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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage:
A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) |
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
Hallo liebe Forenmitglieder,
die Aufgabe stammt aus dem Buch "Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik",
leider gibt es zu den Übungsaufgaben keine Lösungen, aber vielleicht könnt Ihr mir sagen,
ob ich mit meinem Versuch auf dem richtigen Weg bin.
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Los geht's:
An einer ähnlichen Aufgabe wurde der Beweis in zwei Schritten geführt:
1. Nachweis, daß der linke Term Teilmenge des Rechten ist und
2. Nachweis, daß der rechte Term Teilmenge des Linken ist. Also:
zu 1.
Sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
oder
Sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
zu 2.
Sei x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)
oder
Sei x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)
Damit sollte doch A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) bewiesen sein?
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Da Beweisen für mich völlig neu ist, folgende FRAGEN:
1.) Kann man das so schreiben (und Beweis nennen) ??? :)
2.) Wie würdet Ihr das (mathematisch und formell korrekt) machen?
Danke schonmal für Eure Mühe,
Gruß, Jens
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:27 Sa 18.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie folgende Aussage:
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> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> [Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.]
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> Hallo liebe Forenmitglieder,
>
> die Aufgabe stammt aus dem Buch "Mathematisch-strukturelle
> Grundlagen der Informatik",
> leider gibt es zu den Übungsaufgaben keine Lösungen, aber
> vielleicht könnt Ihr mir sagen,
> ob ich mit meinem Versuch auf dem richtigen Weg bin.
>
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> Los geht's:
>
> An einer ähnlichen Aufgabe wurde der Beweis in zwei
> Schritten geführt:
>
> 1. Nachweis, daß der linke Term Teilmenge des Rechten ist
> und
> 2. Nachweis, daß der rechte Term Teilmenge des Linken
> ist. Also:
>
>
> zu 1.
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> Sei x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (x[mm]\in[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] [mm] $\red{x \in } [/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
>
> oder
>
> Sei x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] C) [mm]\Rightarrow[/mm] [mm] $\red{x \in }$ [/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
Du hattest das [mm] $\red{x \in }$ [/mm] am Ende vergessen. Ich finde nur, Deine Logik ist verwirrend:
Du solltest nicht schreiben:
$$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B$$
oder
$$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in C\,.$$
[/mm]
Ich fände es besser, zu schreiben:
$$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] C)) [mm] \Rightarrow [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C))$$
$$ [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap C)\,.$$
[/mm]
(Das finde ich besser, weil hier die Definition von [mm] $\cup$ [/mm] ersichtlich ist. Zudem werden die 'logischen Regeln' von de Morgan angewendet.)
Ich fände es allerdings anfänglich sogar besser, es so zu schreiben:
Es sei $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$. Dann gilt $x [mm] \in [/mm] A$ und ($x [mm] \in [/mm] B$ oder $x [mm] \in [/mm] C$). Es können also zwei Fälle eintreten:
1. Fall: Sei $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in B\,,$ [/mm] dann folgt...
2. Fall: Sei $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in C\,,$ [/mm] dann folgt...
Dein Grundgedanke war schon okay, aber wenn Du
$$R [mm] \Rightarrow [/mm] S$$
oder
$$R [mm] \Rightarrow [/mm] T$$
schreibst, so meint das, dass mindestens eine der beiden Folgerungen $R [mm] \Rightarrow S\,,$ [/mm] $R [mm] \Rightarrow [/mm] T$ korrekt ist. Ich finde, das wird nicht ganz klar, wie das oben bei Dir zustandekommt.
> zu 2.
Sei [mm] $\red{x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)}\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $\red{x \in A \cap B}$ [/mm] oder [mm] $\red{x \in A \cap C}\,,$es [/mm] können also zwei Fälle eintreten:
> 1. Fall: Sei x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) (die letzte Folgerung gilt wegen [mm] $\red{B \subset (B \cup C)}$)
[/mm]
>
> oder
> 2. Fall:
> Sei x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] C)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) (die letzte Folgerung gilt wegen [mm] $\red{C \subset (B \cup C)}$)
[/mm]
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> Damit sollte doch A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) bewiesen sein?
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> Da Beweisen für mich völlig neu ist, folgende FRAGEN:
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> 1.) Kann man das so schreiben (und Beweis nennen) ??? :)
Ja, wie gesagt, ich würde den ersten Beweisteil 'umschreiben', aber ansonsten ist das okay.
> 2.) Wie würdet Ihr das (mathematisch und formell korrekt)
> machen?
Das war i.W. in Ordnung, ich habe nur ein paar Anmerkungen gemacht.
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel,
danke für Deine schnelle Antwort und die nützlichen Tips,
haben mir sehr geholfen.
Gruß, Jens
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