Beweis einer Integration < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:03 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Ilcoron |
hi
ich hoffe einfach mal das meine überschrift genau genug ist.
vereinbarungen: y-Achse = y
x-Achse = t
linke intervalgrenze: a
wie (hoffentlich) bekannt ist, ist [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt} [/mm] = [mm] F_{a}(b)
[/mm]
und jetzt lautet die behauptung:
[mm] F_{a}'(t) [/mm] = f(t)
und egal in welche richtung ich rechne ich bleibe immer irgendwo stecken bzw ich kann mir keinen reim darauf bilden wie eine achse die grenze eines intervalls sein kann.
ich würde es echt toll finden wenn einer das raus kriegen würde
danke schon mal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Ilcoron!
Was du suchst der sog. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Zur Vereinfachung kannst du erstmal mit $a=0$ rechnen.
Ich habe dir ein kleines Bildchen angehängt. Dort siehst du eine Funktion A(x), welche dir den Flächeninhalt von 0 bis x unterhalb des Graphen angibt. Zudem siehst du dort eine Strecke d und ein eingezeichnetes Rechteck, wobei $d$ die Breite des Rechteckes sein soll.
Versuche doch nun mal, eine Approximation aufzustellen, soll heißen du drückst einen Flächeninhalt aus und sagst, dass ihm ein weiterer sehr ähnlich wird.
[Externes Bild http://www.Hanno-Becker.de/Hauptsatz.jpg]
Wenn du das gemacht hast, schauen wir weiter 
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Do 23.09.2004 | | Autor: | Ilcoron |
ich verstehe nicht ganz genau was ich machen soll.
aber der flächeninhalt von A ist:
[mm] \integral_{0}^{ x_{0}}{f(x) dx} [/mm]
mehr fällt mir dazu leider nicht ein. ich glaube ich brauche einen wink mit dem zaunpfahl.
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für das f(x), was für eine funktion steht, musst du einsetzten und integrieren und zwar im intervall [xo , 0]
alles klar
lg magister
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Do 23.09.2004 | | Autor: | Ilcoron |
ne also mir wird ncihts klar :-(
ich weiß nciht ob ich auf dem schlauch stehe oder so, aber ich sehe nciht wie die behauptung : [mm] F_{a}'(t)=f(t) [/mm] damit bewiesen wird.
in einer anderen schreibweise ausgedrückt:
[mm] \integral_{a}^{t}{f(t) dt}=f(t)
[/mm]
ich verstehe einfach nciht warum t eine intervallgrenze sein kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Do 23.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Also eigenltich war das so gemeint:
Du hast $A(x)$ als Flächeninhaltsfunktion, wie die zu Stande kommt sei uns egal. Dann gilt ja
[mm] $A(x_0+d)\approx A(x_0)+d\cdot f(x_0)$
[/mm]
Links habe ich den genauen Flächeninhalt, rechts einen angenäherten. Verstehst du, was ich meine? Stelle dies nun nach [mm] $f(x_0)$ [/mm] um und schau', was dir auffällt.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Ilcoron |
gut nach f(x) umzustellen ist nciht so schwer
[mm] \bruch{A( x_{0}+d)-A( x_{o})}{d} \approx [/mm] f(x)
ich hoffe das stimmt
danke das du dir die zeit nimmst
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Do 23.09.2004 | | Autor: | Marcel |
> ne also mir wird ncihts klar :-(
> ich weiß nciht ob ich auf dem schlauch stehe oder so, aber
> ich sehe nciht wie die behauptung : [mm]F_{a}'(t)=f(t)[/mm] damit
> bewiesen wird.
> in einer anderen schreibweise ausgedrückt:
>
> [mm]\integral_{a}^{t}{f(t) dt}=f(t)[/mm]
>
> ich verstehe einfach nciht warum t eine intervallgrenze
> sein kann
Also, wenn ich dich jetzt richtig verstehe, dann glaubst du, dass das $t$ die ganze Rechtsachse ist?
Nein, $t$ ist einfach nur ein Punkt auf dieser Rechtsachse. Ersetze halt einfach mal $t$ durch [mm] $t_0$, [/mm] wenn dich diese Bezeichnung stört:
[mm]F_{a}'(t_0)=f(t_0)[/mm], wobei
[mm]F_a(t_0):=\integral_{a}^{t_0}{f(t) dt}[/mm]
(Deine Formel: [mm]\integral_{a}^{t}{f(t) dt}=f(t)[/mm] verwirrt mich irgendwie. Ich glaube, das stimmt so nicht, bin aber halt verwirrt. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Aber wenn das stimmen würde, dann würde nach dem Hauptsatz der Integralrechnung ja gelten (jedenfalls unter gewissen Voraussetzungen, die ich mir hier spare):
[mm]F(t)-F(a)=f(t)[/mm], wenn $F$ eine Stammfunktion zu $f$ wäre. Das glaube ich nicht! 
Außerdem ist es ungeeignet, hier:
[mm]\integral_{a}^{t}{f(t) dt}[/mm]
das $t$ als Intervallgrenze zu nehmen und auch noch als Integrationsvariable!)
Ich kann dir den Link zu unserem Skript setzen, wo dieser Beweis steht (dann guckst du dir aber am besten nur die zugehörige Rechnung an, sonst weiß ich nicht, ob du den Rest verstehst).
Notfalls kann ich ihn dir auch hier nochmal hinschreiben, das finde ich aber albern, weil dann eh die gleiche Rechnung hier steht wie in dem Skript.
Liebe Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich will vielleicht noch einmal einen neuen Anfang machen.
Zu zeigen ist ja:
[mm] $F_a'(t) [/mm] = [mm] \lim\limits_{h \to 0} \frac{F_a(t+h)-F_a(t)}{h} \stackrel{(!)}{=} [/mm] f(t)$.
Es gilt ja:
[mm] $\frac{F_a(t+h) - F_a(t)}{h} [/mm] = [mm] \frac{1}{h} \int\limits_t^{t+h} f(u)\, [/mm] du$.
Warum ist also, das ist die entscheidende Frage:
[mm] $\lim\limits_{h \to 0} \left[ \frac{1}{h} \int\limits_t^{t+h} f(u)\, du \right] [/mm] = f(t)$
(immer vorausgesetzt, dass $f$ stetig ist!).
Um eine anschauliche Argumentation zu finden, nehmen wir mal $h>0$ an.
Dann ist
[mm] $\int\limits_t^{t+h} f(u)\, [/mm] du$
der Flächeninhalt, der von dem Graphen von $f$, der $x$-Achse und den beiden senkrechten Geraden $x=t$ und $x=t+h$ eingeschlossen wird.
Wie kann man diesen Flächeninhalt annähern?
Überlege dir das zunächst einmal anschaulich anhand von Hannos Zeichnung, und anschließend versuchen wir dann eine formale Begründung dafür zu finden, warum
[mm] $\lim\limits_{h \to 0} \left[\frac{1}{h} \int\limits_t^{t+h} f(u)\, du \right] [/mm] = f(t)$
gilt, indem wir die Stetigkeit von $f$ ausnutzen. Allerdings -so fürchte ich- stehen dir dafür die mathematischen Hilfsmittel nicht zur Verfügung. Insofern vermute ich, dass eurem Lehrer/eurer Lehrerin die anschauliche Begründung sogar schon langt.
In jedem Fall wäre es mal schön, wenn du dich wieder melden würdest.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Ilcoron |
danke für deine mühe
ich nehme an:
$ [mm] \frac{F_a(t+h) - F_a(t)}{h} [/mm] = [mm] \frac{1}{h} \int\limits_t^{t+h} f(u)\, [/mm] du $
=
[mm] \frac{F_a(t_{0}+ \Delta t) - F_a(t_{0})}{ \Delta t} [/mm] = [mm] \frac{1}{ \Delta t} \int\limits_{t_{0}}^{ t_{0}+ \Delta t} f(u)\,du [/mm]
und könnte man auch sagen:
[mm] \frac{F_a(t_{0}+ \Delta t) - F_a(t_{0})}{ \Delta t} [/mm] = [mm] \frac{1}{ \Delta t} \int\limits_{t_{0}}^{ t_{0}+ \Delta t} f(t)\,dt
[/mm]
den flächeninhalt würde ich ganz normal mit unter und obersumme berechnen bzw mit der integration
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Ilcoron!
> ich nehme an:
> [mm]\frac{F_a(t+h) - F_a(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_t^{t+h} f(u)\, du[/mm]
>
> =
> [mm]\frac{F_a(t_{0}+ \Delta t) - F_a(t_{0})}{ \Delta t}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{ \Delta t} \int\limits_{t_{0}}^{ t_{0}+ \Delta t} f(u)\,du[/mm]
Also, oben steht $t$, unten [mm] $t_0$. [/mm] Das kann kaum das Gleiche sein. Einigen wir uns jetzt mal auf [mm] $t_0$. [/mm]
> [mm]\frac{F_a(t_{0}+ \Delta t) - F_a(t_{0})}{ \Delta t}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{ \Delta t} \int\limits_{t_{0}}^{ t_{0}+ \Delta t} f(t)\,dt
[/mm]
Wenn man [mm] $t_0$ [/mm] statt $t$ schreibt, dann kann man auch nach $t$ integrieren ja.
So, jetzt aber zurück zum Problem:
Wir wollen ja:
(*) [mm]\lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{F_a(t_{0}+ \Delta t) - F_a(t_{0})}{ \Delta t} = f(t_0)[/mm]
zeigen.
Nun wissen wir anschaulich, dass für kleine [mm] $\Delta [/mm] t$ der Flächeninhalt unter dem Graphen von $f$ zwischen [mm] $t_0$ [/mm] und [mm] $t_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] t$, also [mm] $F_a(t_{0}+ \Delta [/mm] t) - [mm] F_a(t_{0})$, [/mm] näherungsweise gleich dem Flächeninhalt des Rechecks mit den Ecken [mm] $(t_0,0)$, $(t_0+\Delta [/mm] t,0)$, [mm] $(t_0,f(t_0))$, $(t_0+\Delta t,f(t_0))$ [/mm] ist. Dieser Flächeninhalt ist aber einfach gleich:
[mm] $\Delta [/mm] t [mm] \cdot f(t_0)$.
[/mm]
Man kann also sagen (für kleine [mm] $\Delta [/mm] t$):
[mm] $\frac{F_a(t_{0}+ \Delta t) - F_a(t_{0})}{ \Delta t} \approx \frac{\Delta t \cdot f(t_0)}{\Delta t} [/mm] = [mm] f(t_0)$
[/mm]
gilt. Dies wäre die anschauliche Begründung für (*).
Eine exaktere Begründung liefe wie folgt, aber da kennst du eventuell die Sätze nicht.
Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es für alle [mm] $\Delta [/mm] t>0$ ein [mm] $t_{\Delta} \in [t_0,t_0+\Delta [/mm] t]$ mit
[mm] $F_a(t_{0}+ \Delta [/mm] t) - [mm] F_a(t_{0}) [/mm] = [mm] \int\limits_{t_0}^{t_0 + \Delta t} f(t)\, [/mm] dt [mm] \stackrel{!}{=} f(t_{\Delta}) \cdot \Delta(t)$.
[/mm]
(Achtung, für Insider: Hier wird das sogenannte Auswahlaxiom der Mengenlehre benötigt; kann dir aber egal sein. )
Wegen der Stetigkeit von $f$ gilt:
[mm] $\lim\limits_{\Delta t \to 0} f(t_{\Delta}) [/mm] = [mm] f(t_0)$.
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{F_a(t_{0}+ \Delta t) - F_a(t_{0})}{ \Delta t}$
[/mm]
$= [mm] \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{f(t_{\Delta}) \cdot \Delta t}{\Delta t}$
[/mm]
$= [mm] \lim\limits_{\Delta t \to 0} f(t_{\Delta})$
[/mm]
$= [mm] f(t_0)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Ilcoron |
nochmal danke
also ich fasse mal zusammen:
die behauptung lautet:
$ [mm] F_{a}'(t) [/mm] = f(t)$
[mm] F_{a}'(t)= \limes_{ \Delta t\rightarrow\0} \bruch{F_{a}( t_{0}+ \Delta t)-F_{a}( t_{0})}{\Delta t}
[/mm]
[mm] F_{a}( t_{0}+ \Delta t)-F_{a}( t_{0})= F_{t_{0}}(\Delta [/mm] t)
da [mm] \Delta [/mm] t gegen 0 geht, hat das rechteck mit den [mm] eckpunkten:$(t_{0}|0)$; $(t_{0}+\Delta [/mm] t|0)$; [mm] $(t_{0}|f(t_{0}))$; [/mm]
[mm] $(t_{0}+\Delta [/mm] t|f( [mm] t_{0}+\Delta [/mm] t))$
näherungsweise den flächeninhalt
$A= [mm] f(t_{0})*\Delta [/mm] t)$
[mm] F_{t_{0}}(\Delta t)=f(t_{0})*\Delta [/mm] t)
eingestetzt:
[mm] \limes_{ \Delta t\rightarrow\0} \bruch{f(t_{0})*\Delta t}{\Delta t}= f(t_{0})
[/mm]
ich hoffe da sind jetzt keine mathematischen schnitzer drin
könnte man das in der 12. (jahrgangsstufe 1) so erklären (natürlich noch mit ner skize)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich verbessere es mal. Es sind relativ viele Fehler drin.
Du willst es also nur anschaulich beweisen, ohne Mittelwertsatz. Das ist in Ordnung für die Schule.
Die Behauptung lautet:
[mm]F_{a}'(t) = f(t)[/mm]
(anschaulicher) "Beweis"
Es gilt:
[mm]F_{a}'(t)= \limes_{ \Delta t\rightarrow 0} \bruch{F_{a}( t_{0}+ \Delta t)-F_{a}( t_{0})}{\Delta t}[/mm]
Für alle [mm] $\Delta [/mm] t>0$ gilt:
[mm]F_{a}( t_{0}+ \Delta t)-F_{a}( t_{0})= F_{t_{0}}(t_0 + \Delta t)[/mm].
Wenn [mm]\Delta t[/mm] gegen 0 geht, ist [mm] $F_{t_{0}}(t_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] t)$ näherungsweise gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit den Eckpunkten:
[mm](t_{0}|0)[/mm], [mm](t_{0}+\Delta t|0)[/mm], [mm](t_{0}|f(t_{0}))[/mm] und [mm](t_{0}+\Delta t|f( t_{0}))[/mm],
also näherungsweise gleich:
[mm]A= f(t_{0})*\Delta t[/mm].
Daraus folgt für kleine [mm] $\Delta [/mm] t>0$
[mm]\frac{F_{t_{0}}(t_0 + \Delta t)}{\Delta t} \approx f(t_{0})[/mm]
und damit:
[mm] $F'(t_0) [/mm] = [mm] \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{F_{t_{0}}(t_0 + \Delta t)}{\Delta t} [/mm] = [mm] f(t_0)$,
[/mm]
wie behauptet.
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Ilcoron |
vielen dank für eure hilfe und dafür das ihr eure zeit geopfert habt ich hab das verstanden glaube ich
danke schön
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![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
