer jeden)!
>
> Zu Rest sollte(n) sich vielleicht auch andere noch
> äußern, denn Deine Frage
> ist doch schon etwas umfangreich(er).
>
> Gruß,
> Marcel
>
> > Meine eindeutige Darstellung für eine allgemeine Funktion
> > [mm]p(x) = a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm] wäre
> >
> [mm]\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)+\lambda_4(1+x+x^2+x^3)[/mm]
> > mit
> > [mm]\lambda_4 = a_3[/mm]
> > [mm]\lambda_3 = a_2-a_3[/mm]
> > [mm]\lambda_2 = a_1-(a_2+a_3)[/mm]
>
> >
> > [mm]\lambda_1 = a_0-(a_1+a_2+a_3)[/mm]
> >
> > Ist das ausreichend, oder muss man das ganz anders machen?
> >
> > Vielen Dank für die Hilfe!
> >
> > phifre
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich kürze mal ein wenig:
> > Du solltest schon benutzen dürfen, dass eine
> > Polynomfunktion genau
> > dann die "Nullpolynomfunktion" ist, wenn alle Koeffizienten
> > =0 sind. (Das
> > lernt man relativ früh in der Analysis.) Wenn Du
> > dahingehend Hilfe brauchst,
> > gebe ich Dir den Tipp, dass etwa im Heuser, Analysis I,
> > nachzuschlagen.
>
> Kannst Du mir genauer sagen, wo ich das finde?
Heuser, Lehrbuch der Analysis I, Satz 15.1, der in etwa lautet:
Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.
Mehr brauchst Du auch nicht (dass es im Komplexen sogar genau n sind,
ist gar nicht interessant).
Bzw. Du kannst auch den Idenitätssatz für Polynome anwenden. (Der folgt
sofort aus obigem!)
> >
> > Dann bekommst Du nämlich aus
> >
> >
> [mm]\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)+\lambda_4(1+x+x^2+x^3) \equiv 0[/mm]
> > ([mm]\equiv 0[/mm] bedeutet: =0 für alle(!) x)
> >
> > vier Gleichungen, bis auf Reihenfolge:
> >
> > (1) [mm]\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=0[/mm]
> >
> > (2) [mm]\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=0[/mm]
> >
> > (3) [mm]\lambda_3+\lambda_4=0[/mm]
> >
> > (4) [mm]\lambda_4=0[/mm]
> >
> > Ist Dir klar, wieso? Generell könnte ich auch einfach
> > sagen: Das folgt auch
> > direkt, wenn man weiß, dass [mm]\{1,x,x^2,x^3\}[/mm] eine Basis
> > für den Vektorraum der
> > obigen Polynomfunktionen vom Grad [mm]\le 3\;[/mm] bildet.
>
> Das hab ich leider nicht verstanden.. Wie kommt man auf die
> vier Gleichungen?
> Dass [mm]\{1,x,x^2,x^3\}[/mm] eine Basis ist darf ich schon
> benutzen!
Okay, dann mache ich es mal allgemein: Sei $(a,b,c,d)$ eine Basis eines 4-dimensionalen
Vektorraums. Dann ist $(a,a+b,a+b+c,a+b+c+d)$ auch eine; wir rechnen nur die
lineare Unabhängigkeit nach:
Aus
$q*a+r*(a+b)+s*(a+b+c+)+t*(a+b+c+d)=0$
ist [mm] $q=r=s=t=0\,$ [/mm] zu folgern. Aus der letzten Gleichung folgt (sogar in
äquivalenter Weise)
[mm] $(q+r+s+t)*a+(r+s+t)*b+(s+t)*c+t*d=0\,.$
[/mm]
Weil aber $(a,b,c,d)$ eine linear unabhängige Familie ist, folgt aus der letzten
Gleichung in notwendiger Weise
[mm] $q+r+s+t=0\,,$
[/mm]
[mm] $r+s+t=0\,,$
[/mm]
$s+t=0$
und
[mm] $t=0\,.$ [/mm]
Warum folgt mit diesen 4 Gleichungen nun [mm] $q=r=s=t=0\,$?
[/mm]
Wenn Du nun den Weg mit dem "Koeffizientenvergleich" angehst (beim
Nullpolynom sind alle Koeffizienten =0), wird sich da nichts großartig anderes
ergeben. Schreib's Dir mal auf. Der Grundgedanke dabei ist dann aber ein
anderer: Oben folgen die 4 Gleichungen aus der linearen Unabhängigkeit
der vorgegebenen Familie. Beim konkreten Arbeiten mit Polynomfunktionen
eben aus einem Satz über Polynomfunktionen.
> >
> > > Man könnte dass alles einzeln beweisen, indem man 4
> > > Gleichungen wie diese aufstellt:
> > >
> > >
> >
> [mm]\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)=(1+x+x^2+x^3)[/mm]
> > > [mm]...[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]\lambda_1(1+x)+\lambda_2(1+x+x^2)+\lambda_3(1+x+x^2+x^3)=(1)[/mm]
> > > Hier könnte man zeigen, dass das bei keiner
> möglich
> > ist,
> > > einen Basisvektor aus den jeweils anderen dazustellen. Geht
> > > das nicht einfacher?
> >
> > Hier weiß ich nicht, was Du meinst.
>
> Hier meine ich einfach, dass man versucht jeden Basisvektor
> durch Linearkombination der anderen Vektoren dazustellen.
> Ist das nicht möglich bedeutet das, dass die ganze Familie
> linear unabhängig ist.
Ja, aber das ist kompliziert. Alleine bei 3 Vektoren musst Du dann ja schon
3 Mal ein Gleichungssystem aufstellen, denn Du musst alle Kombinationsmöglichkeiten
durchspielen (oder begründen, warum Du manche weglassen kannst).
Wenn Du 5 Vektoren hast, musst Du dann zeigen, dass sich
der erste nicht als Linearkombination der folgenden 4 darstellen läßt
und zudem
der zweite nicht als Linearkombination der anderen 4 darstellen läßt
und zudem
der dritte nicht als Linearkombination der anderen 4 darstellen läßt
und zudem
der vierte nicht als Linearkombination der anderen 4 darstellen läßt
und zudem
der fünfte nicht als Linearkombination der anderen 4 darstellen läßt.
Dann nimm' lieber die Variante: Der Nullvektor läßt sich nur als Linearkombination
der 5 Vektoren darstellen, wenn alle Koeffizienten auch 0 sind!
> > Was Du aber auch
> > machen kannst, wenn
> > Du zeigen willst, dass [mm]C\,[/mm] eine Basis für den
> genannten
> > Vektorraum ist:
> > Setze solange verschiedene [mm]x\,[/mm] ein, bis Du ein
> > Gleichungssystem erhälst,
> > dass nur noch dann lösbar ist, wenn alle [mm]\lambda_i[/mm]
> > verschwinden. Das ist dann
> > zwar nicht besonders generell, aber praktisch
> möglich.
> >
> > Damit Du siehst, was ich meine: die Polynomfunktionen vom
> > Grad [mm]\le 2[/mm] haben
> > etwa die Basis [mm]\{1,x,x^2\}\,.[/mm] Ist nun [mm]\{1,x,1+x^2\}[/mm]
> auch
> > eine Basis?
Da habe ich einen Fehler gemacht, ich meinte
[mm] $\{1,x,+x+x^2\}$.
[/mm]
Sorry, vielleicht deswegen auch Deine nächste Nachfrage? Ich kommentiere
und korrigiere das gleich in der alten Antwort!
> > Ja: Ich schreibe nun für die Koeffizienten [mm]r,s,t\,,[/mm] der
> > Einfachheit wegen. Es geht
> > also erstmal darum, ob
> >
> > [mm]r+sx + tx+tx^2 \equiv 0[/mm]
> >
> > schon [mm]r=s=t=0\,[/mm] nach sich zieht.
> >
> > Setze nacheinander [mm]x=0,[/mm] [mm]x=1[/mm] und [mm]x=2[/mm] ein:
> >
> > (I) [mm]r=0[/mm]
> > (II) [mm]r+s+t+t=0[/mm]
> > (III) [mm]r+2s+2t+4t=0[/mm]
>
> Hast Du Dich hier mit der Anzahl der "t"s vertan? Falls
> nicht, verstehe ich nicht, wie du durch einsetzen auf diese
> Gleichung kommst.
Es war
$r+sx + [mm] tx+tx^2 \equiv [/mm] 0,$
also auch
$r+sx + [mm] tx+tx^2\red{\,=\,} [/mm] 0$ für $x=0,1,2.$
[mm] $x=0:\,$ $r+s*0+t*0+t*0^2=r\red{\,=\,}0$
[/mm]
[mm] $x=1:\,$ $r+s*1+t*1+t*1^2=r+s+t+t=r+s+2t\red{\,=\,}0$
[/mm]
[mm] $x=2:\,$ $r+s*2+t*2+t*2^2=r+2s+2t+4t=r+2s+6t\red{\,=\,}0\,.$
[/mm]
> > [Zur "Logik" dahinter: Wenn eine Gleichung FÜR ALLE [mm]x\,[/mm]
> > gelten soll, dann
> > müssen auch alle Gleichungen, die aus dieser durch das
> > Einsetzen von
> > *speziellen* x-en resultieren, gelten! Ich könnte oben
> > also, da diese [mm]...\equiv 0[/mm]
> > Gleichheit ja für alle
> reellen
> > x gelten soll, durchaus dort auch [mm]x=-1,[/mm] [mm]x=\sqrt{2}[/mm],
> > [mm]x=-\pi[/mm] ... einsetzen. Naheliegend(er) ist es
> natürlich,
> > einige [mm]x \in \IZ[/mm] zu verwenden!]
> >
> > Du könntest jetzt auch noch mehrere Gleichungen
> > hinschreiben, indem Du
> > weitere [mm]x\,[/mm]-Werte benutzt. Das würde aber nur dann
> Sinn
> > machen, wenn Du
> > Dir (ziemlich) sicher wärst, dass die obenstehenden
> > Vektoren linear unabhängig
> > sind, dass GLS aus (I),(II) und (III) dies aber noch
> nicht
> > zeigt. Problemhaft
> > wird dieses Vorgehen insbesondere dann, wenn Du Dich
> > irrst, und die Vektoren
> > entgegen Deiner Vermutung doch linear abhängig sind!
> >
> > > Außerdem weiß ich nicht, wie man dann zeigen soll, dass
> > > diese Vektoren ein EZS bilden.
> >
> > Zwei Basen endlichdimensionaler Vektorräume haben gleich
> > viele Elemente,
> > sonst wäre hier der Begriff der Dimension ziemlich
> > sinnfrei. Bei einem n-dimensionalen
> > Vektorraum ([mm]n \in \IN[/mm]) bildet eine Familie von [mm]n\,[/mm]
> > Vektoren dieses Raums
> > immer eine Basis, SOFERN sie linear unabhängig ist;
> damit
> > insbesondere auch
> > ein Erzeugendensystem.
> >
> > Aber wenn Du das (noch) nicht weißt oder benutzen willst:
> > Was ist denn
> > zu zeigen, wenn man zeigen will, dass eine Familie von
> > Vektoren ein EZS
> > für einen Vektorraum ist?
> > Wir bleiben weiterhin der Einfachheit wegen erstmal im
> > endlichdimensionalen
> > Fall: Es ist dann zu zeigen, dass sich jeder Vektor als
> > "Linearkombination
> > der Familie" schreiben läßt. Wenn ich zum Beispiel
> > zeigen will, dass die Familie
> >
> > [mm]\left(\vektor{1\\0\\0},\vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\1\\1}\right)[/mm]
>
> >
> > auch den [mm]\IR^3[/mm] erzeugt (beachte, dass dort auch nur
> > Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] drinstehen),
> > dann habe ich zu zeigen: Für alle
> >
> > [mm]\vektor{u\\v\\w} \in \IR^3[/mm]
> >
> > ist das Gleichungssystem
> >
> >
> [mm]r*\vektor{1\\0\\0}+s*\vektor{1\\1\\0}+t*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{u\\v\\w}[/mm]
> >
> > lösbar in dem Tripel [mm](r,s,t)[/mm] mit [mm]r,s,t \in \IR[/mm].
> > (Das
> ist
> > übrigens sehr analog zu Deiner Aufgabe; wie gesagt:
> > Koordinatenabbildungen
> > sind was schönes!)
> >
> > Wenn ich zeigen wollte, dass
> >
> > [mm]\left(\vektor{1\\0\\0},\vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\1\\1}, \vektor{1\\0\\1}\right)[/mm]
>
> >
> > auch den [mm]\IR^3[/mm] erzeugt, dann wäre nachzuweisen: Für alle
> >
> > [mm]\vektor{u\\v\\w} \in \IR^3[/mm]
> >
> > ist das Gleichungssystem
> >
> >
> [mm]r*\vektor{1\\0\\0}+s*\vektor{1\\1\\0}+t*\vektor{1\\1\\1}+z*\vektor{1\\0\\1}=\vektor{u\\v\\w}[/mm]
> >
> > lösbar in dem Quadrupel [mm](r,s,t,z)[/mm] mit reellen [mm]r,s,t,z\,.[/mm]
> > Und wenn man zuerst das
> > mit dem Tripel oben gezeigt hat, bräuchte man sich mit
> > der Quadrupelaufgabe
> > schon gar nicht mehr beschäftigen. Ist Dir das klar?
> >
>
> Wie genau zeige ich denn hier, dass sich durch diese
> Gleichung wirklich ALLE Vektoren in dem VR darstellen
> lassen?
Da Du [mm] $(u,v,w)^T \in \IR^3$ [/mm] beliebig gelassen hast (also nicht etwa [mm] "$u\,$ [/mm] an [mm] $v\,$ [/mm]
gekoppelt", oder immer speziell [mm] $u=1\,$ [/mm] hast oder oder oder), überprüfst Du,
ob dieses Gleichungssystem eine oder mehrere Lösungsquadrupel hat. Die
[mm] $u,\,v,\,w$ [/mm] sind quasi feste Parameter, und Du musst zeigen, dass man bei egal
welcher Wahl dieser Parameter immer das Gleichungssystem (GLS) lösen kann.
Machen wir ein einfaches Beispiel: Ich behaupte, dass
[mm] $\left(\vektor{1\\0},\vektor{1\\1}, \vektor{1\\2}\right)$
[/mm]
ein EZS (Erzeugendensystem) für den [mm] $\IR^2$ [/mm] ist. Per Definitionem ist
[mm] $\IR^2=\{(a,b)^T: a,b \in \IR\}$.
[/mm]
Sei nun irgendein [mm] $(a,b)^T \in \IR^2$ [/mm] vorgegeben. Zu zeigen ist, dass dann das
GLS
[mm] $x*(1,0)^T+y*(1,1)^T+z*(1,2)^T=(a,b)\,$
[/mm]
lösbar in den reellen Variablen $x,y,z$ ist; es ist also zu zeigen, dass, wie auch
immer $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] vorgegeben sein mögen, dass Gleichungssystem bestehend
aus den beiden Gleichungen
[mm] $x+y+z=a\,$ [/mm] und [mm] $y+2z=b\,$
[/mm]
ein Lösungstripel hat. Sowas ist nicht schwer, ich kann es durch schnelles
Hingucken sogar machen:
[mm] $(x,y,z):=(a-b,b,0)\,$ [/mm] (also [mm] $z:=0\,,$ [/mm] $y:=b$ und $x:=a-b$)
leistet das Gewünschte!
Zeige vielleicht mal, dass
[mm] $\left(\vektor{1\\0\\1},\vektor{1\\1\\0},\vektor{2\\1\\1}\right)$
[/mm]
NICHT den [mm] $\IR^3$ [/mm] erzeugen kann. Und zwar durch direktes Nachrechnen.
D.h. Du gibst Dir [mm] $(a,b,c)^T \in \IR^3$ [/mm] vor (die werden NICHT konkretisiert, sondern
im Folgenden nur wie feste Zahlen [Parameter] behandelt!), suchst dann
*passende Skalare* [mm] $x,y,z\,$ [/mm] mit
[mm] $x*\vektor{1\\0\\1}+y*\vektor{1\\1\\0}+z*\vektor{2\\1\\1}=\vektor{a\\b\\c}$
[/mm]
Nach einem gewissen Rechenvorgang solltest Du *sehen*, wie Du Dir einen
Beispielvektor $(a,b,c) [mm] \in \IR^3$ [/mm] konkret vorgeben kannst, der nicht durch
dieses GLS lösbar ist in den reellen Variablen [mm] $x,y,z\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die zweite Möglichkeit wäre, dass man zeigt, dass es für
> jedes Element im Vektorraum nur eine eindeutige Darstellung
> mit diesen Basisvektoren gibt.
> Reicht es da, einfach eine Darstellung anzugeben, oder
> muss man die Eindeutigkeit beweisen?
> Meine eindeutige Darstellung für eine allgemeine Funktion
> [mm]p(x) = a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm] wäre
> [mm]\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)+\lambda_4(1+x+x^2+x^3)[/mm]
> mit
> [mm]\lambda_4 = a_3[/mm]
> [mm]\lambda_3 = a_2-a_3[/mm]
> [mm]\lambda_2 = a_1-(a_2+a_3)[/mm]
>
> [mm]\lambda_1 = a_0-(a_1+a_2+a_3)[/mm]
>
> Ist das ausreichend, oder muss man das ganz anders machen?
ich rechne es erstmal nach: Ist [mm] $1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ [/mm] als Polynomfunktion
vom Grad [mm] $\le [/mm] 3$ vorgegeben, so ist wegen
[mm] $\{a_0-(a_1+a_2+a_3)\}*1+\{a_1-(a_2+a_3)\}*(1+x)+\{a_2-a_3\}*(1+x+x^2)+\{a_3\}*(1+x+x^2+x^3)$
[/mm]
[mm] $=\{a_0-(a_1+a_2+a_3)+a_1+a_2+a_3\}*1+\{a_1-(a_2+a_3)+(a_2-a_3)+a_3\}*x+\{(a_2-a_3)+a_3\}*x^2+\{a_3\}*x^3
[/mm]
[mm] $=...=a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3x^3$ [/mm] (für alle x)
die Menge [mm] $C\,$ [/mm] als EZS erkannt (das ist übrigens von mir sehr sehr knapp
formuliert, das kann man auch etwas breiter ausformulieren!).
Entweder zeigst Du nun auch noch die lineare Unabhängigkeit, oder Du
zeigst, dass dieses EZS *minimal* ist, um zu begründen, dass [mm] $C\,$ [/mm] sogar eine
Basis bildet. Oder Du benutzt wieder ein *Dimensionsargument*!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 04.04.2015 | | Autor: | phifre |
> Hallo,
>
> > Die zweite Möglichkeit wäre, dass man zeigt, dass es für
> > jedes Element im Vektorraum nur eine eindeutige Darstellung
> > mit diesen Basisvektoren gibt.
> > Reicht es da, einfach eine Darstellung anzugeben, oder
> > muss man die Eindeutigkeit beweisen?
> > Meine eindeutige Darstellung für eine allgemeine
> Funktion
> > [mm]p(x) = a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm] wäre
> >
> [mm]\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)+\lambda_4(1+x+x^2+x^3)[/mm]
> > mit
> > [mm]\lambda_4 = a_3[/mm]
> > [mm]\lambda_3 = a_2-a_3[/mm]
> > [mm]\lambda_2 = a_1-(a_2+a_3)[/mm]
>
> >
> > [mm]\lambda_1 = a_0-(a_1+a_2+a_3)[/mm]
> >
> > Ist das ausreichend, oder muss man das ganz anders machen?
>
> ich rechne es erstmal nach: Ist [mm]1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm] als
> Polynomfunktion
> vom Grad [mm]\le 3[/mm] vorgegeben, so ist wegen
>
> [mm]\{a_0-(a_1+a_2+a_3)\}*1+\{a_1-(a_2+a_3)\}*(1+x)+\{a_2-a_3\}*(1+x+x^2)+\{a_3\}*(1+x+x^2+x^3)[/mm]
>
> [mm]$=\{a_0-(a_1+a_2+a_3)+a_1+a_2+a_3\}*1+\{a_1-(a_2+a_3)+(a_2-a_3)+a_3\}*x+\{(a_2-a_3)+a_3\}*x^2+\{a_3\}*x^3[/mm]
>
> [mm]=...=a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3x^3[/mm] (für alle x)
>
> die Menge [mm]C\,[/mm] als EZS erkannt (das ist übrigens von mir
> sehr sehr knapp
> formuliert, das kann man auch etwas breiter
> ausformulieren!).
Die Darstellung habe ich ja selber gefunden, also sollte die Herleitung aufzuschreiben kein Problem darstellen.
Ist das also genug Beweis, dass die Familie ein EZS ist?
Lineare Unabhängigkeit könnte ich ja mithilfe Deiner anderen Antwort oder mit meinem Verfahren auf zwei Weisen zeigen.
Wobei das Dimensionsargument dann wohl die (aller)einfachste Möglichkeit ist.
> Entweder zeigst Du nun auch noch die lineare
> Unabhängigkeit, oder Du
> zeigst, dass dieses EZS *minimal* ist, um zu begründen,
> dass [mm]C\,[/mm] sogar eine
> Basis bildet. Oder Du benutzt wieder ein
> *Dimensionsargument*!
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Die zweite Möglichkeit wäre, dass man zeigt, dass es für
> > > jedes Element im Vektorraum nur eine eindeutige Darstellung
> > > mit diesen Basisvektoren gibt.
> > > Reicht es da, einfach eine Darstellung anzugeben,
> oder
> > > muss man die Eindeutigkeit beweisen?
> > > Meine eindeutige Darstellung für eine allgemeine
> > Funktion
> > > [mm]p(x) = a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm] wäre
> > >
> >
> [mm]\lambda_1(1)+\lambda_2(1+x)+\lambda_3(1+x+x^2)+\lambda_4(1+x+x^2+x^3)[/mm]
> > > mit
> > > [mm]\lambda_4 = a_3[/mm]
> > > [mm]\lambda_3 = a_2-a_3[/mm]
> > >
> [mm]\lambda_2 = a_1-(a_2+a_3)[/mm]
> >
> > >
> > > [mm]\lambda_1 = a_0-(a_1+a_2+a_3)[/mm]
> > >
> > > Ist das ausreichend, oder muss man das ganz anders machen?
> >
> > ich rechne es erstmal nach: Ist [mm]1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm] als
> > Polynomfunktion
> > vom Grad [mm]\le 3[/mm] vorgegeben, so ist wegen
> >
> >
> [mm]\{a_0-(a_1+a_2+a_3)\}*1+\{a_1-(a_2+a_3)\}*(1+x)+\{a_2-a_3\}*(1+x+x^2)+\{a_3\}*(1+x+x^2+x^3)[/mm]
> >
> >
> [mm]$=\{a_0-(a_1+a_2+a_3)+a_1+a_2+a_3\}*1+\{a_1-(a_2+a_3)+(a_2-a_3)+a_3\}*x+\{(a_2-a_3)+a_3\}*x^2+\{a_3\}*x^3[/mm]
> >
> > [mm]=...=a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3x^3[/mm] (für alle x)
> >
> > die Menge [mm]C\,[/mm] als EZS erkannt (das ist übrigens von mir
> > sehr sehr knapp
> > formuliert, das kann man auch etwas breiter
> > ausformulieren!).
>
> Die Darstellung habe ich ja selber gefunden, also sollte
> die Herleitung aufzuschreiben kein Problem darstellen.
ich sage auch nicht, dass Du das nicht aufschreiben kannst, ich sage nur,
Du solltest es vielleicht nicht ganz so knapp machen, wie ich es getan habe.
Du kannst ja hier mal einen Vorschlag machen, wie Du das aufschreiben
willst.
> Ist das also genug Beweis, dass die Familie ein EZS ist?
Natürlich, solange man es auch noch einigermaßen gut formuliert.
> Lineare Unabhängigkeit könnte ich ja mithilfe Deiner
> anderen Antwort oder mit meinem Verfahren auf zwei Weisen
> zeigen.
Genau!
> Wobei das Dimensionsargument dann wohl die
> (aller)einfachste Möglichkeit ist.
Finde ich schon: Wenn Du einen [mm] $K\,$-Vektorraum [/mm] der Dimension n hast, und
Du weißt, dass [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren dieses Raumes ihn auch schon erzeugen (also
*ganz* aufspannen), dann hast Du ein minimales EZS. Wäre dem nicht so,
so könntest Du einen dieser Vektoren entfernen und der ganze Raum müßte
immer noch aufgespannt werden. Dann wäre seine Dimension aber nicht
mehr n, sondern [mm] $n-1\,.$ [/mm]
"Lieber" (jedenfalls meinem Gefühl nach!) rechnet man aber generell eher
doch die lineare Unabhängigkeit von n Vektoren nach.
Gruß,
Marcel
> > Entweder zeigst Du nun auch noch die lineare
> > Unabhängigkeit, oder Du
> > zeigst, dass dieses EZS *minimal* ist, um zu begründen,
> > dass [mm]C\,[/mm] sogar eine
> > Basis bildet. Oder Du benutzt wieder ein
> > *Dimensionsargument*!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
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Speziell könnte man hier auch differenzieren. Läßt sich nämlich aus den vier Funktionen
[mm]f_0(x)=1, \, f_1(x)=1+x, \, f_2(x)=1+x+x^2,\, f_3(x)=1+x+x^2+x^3[/mm]
die Nullfunktion linear kombinieren, existieren also Skalare [mm]\lambda_0, \, \lambda_1, \, \lambda_2, \, \lambda_3[/mm] mit
[mm]\text{(0)} \ \ \lambda_0 f_0 + \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2 + \lambda_3 f_3 = 0[/mm]
so folgen hieraus
[mm]\text{(1)} \ \ \lambda_1 f'_1 + \lambda_2 f'_2 + \lambda_3 f'_3 = 0[/mm]
[mm]\text{(2)} \ \ \lambda_2 f''_2 + \lambda_3 f''_3 = 0[/mm]
[mm]\text{(3)} \ \ \lambda_3 f'''_3 = 0[/mm]
Das ergibt sich einfach aus Gradgründen. Jetzt läßt sich das Gleichungssystem von unten nach oben auflösen, denn [mm]f'''_3, \, f''_2, \, f'_1, \, f_0[/mm] sind nicht verschwindende Konstante (genauer: konstante Funktionen).
In einem vierdimensionalen Vektorraum müssen aber vier linear unabhängige Elemente eine Basis bilden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Speziell könnte man hier auch differenzieren. Läßt sich
> nämlich aus den vier Funktionen
>
> [mm]f_0(x)=1, \, f_1(x)=1+x, \, f_2(x)=1+x+x^2,\, f_3(x)=1+x+x^2+x^3[/mm]
>
> die Nullfunktion linear kombinieren, existieren also
> Skalare [mm]\lambda_0, \, \lambda_1, \, \lambda_2, \, \lambda_3[/mm]
> mit
>
> [mm]\text{(0)} \ \ \lambda_0 f_0 + \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2 + \lambda_3 f_3 = 0[/mm]
>
> so folgen hieraus
>
> [mm]\text{(1)} \ \ \lambda_1 f'_1 + \lambda_2 f'_2 + \lambda_3 f'_3 = 0[/mm]
>
> [mm]\text{(2)} \ \ \lambda_2 f''_2 + \lambda_3 f''_3 = 0[/mm]
>
> [mm]\text{(3)} \ \ \lambda_3 f'''_3 = 0[/mm]
>
> Das ergibt sich einfach aus Gradgründen. Jetzt läßt sich
> das Gleichungssystem von unten nach oben auflösen, denn
> [mm]f'''_3, \, f''_2, \, f'_1, \, f_0[/mm] sind nicht verschwindende
> Konstante (genauer: konstante Funktionen).
>
> In einem vierdimensionalen Vektorraum müssen aber vier
> linear unabhängige Elemente eine Basis bilden.
das ist eine gute Idee. Soweit ich mich erinnere, gibt es auch einen Beweis,
der sowas benutzt, um zu zeigen, dass Polynomfunktionen vom Grad [mm] $\le [/mm] n$
höchstens n Nullstellen haben. Aller Wahrscheinlichkeit nach findet man ihn
sogar schnell im Bereich Numerik, eventuell benutzen die da auch mal (wie
so oft in der Numerik) die Taylorreihenentwicklung.
Wir können, falls wir das wollen, ihn aber sicher auch selber hier mal schnell
zusammenschustern.
Gruß,
Marcel
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