Beweis einer Gruppe < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Do 15.11.2012 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | (a) Zeigen Sie: [mm] (\IZ_n\ [/mm] {0}, [mm] \*_n,1) [/mm] ist ein Monoid falls n=prim.
b) Sei [mm] z_1, z_2 \in [/mm] L mit L := [mm] (\IZ\cap [0,255])^{1024x768}
[/mm]
und [mm] f(z^1_{ij},z^2_{ij})= 255-\bruch{256*(255-z^1_{ij})}{(z^2_{ij})^2+1}
[/mm]
ist (L,f) eine Halbgruppe? |
Hi,
zu a) Monoid heißt: Abgeschlossenheit, Assoziativität und ein Einselement,
Abgeschlossen ist sie ja per Definition, a*(b*c)=a*b*c=c(b*a) (Eigenchaft der Multiplikation), und da die 1 ja enthalten ist ist auch a*1=1*a=a
Aber warum sollte es nur ein Monoid sein wenn n = Primzahl ist?
zu b)
Es muss ja eine Abbildung von L auf L sein da heißt f(z1,z2) [mm] \in [/mm] L aber hier fehlt mir irgendwie die Beweisgrundlage. Reicht es nachzuweisen dass der wert von f(z1,z2) immer zwischen 0 und 255 liegt?
Danke für eure Hilfe!
gruß Tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Do 15.11.2012 | | Autor: | hippias |
> (a) Zeigen Sie: [mm](\IZ_n\[/mm] {0}, [mm]\*_n,1)[/mm] ist ein Monoid falls
> n=prim.
>
> b) Sei [mm]z_1, z_2 \in[/mm] L mit L := [mm](\IZ\cap [0,255])^{1024x768}[/mm]
>
> und [mm]f(z^1_{ij},z^2_{ij})= 255-\bruch{256*(255-z^1_{ij})}{(z^2_{ij})^2+1}[/mm]
>
> ist (L,f) eine Halbgruppe?
> Hi,
>
> zu a) Monoid heißt: Abgeschlossenheit, Assoziativität und
> ein Einselement,
>
> Abgeschlossen ist sie ja per Definition,
> a*(b*c)=a*b*c=c(b*a) (Eigenchaft der Multiplikation), und
> da die 1 ja enthalten ist ist auch a*1=1*a=a
>
> Aber warum sollte es nur ein Monoid sein wenn n = Primzahl
> ist?
Ich vermute einen Schreibfehler: Die Monoid Struktur liegt fuer alle $n$ vor; ist $n$ prim, so ist es sogar eine Gruppe.
>
> zu b)
>
> Es muss ja eine Abbildung von L auf L sein da heißt
> f(z1,z2) [mm]\in[/mm] L aber hier fehlt mir irgendwie die
> Beweisgrundlage. Reicht es nachzuweisen dass der wert von
> f(z1,z2) immer zwischen 0 und 255 liegt?
Wenn ich es richtig deute, ist $L$ die Menge alle Abbildungen [mm] $:\{1,\ldots, 1024\}\times \{1,\ldots, 768\}\to \{0,\ldots, 255\}$. [/mm] Sind nun [mm] $l,m\in [/mm] L$ so gilt für $g:=f(l,m)$, dass [mm] $g_{i,j}= 255-\bruch{256*(255-l_{ij})}{m_{ij}^2+1}$.
[/mm]
Für die Abgeschlossenheit musst Du [mm] $g_{i,j}\in \IZ\cap [/mm] [0,255]$ nachweisen, was ziemlich schiefgehen duerfte. Koennte hier weiterer Fehler in der Aufgabenstellung vorliegen?
>
> Danke für eure Hilfe!
>
> gruß Tom
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Do 15.11.2012 | | Autor: | Rated-R |
Vielen Dank für deine Antwort.
> > (a) Zeigen Sie: [mm](\IZ_n\[/mm] {0}, [mm]\*_n,1)[/mm] ist ein Monoid falls
> > n=prim.
> >
> > b) Sei [mm]z_1, z_2 \in[/mm] L mit L := [mm](\IZ\cap [0,255])^{1024x768}[/mm]
>
> >
> > und [mm]f(z^1_{ij},z^2_{ij})= 255-\bruch{256*(255-z^1_{ij})}{(z^2_{ij})^2+1}[/mm]
>
> >
> > ist (L,f) eine Halbgruppe?
> > Hi,
> >
> > zu a) Monoid heißt: Abgeschlossenheit, Assoziativität und
> > ein Einselement,
> >
> > Abgeschlossen ist sie ja per Definition,
> > a*(b*c)=a*b*c=c(b*a) (Eigenchaft der Multiplikation), und
> > da die 1 ja enthalten ist ist auch a*1=1*a=a
> >
> > Aber warum sollte es nur ein Monoid sein wenn n = Primzahl
> > ist?
> Ich vermute einen Schreibfehler: Die Monoid Struktur liegt
> fuer alle [mm]n[/mm] vor; ist [mm]n[/mm] prim, so ist es sogar eine Gruppe.
> >
nein die Aufgabe lautet genau so, es ist Restklasse [mm] (\IZ [/mm] ohne 0, multiplikation, 1), was macht den Unterschied aus zwischen prim und nicht prim? Es ändert nichts an der Assoziativität, nichts an der Abgeschlossenheit,
> > zu b)
> >
> > Es muss ja eine Abbildung von L auf L sein da heißt
> > f(z1,z2) [mm]\in[/mm] L aber hier fehlt mir irgendwie die
> > Beweisgrundlage. Reicht es nachzuweisen dass der wert von
> > f(z1,z2) immer zwischen 0 und 255 liegt?
> Wenn ich es richtig deute, ist [mm]L[/mm] die Menge alle
> Abbildungen [mm]:\{1,\ldots, 1024\}\times \{1,\ldots, 768\}\to \{0,\ldots, 255\}[/mm].
> Sind nun [mm]l,m\in L[/mm] so gilt für [mm]g:=f(l,m)[/mm], dass [mm]g_{i,j}= 255-\bruch{256*(255-l_{ij})}{m_{ij}^2+1}[/mm].
>
ja denke ich auch das 1024x768 deutet auf Matrizen hin, es werden zwei elemente aus zwei verschiedenen Matriz auf eine neue abgebildet.
> Für die Abgeschlossenheit musst Du [mm]g_{i,j}\in \IZ\cap [0,255][/mm]
> nachweisen, was ziemlich schiefgehen duerfte. Koennte hier
> weiterer Fehler in der Aufgabenstellung vorliegen?
> >
f(l,m) muss ja zwischen 0-255 sowie l und m zwischen 0 und 255 liegen müssen. Problem ist irgendwie das der Wert auc h Rational werden kann und dann stimmt, die Eigenschaft mit f(z1,z2) [mm] \in \IZ [/mm] geht es darum schief?
Ich bin mir grad nich sicher ob man es beweisen oder widerlegen soll.
> > Danke für eure Hilfe!
> >
> > gruß Tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Do 15.11.2012 | | Autor: | hippias |
> > >
> nein die Aufgabe lautet genau so, es ist Restklasse [mm](\IZ[/mm]
> ohne 0, multiplikation, 1), was macht den Unterschied aus
> zwischen prim und nicht prim? Es ändert nichts an der
> Assoziativität, nichts an der Abgeschlossenheit,
Wie gesagt, Du hast fuer alle $n$ ein Monoid. Ist $n$ aber prim, dann ist es eine Gruppe.
>
> > Für die Abgeschlossenheit musst Du [mm]g_{i,j}\in \IZ\cap [0,255][/mm]
> > nachweisen, was ziemlich schiefgehen duerfte. Koennte hier
> > weiterer Fehler in der Aufgabenstellung vorliegen?
> > >
>
> f(l,m) muss ja zwischen 0-255 sowie l und m zwischen 0 und
> 255 liegen müssen. Problem ist irgendwie das der Wert auc
> h Rational werden kann und dann stimmt, die Eigenschaft mit
> f(z1,z2) [mm]\in \IZ[/mm] geht es darum schief?
>
Das ist nicht verstehen.
> Ich bin mir grad nich sicher ob man es beweisen oder
> widerlegen soll.
>
>
>
> > > Danke für eure Hilfe!
> > >
> > > gruß Tom
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Do 15.11.2012 | | Autor: | Rated-R |
> > > >
> > nein die Aufgabe lautet genau so, es ist Restklasse [mm](\IZ[/mm]
> > ohne 0, multiplikation, 1), was macht den Unterschied aus
> > zwischen prim und nicht prim? Es ändert nichts an der
> > Assoziativität, nichts an der Abgeschlossenheit,
> Wie gesagt, Du hast fuer alle [mm]n[/mm] ein Monoid. Ist [mm]n[/mm] aber
> prim, dann ist es eine Gruppe.
>
Folgt das aus der Definition? der einzige Unterschied ist, dass n=prim keine Teiler hat.
Beispiel n=7 d.h. [mm] Z_7 [/mm] \ {0} = {1,2,3,4,5,6}
und n = 8 d.h. [mm] Z_8 [/mm] \ {0}= {1,2,3,4,5,6,7}
Ich verstehe nicht welche Eigenschaft den Unterschied macht, ich glaube jetzt nicht das die Aufgabe falsch ist.
> >
> > > Für die Abgeschlossenheit musst Du [mm]g_{i,j}\in \IZ\cap [0,255][/mm]
> > > nachweisen, was ziemlich schiefgehen duerfte. Koennte hier
> > > weiterer Fehler in der Aufgabenstellung vorliegen?
> > > >
> >
> > f(l,m) muss ja zwischen 0-255 sowie l und m zwischen 0 und
> > 255 liegen müssen. Problem ist irgendwie das der Wert auc
> > h Rational werden kann und dann stimmt, die Eigenschaft mit
> > f(z1,z2) [mm]\in \IZ[/mm] geht es darum schief?
> >
> Das ist nicht verstehen.
[mm] z^1_{ij}= [/mm] 0 und [mm] z^2_{ij}=18 [/mm] dann ist [mm] f(z^1_{ij},z^2_{ij}) \not\in [/mm] L, ist es deswegen keine Halbgruppe?
> > Ich bin mir grad nich sicher ob man es beweisen oder
> > widerlegen soll.
> >
> >
> >
> > > > Danke für eure Hilfe!
> > > >
> > > > gruß Tom
> > >
> >
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Hallo Rated-R,
> > > > >
> > > nein die Aufgabe lautet genau so, es ist Restklasse [mm](\IZ[/mm]
> > > ohne 0, multiplikation, 1), was macht den Unterschied aus
> > > zwischen prim und nicht prim? Es ändert nichts an der
> > > Assoziativität, nichts an der Abgeschlossenheit,
> > Wie gesagt, Du hast fuer alle [mm]n[/mm] ein Monoid. Ist [mm]n[/mm] aber
> > prim, dann ist es eine Gruppe.
> >
> Folgt das aus der Definition? der einzige Unterschied ist,
> dass n=prim keine Teiler hat.
>
> Beispiel n=7 d.h. [mm]Z_7[/mm] \ {0} = {1,2,3,4,5,6}
>
> und n = 8 d.h. [mm]Z_8[/mm] \ {0}= {1,2,3,4,5,6,7}
>
> Ich verstehe nicht welche Eigenschaft den Unterschied
> macht, ich glaube jetzt nicht das die Aufgabe falsch ist.
Nein, wie schon gesagt, ist das für jedes $n$ ein Monoid, also insbesondere für primes n.
Aber für primes n ist jedes Element in [mm] $\IZ_n\setminus\{0\}$ [/mm] auch invertierbar bzgl. [mm] $\cdot{}$
[/mm]
Für nicht-primes n ist das nicht so.
Schaue dir deine Bsp. an: [mm] $\IZ_7\setminus\{0\}$ [/mm] ist eine Gruppe bzgl. Multiplikation.
[mm] $\IZ_8\setminus\{0\}$ [/mm] nicht. Versuche mal, das inverse Element zu 2 zu bestimmen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:26 Do 15.11.2012 | | Autor: | Rated-R |
> Hallo Rated-R,
>
> > > > > >
> > > > nein die Aufgabe lautet genau so, es ist Restklasse [mm](\IZ[/mm]
> > > > ohne 0, multiplikation, 1), was macht den Unterschied aus
> > > > zwischen prim und nicht prim? Es ändert nichts an der
> > > > Assoziativität, nichts an der Abgeschlossenheit,
> > > Wie gesagt, Du hast fuer alle [mm]n[/mm] ein Monoid. Ist [mm]n[/mm] aber
> > > prim, dann ist es eine Gruppe.
> > >
> > Folgt das aus der Definition? der einzige Unterschied ist,
> > dass n=prim keine Teiler hat.
> >
> > Beispiel n=7 d.h. [mm]Z_7[/mm] \ {0} = {1,2,3,4,5,6}
> >
> > und n = 8 d.h. [mm]Z_8[/mm] \ {0}= {1,2,3,4,5,6,7}
> >
> > Ich verstehe nicht welche Eigenschaft den Unterschied
> > macht, ich glaube jetzt nicht das die Aufgabe falsch ist.
>
> Nein, wie schon gesagt, ist das für jedes [mm]n[/mm] ein Monoid,
> also insbesondere für primes n.
>
> Aber für primes n ist jedes Element in [mm]\IZ_n\setminus\{0\}[/mm]
> auch invertierbar bzgl. [mm]\cdot{}[/mm]
>
> Für nicht-primes n ist das nicht so.
>
> Schaue dir deine Bsp. an: [mm]\IZ_7\setminus\{0\}[/mm] ist eine
> Gruppe bzgl. Multiplikation.
>
> [mm]\IZ_8\setminus\{0\}[/mm] nicht. Versuche mal, das inverse
> Element zu 2 zu bestimmen ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Vielen Dank für deine Antwort!
Im [mm] Z_7: [/mm] 2*1=2*4 2*2=2*5 2*3=2*6 im [mm] Z_8 [/mm] sind es verschiedene Werte, jetzt hab ichs verstanden.
Also dann
Beweis Monoid:
Sein a,b,c [mm] \IZ_n [/mm] \ {0} so gilt a*(b*c)=a*b*c=b*(c*a) da für alle z1,z2 [mm] \in \IZ [/mm] gilt z1*z2=r
Neutrales Element:
Für alle a [mm] \in [/mm] M: e*a=a*e=a
für alle z1,z2 [mm] \in \IZ: [/mm] z1*z2=r <=> es existiert k [mm] \in \IZ [/mm] z1*z2=r+k*n
So gilt z1*e=z1
r+k*n = z1
(z1*e) + k*n = z1
Falls e neutrales Element so ist k*n = 0 0 [mm] \in [/mm] Z q.e.d
Ist das richtig?
Würde mich freuen wenn jemand noch etwas zur Aufgabe b) sagen könnte, ob meine Widerlegung stimmt oder nicht.
Vielen Dank!
Gruß tom
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Hallo Tom,
boah, es ist echt sehr anstrengend, zu verstehen, was du schreibst.
Was soll das da bei [mm] $\IZ_7$ [/mm] bedeuten?
Wieso sollte [mm] $2\cdot{}1=2\cdot{}4$ [/mm] sein?
Ich verstehe nicht, was du machst.
Und dann fällt bei der Assoziativität plötzlich ein "r" vom Himmel ...
Versuche bitte, das neu zu schreiben, und zwar so, dass man nachvollziehen kann, was du meinst, ohne das erst mit Tarotkarten zu analysieren ...
Und benutze doch bitte den Editor, gerade bei den vielen Indizes ist das sonst mühsam: [mm] $z_1$ [/mm] machst du so: z_1
Ist der Index länger als 1 Zeichen, setze ihn in geschweifte Klammern: [mm] $z_{12}$ [/mm] also so: z_{12}
Danke und liebe Grüße
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Rated-R |
> Hallo Tom,
>
> boah, es ist echt sehr anstrengend, zu verstehen, was du
> schreibst.
>
> Was soll das da bei [mm]\IZ_7[/mm] bedeuten?
>
> Wieso sollte [mm]2\cdot{}1=2\cdot{}4[/mm] sein?
>
Sorry, war Fehler meiner Seite, da ich dachte die Restklasse wäre Abgeschlossen, dies stimmt aber laut Mitteilung von Tobit09 nicht.
meine Idee war in [mm] Z_7 [/mm] 2*1=2 und 2*4=8=6+2 da die 0 [mm] \not\in Z_7 [/mm] ist der Wert hier auch 2, wie gesagt falsche Annahme.
> Ich verstehe nicht, was du machst.
>
> Und dann fällt bei der Assoziativität plötzlich ein "r"
> vom Himmel ...
Das r folgt doch aus der Defintion der Multiplikation in einer Restklasse oder darf man das nich verweden?
>
> Versuche bitte, das neu zu schreiben, und zwar so, dass man
> nachvollziehen kann, was du meinst, ohne das erst mit
> Tarotkarten zu analysieren ...
>
Sorry, war aber sowieso Falsch.
Stimmt wenigstens der Beweis des neutralen Elements?
Okay nochmal von vorne:
Abgeschlossenheit Monoid:
Defintion Multiplikation in einer Restklasse:
[mm] \forall z_1,z_2 \in \IZ: z_1*z_2=r \gdw \exists [/mm] k [mm] \in \IZ z_1*z_2=r [/mm] + k * n [mm] \wedge [/mm] r [mm] \in \IZ_n
[/mm]
Sei [mm] n=z_1*z_2=r+k*n [/mm] => n(1-k)=r Da k [mm] \in \IZ \not\exists [/mm] r [mm] \in \IZ_n [/mm]
sei n=1 so gilt (1-k)=r => r [mm] \in \IZ_n [/mm] falls k=0
Falls n= prim: [mm] \forall [/mm] k,l [mm] \in \IZ_n: [/mm] k*l [mm] \in \IZ_n
[/mm]
Da gilt [mm] n\not= [/mm] k*l=r+k*n mit r [mm] \in \IZ_n
[/mm]
Ich hoffe das ist besser
Gruß Tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Tom,
> Sorry, war Fehler meiner Seite, da ich dachte die
> Restklasse wäre Abgeschlossen, dies stimmt aber laut
> Mitteilung von Tobit09 nicht.
>
> meine Idee war in [mm]Z_7[/mm] 2*1=2 und 2*4=8=6+2 da die 0 [mm]\not\in Z_7[/mm]
> ist der Wert hier auch 2, wie gesagt falsche Annahme.
Ob nun [mm] $\IZ_7\setminus\{0\}$ [/mm] oder [mm] $\IZ_8\setminus\{0\}$ [/mm] abgeschlossen unter der Multiplikation sind oder nicht: 6+2 ist in [mm] $\IZ_7$ [/mm] auf jeden Fall 1 und nicht 2.
> > Und dann fällt bei der Assoziativität plötzlich ein "r"
> > vom Himmel ...
>
> Das r folgt doch aus der Defintion der Multiplikation in
> einer Restklasse oder darf man das nich verweden?
Natürlich darfst und sollst du die Definition der Multiplikation benutzen. Du solltest jedoch etwas dazuschreiben wie: Sei [mm] $r:=z_1*z_2$. [/mm] Woher soll der Leser sonst wissen, was du mit r meinst?
> Okay nochmal von vorne:
>
> Abgeschlossenheit Monoid:
>
> Defintion Multiplikation in einer Restklasse:
> [mm]\forall z_1,z_2 \in \IZ\red{_n}: z_1*\red{_n}z_2=r \gdw \exists[/mm] k [mm]\in \IZ z_1*z_2=r[/mm]
> + k * n [mm]\wedge[/mm] r [mm]\in \IZ_n[/mm]
Gut, dass du sie angibst. Dann können wir uns nach eurer Definition richten.
Seien also [mm] $z_1,z_2\in\IZ_n\setminus\{0\}$.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass auch [mm] $z_1*_nz_2\in\IZ_n\setminus\{0\}$ [/mm] gilt, also dass [mm] $z_1*_nz_2\not=0$ [/mm] gilt.
> Sei [mm]n=z_1*z_2=r+k*n[/mm]
für gewisse [mm] $r\in\IZ_n$ [/mm] und [mm] $k\in\IZ$. [/mm] Also [mm] $z_1*_nz_2=r$. [/mm] Zu zeigen ist somit [mm] $r\not=0$.
[/mm]
n ist eine schlechte Bezeichnung für [mm] $z_1*z_2$, [/mm] denn n ist ja schon die natürliche Zahl, für die wir [mm] $\IZ_n$ [/mm] betrachten.
> => n(1-k)=r Da k [mm]\in \IZ \not\exists[/mm] r
> [mm]\in \IZ_n[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> sei n=1 so
Jetzt vermixt du wirklich die natürliche Zahl n aus der Aufgabenstellung mit deiner eingeführten Zahl n.
> gilt (1-k)=r => r [mm]\in \IZ_n[/mm] falls k=0
r ist auf jeden Fall in [mm] $\IZ_n$ [/mm] (s.o.).
> Falls n= prim: [mm]\forall[/mm] k,l [mm]\in \IZ_n:[/mm] k*l [mm]\in \IZ_n[/mm]
Du hast schon eine bestimmte ganze Zahl mit k bezeichnet. Jetzt sollten die beliebigen Zahlen in [mm] $\IZ_n$ [/mm] nicht auch mit k bezeichnet werden.
Ansonsten gilt die Aussage unabhängig von n prim.
> Da gilt [mm]n\not=[/mm] k*l=r+k*n mit r [mm]\in \IZ_n[/mm]
Wieder ein wilder Mix aus n und k in verschiedenen Bedeutungen.
Wir betrachten beliebig vorgegebene Elemente [mm] $z_1,z_2\in\IZ_n\setminus\{0\}$ [/mm] und müssen [mm] $z_1*_nz_2\in\IZ_n\setminus\{0\}$ [/mm] zeigen. [mm] $z_1*_nz_2\in\IZ_n$ [/mm] ergibt sich aus der Definition von [mm] $z_1*_nz_2$ [/mm] als dasjenige [mm] $r\in\IZ_n$ [/mm] mit gewisser Eigenschaft. Also ist noch [mm] $r:=z_1*_nz_2\not=0$ [/mm] zu zeigen.
Angenommen $r=0$. Es existiert ja nach Definition von r ein [mm] $k\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $z_1*z_2=r+kn$. [/mm] Wegen der Annahme $r=0$ gilt somit [mm] $z_1*z_2=kn$, [/mm] also n teilt [mm] $z_1*z_2$. [/mm] Da n prim ist, teilt n somit mindestens eine der Zahlen [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$. [/mm] Kann letzteres sein? Beachte [mm] $z_1,z_2\in\IZ_n$ [/mm] und [mm] $z_1,z_2\not=0$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Rated-R |
>
> Wir betrachten beliebig vorgegebene Elemente
> [mm]z_1,z_2\in\IZ_n\setminus\{0\}[/mm] und müssen
> [mm]z_1*_nz_2\in\IZ_n\setminus\{0\}[/mm] zeigen. [mm]z_1*_nz_2\in\IZ_n[/mm]
> ergibt sich aus der Definition von [mm]z_1*_nz_2[/mm] als dasjenige
> [mm]r\in\IZ_n[/mm] mit gewisser Eigenschaft. Also ist noch
> [mm]r:=z_1*_nz_2\not=0[/mm] zu zeigen.
>
Vielen Dank für deine Antwort! Ich habe leider die Schreibweisen noch nicht so intus. Meine Idee war zu zeigen das im Falle [mm] z_1 [/mm] * [mm] z_2 =n\equiv0 [/mm] ist und somit nicht in der Menge [mm] Z_n\{0} [/mm] ist, aber da stand ich wohl im Konflikt mit der Definition.
> Angenommen [mm]r=0[/mm]. Es existiert ja nach Definition von r ein
> [mm]k\in\IZ[/mm] mit [mm]z_1*z_2=r+kn[/mm]. Wegen der Annahme [mm]r=0[/mm] gilt somit
> [mm]z_1*z_2=kn[/mm], also n teilt [mm]z_1*z_2[/mm]. Da n prim ist, teilt n
> somit mindestens eine der Zahlen [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm]. Kann
> letzteres sein? Beachte [mm]z_1,z_2\in\IZ_n[/mm] und [mm]z_1,z_2\not=0[/mm].
>
Diese Formulierung klingt schon wesentlich sinnvoller als meine.
Eine Primzahl kann ja nicht aus dem Produkt zweier Ganzer Zahlen enstehen, und da n > [mm] z_1,z,2 [/mm] würde ich sagen es geht nicht das r=0 ist?
War mein Beweis für die Assozitivität richtig oder darf ich das so machen?
Gruß Tom
>
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Angenommen [mm]r=0[/mm]. Es existiert ja nach Definition von r ein
> > [mm]k\in\IZ[/mm] mit [mm]z_1*z_2=r+kn[/mm]. Wegen der Annahme [mm]r=0[/mm] gilt somit
> > [mm]z_1*z_2=kn[/mm], also n teilt [mm]z_1*z_2[/mm]. Da n prim ist, teilt n
> > somit mindestens eine der Zahlen [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm]. Kann
> > letzteres sein? Beachte [mm]z_1,z_2\in\IZ_n[/mm] und [mm]z_1,z_2\not=0[/mm].
> >
> Diese Formulierung klingt schon wesentlich sinnvoller als
> meine.
> Eine Primzahl kann ja nicht aus dem Produkt zweier Ganzer
> Zahlen ungleich 1 enstehen, und da n > [mm]z_1,z,2[/mm] würde ich sagen es
> geht nicht das r=0 ist?
Wegen [mm] $z_1,z_2
> War mein Beweis für die Assozitivität richtig oder darf
> ich das so machen?
Du meinst den Folgenden?
> Sein a,b,c [mm] \IZ_n [/mm] \ {0} so gilt a*(b*c)=a*b*c=b*(c*a) da für alle z1,z2 [mm] \in \IZ [/mm] gilt z1*z2=r
Die Gleichheiten $a*(b*c)=a*b*c=b*(c*a)$ (wobei du mit * offenbar $*_n$ meinst) hast du nicht bewiesen, sondern einfach behauptet.
Ich finde den Nachweis der Assoziativität gar nicht so leicht.
Zu zeigen ist $a*_n(b*_nc)=(a*_nb)*_nc$.
Hier gilt es zunächst, die Definitionen der einzelnen Produkte zu Rate zu ziehen.
Seien [mm] $k\in\IZ$, $r\in\IZ_n$ [/mm] mit $b*c=r+kn$. Seien [mm] $k'\in\IZ$, $r'\in\IZ_n$ [/mm] mit $a*(b*_nc)=r'+k'n$ (*).
Also $r=b*_nc$ und $r'=a*_n(b*_nc)$.
Wegen $b*c=r+kn$ gilt $b*c-kn=r=b*_nc$.
Eingesetzt in (*) erhalten wir $r'+k'n=a*(b*c-kn)$.
Also [mm] $a*(b*c)=r'+\underbrace{(ak+k')}_{=:l}n$.
[/mm]
Also $a*(b*c)=a*_n(b*_nc)+ln$ für ein [mm] $l\in\IZ$.
[/mm]
Wegen der Assoziativität der gewöhnlichen Multiplikation ganzer Zahlen können die Klammern auf der linken Seite dabei weggelassen werden:
$a*b*c=a*_n(b*_nc)+ln$
Zeige auf ähnliche Weise:
$a*b*c=(a*_nb)*_nc+l'n$ für ein [mm] $l'\in\IZ$.
[/mm]
Da es ein eindeutig bestimmtes [mm] $r''\in\IZ_n$ [/mm] gibt, für das es ein [mm] $k''\in\IZ$ [/mm] gibt mit $a*b*c=r''+k''n$, folgt dann wie gewünscht
$a*_n(b*_nc)=(a*_nb)*_nc$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Rated-R |
> > > Angenommen [mm]r=0[/mm]. Es existiert ja nach Definition von r ein
> > > [mm]k\in\IZ[/mm] mit [mm]z_1*z_2=r+kn[/mm]. Wegen der Annahme [mm]r=0[/mm] gilt somit
> > > [mm]z_1*z_2=kn[/mm], also n teilt [mm]z_1*z_2[/mm]. Da n prim ist, teilt n
> > > somit mindestens eine der Zahlen [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm]. Kann
> > > letzteres sein? Beachte [mm]z_1,z_2\in\IZ_n[/mm] und [mm]z_1,z_2\not=0[/mm].
> > >
> > Diese Formulierung klingt schon wesentlich sinnvoller als
> > meine.
> > Eine Primzahl kann ja nicht aus dem Produkt zweier Ganzer
> > Zahlen ungleich 1 enstehen, und da n > [mm]z_1,z,2[/mm] würde ich
> sagen es
> > geht nicht das r=0 ist?
> Wegen [mm]z_1,z_2
> geteilt werden, wenn [mm]z_1[/mm] bzw. [mm]z_2[/mm] gleich 0 wäre. Wir
> hatten aber [mm]z_1,z_2\in\IZ_n\setminus\{0\}[/mm] zu betrachten.
>
>
> > Sein a,b,c [mm]\IZ_n[/mm] \ {0} so gilt a*(b*c)=a*b*c=b*(c*a) da
> für alle z1,z2 [mm]\in \IZ[/mm] gilt z1*z2=r
> Die Gleichheiten [mm]a*(b*c)=a*b*c=b*(c*a)[/mm] (wobei du mit *
> offenbar [mm]*_n[/mm] meinst) hast du nicht bewiesen, sondern
> einfach behauptet.
>
> Ich finde den Nachweis der Assoziativität gar nicht so
> leicht.
>
> Zu zeigen ist [mm]a*_n(b*_nc)=(a\cot_nb)*_nc[/mm].
>
> Hier gilt es zunächst, die Definitionen der einzelnen
> Produkte zu Rate zu ziehen.
> Seien [mm]k\in\IZ[/mm], [mm]r\in\IZ_n[/mm] mit [mm]b*c=r+kn[/mm]. Seien [mm]k'\in\IZ[/mm],
> [mm]r'\in\IZ_n[/mm] mit [mm]a*(b*_nc)=r'+k'n[/mm] (*).
> Also [mm]r=b*_nc[/mm] und [mm]r'=a*_n(b*_nc)[/mm].
>
> Wegen [mm]b*c=r+kn[/mm] gilt [mm]b*c-kn=r=b*_nc[/mm].
> Eingesetzt in (*) erhalten wir [mm]r'+k'n=a*(b*c-kn)[/mm].
> Also [mm]a*(b*c)=r'+\underbrace{(ak+k')}_{=:l}n[/mm].
>
> Also [mm]a*(b*c)=a*_n(b*_nc)+ln[/mm] für ein [mm]l\in\IZ[/mm].
>
> Wegen der Assoziativität der gewöhnlichen Multiplikation
> ganzer Zahlen können die Klammern auf der linken Seite
> dabei weggelassen werden:
>
> [mm]a*b*c=a*_n(b*_nc)+ln[/mm]
>
> Zeige auf ähnliche Weise:
>
> [mm]a*b*c=(a*_nb)*_nc+l'n[/mm] für ein [mm]l'\in\IZ[/mm].
Seien k [mm] \in [/mm] Z, r [mm] \in Z_n [/mm] mit [mm] a\cdot{}b=r+kn
[/mm]
Seien k' [mm] \in [/mm] Z, r' [mm] \in Z_n [/mm] mit [mm] c(a\cdot{}_nb)=r'+k'n
[/mm]
Wegen [mm] a\cdot{}b=r+kn [/mm] gilt [mm] a\cdot{}b-kn=r [/mm] = [mm] a\cdot{}_nb
[/mm]
r'+k'n = [mm] c(a\cdot{}b [/mm] - kn)
r' +k'n = [mm] c\cdot{}a\cdot{}b-ckn
[/mm]
[mm] c\cdot{}a\cdot{}b= [/mm] r'+(ckn+k'n)
(ck+k')= l'
[mm] c\cdot{}a\cdot{}b=(a\cdot{}_nb)\cdot{}_nc
[/mm]
jetzt gleichsetzen, und es müsste folgen l=l' q.e.d?
>
> Da es ein eindeutig bestimmtes [mm]r''\in\IZ_n[/mm] gibt, für das
> es ein [mm]k''\in\IZ[/mm] gibt mit [mm]a*b*c=r''+k''n[/mm], folgt dann wie
> gewünscht
>
> [mm]a*_n(b*_nc)=(a*_nb)*_nc[/mm].
Das versteh ich nich ganz wies man noch ein r'' und k'' braucht.
Ansonsten wäre das dann geklärt ich muss es nur nochmal aufarbeiten
Vielen Danke für deine/euro große Mühe!
gruß Tom
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Seien k [mm]\in[/mm] Z, r [mm]\in Z_n[/mm] mit [mm]a\cdot{}b=r+kn[/mm]
> Seien k' [mm]\in[/mm] Z, r' [mm]\in Z_n[/mm] mit [mm]c(a\cdot{}_nb)=r'+k'n[/mm]
> Wegen [mm]a\cdot{}b=r+kn[/mm] gilt [mm]a\cdot{}b-kn=r[/mm] = [mm]a\cdot{}_nb[/mm]
>
> r'+k'n = [mm]c(a\cdot{}b[/mm] - kn)
> r' +k'n = [mm]c\cdot{}a\cdot{}b-ckn[/mm]
> [mm]c\cdot{}a\cdot{}b=[/mm] r'+(ckn+k'n)
>
Sei l' definiert durch
> (ck+k')= l'
>
> [mm]c\cdot{}a\cdot{}b=(a\cdot{}_nb)\cdot{}_nc[/mm]
Schön! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt gleichsetzen, und es müsste folgen l=l' q.e.d?
Ja, wegen [mm] $(a*_nb)*_nc,a*_n(b*_nc)\in\IZ_n$ [/mm] und der Eindeutigkeit der Division mit Rest.
Damit folgt letztlich wie gewünscht $(a*_nb)*_nc=a*_n(b*_nc)$.
> > Da es ein eindeutig bestimmtes [mm]r''\in\IZ_n[/mm] gibt, für das
> > es ein [mm]k''\in\IZ[/mm] gibt mit [mm]a*b*c=r''+k''n[/mm], folgt dann wie
> > gewünscht
> >
> > [mm]a*_n(b*_nc)=(a*_nb)*_nc[/mm].
>
> Das versteh ich nich ganz wies man noch ein r'' und k''
> braucht.
Man braucht keine konkreten r'' und k'' für die Argumentation. Man braucht nur die Eindeutigkeitsaussage über r'', nicht die Existenzaussage. Irgendeinen Buchstaben brauchte ich nunmal, um die Eindeutigkeitsaussage zu formulieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> Ich vermute einen Schreibfehler: Die Monoid Struktur liegt
> fuer alle [mm]n[/mm] vor;
Nein. Die zugrundeliegende Menge soll offenbar [mm] $\IZ_n\setminus\{0\}$ [/mm] sein. Damit fehlt ihr im Falle $n=1$ ein neutrales Element und im Falle $n=k*l$ mit [mm] $k,l\in\IN$ [/mm] und [mm] $0\not=k,l
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:42 Fr 16.11.2012 | | Autor: | hippias |
Ja, das habe ich falsch gemacht: Die Abgeschlossenheit fuer nicht primes $n$ ist nicht gegeben. Danke fuer den Hinweis.
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