Beweis einer Mengengleichung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Sei f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung und seien A,B [mm] \subseteq [/mm] X.
Beweisen Sie, dass f(A [mm] \cup [/mm] B) = f(A) [mm] \cup [/mm] f(B) |
Ich habe nun schon versucht, dies zu beweisen, allerdings zweifele ich an der Richtigkeit meiner Notation.
f(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \gdw f(x\in [/mm] A [mm] \cup B)\gdw f(x\in [/mm] A [mm] \vee x\in B)\gdw f(x\in [/mm] A) [mm] \vee [/mm]
[mm] f(x\in [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)
Ich habe zudem allgemein Probleme mit Beweisen solcher Art, die Induktionsbeweise aus der Analysis fallen mir relativ leicht, aber mit den Mengen komme ich nicht so ganz klar, weil ich nicht immer weiß, wie ich auf bestimmte Schritte kommen soll...Mir fehlt da eine Art "System"..
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Mo 22.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Zero_112,
> Ich habe nun schon versucht, dies zu beweisen, allerdings
> zweifele ich an der Richtigkeit meiner Notation.
>
> f(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\gdw f(x\in[/mm] A [mm]\cup B)\gdw f(x\in[/mm] A [mm]\vee x\in B)\gdw f(x\in[/mm]
> A) [mm]\vee[/mm]
> [mm]f(x\in[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] f(A) [mm]\cup[/mm] f(B)
Leider zweifelst du zurecht an deiner Notation... Hier geraten Aussagen und Mengen wild durcheinander.
[mm] "$\gdw$" [/mm] und [mm] "$\vee$" [/mm] können zwischen zwei Aussagen stehen, nicht zwischen Mengen.
Dann schreibst du "[mm]f(x\in[/mm] A [mm]\cup B)[/mm]".
[mm] "$x\in A\cup [/mm] B$" ist eine Aussage (über ein gewisses Objekt x), keine Teilmenge von X. Damit ist "[mm]f(x\in[/mm] A [mm]\cup B)[/mm]" nicht definiert.
Ich spare mir mal, diese Analyse im Einzelnen fortzuführen.
> Ich habe zudem allgemein Probleme mit Beweisen solcher Art,
> die Induktionsbeweise aus der Analysis fallen mir relativ
> leicht, aber mit den Mengen komme ich nicht so ganz klar,
> weil ich nicht immer weiß, wie ich auf bestimmte Schritte
> kommen soll...Mir fehlt da eine Art "System"..
Hüte dich davor, ein UNVERSTANDENES System auswendig lernen zu wollen. Damit wirst du an der Uni nicht weit kommen.
Dennoch möchte ich dir einen "Standardweg" präsentieren, die Gleichheit zweier Mengen zu beweisen.
Bevor es jedoch Sinn macht, sich dem Beweis zu widmen, muss man verstehen, worum es in der Aufgabe geht. Dazu einige Fragen:
Sind f(A) und f(B) Aussagen oder Mengen?
Macht es also überhaupt Sinn, [mm] $f(A)\cup [/mm] f(B)$ zu bilden?
Ist [mm] $f(A)\cup [/mm] f(B)$ eine Aussage oder eine Menge?
Wie ist [mm] $f(A)\cup [/mm] f(B)$ definiert (Definition [mm] $\cup$)?
[/mm]
Wie sind f(A) und f(B) definiert?
Ist [mm] $A\cup [/mm] B$ eine Aussage oder eine Menge?
Handelt es sich dabei um eine Teilmenge von X oder Y?
Macht es also überhaupt Sinn, [mm] $f(A\cup [/mm] B)$ zu bilden?
Wie ist [mm] $A\cup [/mm] B$ definiert?
Wie ist [mm] $f(A\cup [/mm] B)$ definiert?
Handelt es sich dabei um eine Aussage oder eine Menge?
Nach diesen Vorüberlegungen zum versprochenen "Standardweg" zum Nachweis der Gleichheit zweier Mengen:
Hattet ihr schon, dass zwei Mengen M und N genau dann übereinstimmen, wenn [mm] $M\subseteq [/mm] N$ und [mm] $N\subseteq [/mm] M$ gelten?
Zeige also erst
1. [mm] $f(A\cup B)\subseteq f(A)\cup [/mm] f(B)$
und dann
2. [mm] $f(A)\cup f(B)\subseteq f(A\cup [/mm] B)$.
Standardvorgehen zum Nachweis einer Teilmengenbeziehung der Form [mm] $M\subseteq [/mm] N$:
"Sei [mm] $m\in [/mm] M$. Zu zeigen ist [mm] $m\in [/mm] N$.
[mm] $m\in [/mm] M$ bedeutet...
... (irgendwelche Argumentation)
Also gilt tatsächlich [mm] $m\in [/mm] N$."
Viel Erfolg!
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 Di 23.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Hallo Zero_112,
>
>
> > Ich habe nun schon versucht, dies zu beweisen, allerdings
> > zweifele ich an der Richtigkeit meiner Notation.
> >
> > f(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\gdw f(x\in[/mm] A [mm]\cup B)\gdw f(x\in[/mm] A [mm]\vee x\in B)\gdw f(x\in[/mm]
> > A) [mm]\vee[/mm]
> > [mm]f(x\in[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] f(A) [mm]\cup[/mm] f(B)
> Leider zweifelst du zurecht an deiner Notation... Hier
> geraten Aussagen und Mengen wild durcheinander.
>
> "[mm]\gdw[/mm]" und "[mm]\vee[/mm]" können zwischen zwei Aussagen stehen,
> nicht zwischen Mengen.
>
> Dann schreibst du "[mm]f(x\in[/mm] A [mm]\cup B)[/mm]".
> "[mm]x\in A\cup B[/mm]" ist
> eine Aussage (über ein gewisses Objekt x), keine Teilmenge
> von X. Damit ist "[mm]f(x\in[/mm] A [mm]\cup B)[/mm]" nicht definiert.
>
> Ich spare mir mal, diese Analyse im Einzelnen
> fortzuführen.
>
>
> > Ich habe zudem allgemein Probleme mit Beweisen solcher Art,
> > die Induktionsbeweise aus der Analysis fallen mir relativ
> > leicht, aber mit den Mengen komme ich nicht so ganz klar,
> > weil ich nicht immer weiß, wie ich auf bestimmte Schritte
> > kommen soll...Mir fehlt da eine Art "System"..
> Hüte dich davor, ein UNVERSTANDENES System auswendig
> lernen zu wollen. Damit wirst du an der Uni nicht weit
> kommen.
>
> Dennoch möchte ich dir einen "Standardweg" präsentieren,
> die Gleichheit zweier Mengen zu beweisen.
>
>
> Bevor es jedoch Sinn macht, sich dem Beweis zu widmen, muss
> man verstehen, worum es in der Aufgabe geht. Dazu einige
> Fragen:
>
> Sind f(A) und f(B) Aussagen oder Mengen?
> Macht es also überhaupt Sinn, [mm]f(A)\cup f(B)[/mm] zu bilden?
> Ist [mm]f(A)\cup f(B)[/mm] eine Aussage oder eine Menge?
> Wie ist [mm]f(A)\cup f(B)[/mm] definiert (Definition [mm]\cup[/mm])?
> Wie sind f(A) und f(B) definiert?
>
> Ist [mm]A\cup B[/mm] eine Aussage oder eine Menge?
> Handelt es sich dabei um eine Teilmenge von X oder Y?
> Macht es also überhaupt Sinn, [mm]f(A\cup B)[/mm] zu bilden?
> Wie ist [mm]A\cup B[/mm] definiert?
> Wie ist [mm]f(A\cup B)[/mm] definiert?
> Handelt es sich dabei um eine Aussage oder eine Menge?
>
>
> Nach diesen Vorüberlegungen zum versprochenen
> "Standardweg" zum Nachweis der Gleichheit zweier Mengen:
>
> Hattet ihr schon, dass zwei Mengen M und N genau dann
> übereinstimmen, wenn [mm]M\subseteq N[/mm] und [mm]N\subseteq M[/mm]
> gelten?
>
> Zeige also erst
>
> 1. [mm]f(A\cup B)\subseteq f(A)\cup f(B)[/mm]
>
> und dann
>
> 2. [mm]f(A)\cup f(B)\subseteq f(A\cup B)[/mm].
>
>
> Standardvorgehen zum Nachweis einer Teilmengenbeziehung der
> Form [mm]M\subseteq N[/mm]:
>
> "Sei [mm]m\in M[/mm]. Zu zeigen ist [mm]m\in N[/mm].
> [mm]m\in M[/mm] bedeutet...
> ... (irgendwelche Argumentation)
> Also gilt tatsächlich [mm]m\in N[/mm]."
sehr gute Antwort - ich kenne aber noch ein Standardproblem:
Man muss den Leuten klarmachen, dass, wenn $f: X [mm] \to [/mm] Y$ mit
$A [mm] \subseteq [/mm] X$ ist, und man [mm] $f(A):=\{f(a): a \in A\}=\bigcup_{a \in A}\{f(A)\}$ [/mm] hat, dass dann, schreibe ich es extra mal "ungewohnt":
$t [mm] \in [/mm] f(A)$ genau dann gilt, wenn es ein $s [mm] \in [/mm] A$ gibt mit [mm] $f(s)=t\,.$
[/mm]
Erstsemestlern die richtige Interpretation solcher Mengen beizubringen
ist echt so ein bisschen eine Kunst.
Ähnlich wie:
$$z [mm] \in \{2^n: n \in \IN\}$$
[/mm]
gilt genau dann, wenn man [mm] $z=2^n$ [/mm] mit einem $n [mm] \in \IN$ [/mm] schreiben kann,
oder anders gesagt: Wenn es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] so gibt, dass man [mm] $z=2^n$
[/mm]
schreiben kann.
Einen "Königsweg" dafür habe ich leider noch nicht gefunden - der bisher
beste war: Möglichst oft den Leuten sowas vorsetzen und immer wieder
und wieder sowas machen.
Dabei lernen die relativ früh: Ist [mm] $O\,$ [/mm] eine Menge und $X [mm] \subseteq [/mm] O$
eine Menge, wo man für $x [mm] \in [/mm] X$ testen kann, ob eine Eigenschaft
[mm] $E(x)\,$ [/mm] gilt (man schreibt dann [mm] $E(x)\,,$ [/mm] falls sie gilt, sonst [mm] $\neg [/mm] E(x)$),
so ist
[mm] $$T:=\{x \in X: E(x) \}$$
[/mm]
die Menge (Teilmenge von $X [mm] \subseteq [/mm] O$) genau aller $x [mm] \in X\,,$ [/mm] für die [mm] $E(x)\,$ [/mm] gilt.
D.h. für ein $x [mm] \in [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] O$ weiß man:
$x [mm] \in [/mm] T$ gilt, wenn [mm] $E(x)\,,$ [/mm] und [mm] $x\notin [/mm] T$ gilt, wenn [mm] $\neg E(x)\,.$
[/mm]
Aber irgendwie klingt das den meisten dann zu abstrakt, obwohl sie
es eigentlich dauernd verwenden!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Di 23.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
danke für deine interessanten Anmerkungen!
> sehr gute Antwort - ich kenne aber noch ein
> Standardproblem:
> Man muss den Leuten klarmachen, dass, wenn [mm]f: X \to Y[/mm] mit
> [mm]A \subseteq X[/mm] ist, und man [mm]f(A):=\{f(a): a \in A\}=\bigcup_{a \in A}\{f(A)\}[/mm]
> hat, dass dann, schreibe ich es extra mal "ungewohnt":
> [mm]t \in f(A)[/mm] genau dann gilt, wenn es ein [mm]s \in A[/mm] gibt mit
> [mm]f(s)=t\,.[/mm]
Dieses Problem habe ich in der Tat glatt übersehen. Ich war davon ausgegangen, dass die Definition schon
[mm] $f(A):=\{y\in Y\;|\;\exists x\in A\colon f(x)=y\}$
[/mm]
lauten würde.
(Habe gerade mal kurz nachgeschlagen: Bosch und Fischer wählen in ihren "Lineare Algebra"-Büchern "meine" Darstellung, aber das heißt ja noch lange nicht, dass jeder Dozent es so macht.)
> Dabei lernen die relativ früh: Ist [mm]O\,[/mm] eine Menge und [mm]X \subseteq O[/mm]
>
> eine Menge, wo man für [mm]x \in X[/mm] testen kann, ob eine
> Eigenschaft
> [mm]E(x)\,[/mm] gilt (man schreibt dann [mm]E(x)\,,[/mm] falls sie gilt,
> sonst [mm]\neg E(x)[/mm]),
> so ist
> [mm]T:=\{x \in X: E(x) \}[/mm]
> die Menge (Teilmenge von [mm]X \subseteq O[/mm])
> genau aller [mm]x \in X\,,[/mm] für die [mm]E(x)\,[/mm] gilt.
> D.h. für ein [mm]x \in X \subseteq O[/mm] weiß man:
> [mm]x \in T[/mm] gilt, wenn [mm]E(x)\,,[/mm] und [mm]x\notin T[/mm] gilt, wenn [mm]\neg E(x)\,.[/mm]
(Das O ist überflüssig und man könnte gleich von einer Menge X statt von einer Teilmenge [mm] $X\subseteq [/mm] O$ sprechen, oder?)
> Aber irgendwie klingt das den meisten dann zu abstrakt,
> obwohl sie
> es eigentlich dauernd verwenden!
Interessanterweise vermeiden Bosch und Fischer gleich eine solche explizite Erklärung und gehen davon aus, dass dem Leser schon intuitiv klar ist, was gemeint ist.
Das oben beschriebene Problem mit [mm] $\{f(a)\;|\;a\in A\}$ [/mm] bzw. [mm] $\{2^n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] geht aber noch über die Bedeutung von Mengen der Form [mm] $\{x\in X\;|\;E(x)\}$ [/mm] hinaus.
Mir will übrigens gar keine befriedigende Erklärung gelingen, die auch Fälle wie [mm] $\{(x,y)\;|\;x\in X, y\in Y\}$ [/mm] oder [mm] $\{(x,y)\;|\;x\in\IR,y=x^2\}$ [/mm] umfasst. Möglicherweise ist es die beste Lösung, solche Mengendarstellungen an Beispielen einzuführen und zu erklären?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Di 23.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Hallo Marcel,
>
>
> danke für deine interessanten Anmerkungen!
>
>
> > sehr gute Antwort - ich kenne aber noch ein
> > Standardproblem:
> > Man muss den Leuten klarmachen, dass, wenn [mm]f: X \to Y[/mm]
> mit
> > [mm]A \subseteq X[/mm] ist, und man [mm]f(A):=\{f(a): a \in A\}=\bigcup_{a \in A}\{f(A)\}[/mm]
> > hat, dass dann, schreibe ich es extra mal "ungewohnt":
> > [mm]t \in f(A)[/mm] genau dann gilt, wenn es ein [mm]s \in A[/mm] gibt mit
> > [mm]f(s)=t\,.[/mm]
> Dieses Problem habe ich in der Tat glatt übersehen. Ich
> war davon ausgegangen, dass die Definition schon
>
> [mm]f(A):=\{y\in Y\;|\;\exists x\in A\colon f(x)=y\}[/mm]
>
> lauten würde.
>
> (Habe gerade mal kurz nachgeschlagen: Bosch und Fischer
> wählen in ihren "Lineare Algebra"-Büchern "meine"
> Darstellung, aber das heißt ja noch lange nicht, dass
> jeder Dozent es so macht.)
>
>
> > Dabei lernen die relativ früh: Ist [mm]O\,[/mm] eine Menge und [mm]X \subseteq O[/mm]
>
> >
> > eine Menge, wo man für [mm]x \in X[/mm] testen kann, ob eine
> > Eigenschaft
> > [mm]E(x)\,[/mm] gilt (man schreibt dann [mm]E(x)\,,[/mm] falls sie gilt,
> > sonst [mm]\neg E(x)[/mm]),
> > so ist
> > [mm]T:=\{x \in X: E(x) \}[/mm]
> > die Menge (Teilmenge von [mm]X \subseteq O[/mm])
> > genau aller [mm]x \in X\,,[/mm] für die [mm]E(x)\,[/mm] gilt.
> > D.h. für ein [mm]x \in X \subseteq O[/mm] weiß man:
> > [mm]x \in T[/mm] gilt, wenn [mm]E(x)\,,[/mm] und [mm]x\notin T[/mm] gilt, wenn
> [mm]\neg E(x)\,.[/mm]
> (Das O ist überflüssig und man könnte
> gleich von einer Menge X statt von einer Teilmenge
> [mm]X\subseteq O[/mm] sprechen, oder?)
irgendwie schon - da war ich gestern auch irgendwie verquert am Denken.
Die Idee war halt, dass man nicht notwendig für alle Elemente aus [mm] $O\,$
[/mm]
testen können muss, ob die Eigenschaft [mm] $E\,$ [/mm] gilt, sondern nur für eine
gewisse Auswahl. Was ich mich aber selbst wieder frage:Wie findet man
eine solche Teilmenge oder gibt sie an? Normalerweise, indem es eine
Eigenschaft [mm] $\tilde{E}$ [/mm] so gibt, dass ...
Aber egal: Du weißt ja, was ich meinte. 
P.S.
Jetzt les' ich mal den Rest!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Di 23.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Hallo Marcel,
>
>
> danke für deine interessanten Anmerkungen!
>
>
> > sehr gute Antwort - ich kenne aber noch ein
> > Standardproblem:
> > Man muss den Leuten klarmachen, dass, wenn [mm]f: X \to Y[/mm]
> mit
> > [mm]A \subseteq X[/mm] ist, und man [mm]f(A):=\{f(a): a \in A\}=\bigcup_{a \in A}\{f(A)\}[/mm]
> > hat, dass dann, schreibe ich es extra mal "ungewohnt":
> > [mm]t \in f(A)[/mm] genau dann gilt, wenn es ein [mm]s \in A[/mm] gibt mit
> > [mm]f(s)=t\,.[/mm]
> Dieses Problem habe ich in der Tat glatt übersehen. Ich
> war davon ausgegangen, dass die Definition schon
>
> [mm]f(A):=\{y\in Y\;|\;\exists x\in A\colon f(x)=y\}[/mm]
>
> lauten würde.
>
> (Habe gerade mal kurz nachgeschlagen: Bosch und Fischer
> wählen in ihren "Lineare Algebra"-Büchern "meine"
> Darstellung, aber das heißt ja noch lange nicht, dass
> jeder Dozent es so macht.)
>
>
> > Dabei lernen die relativ früh: Ist [mm]O\,[/mm] eine Menge und [mm]X \subseteq O[/mm]
>
> >
> > eine Menge, wo man für [mm]x \in X[/mm] testen kann, ob eine
> > Eigenschaft
> > [mm]E(x)\,[/mm] gilt (man schreibt dann [mm]E(x)\,,[/mm] falls sie gilt,
> > sonst [mm]\neg E(x)[/mm]),
> > so ist
> > [mm]T:=\{x \in X: E(x) \}[/mm]
> > die Menge (Teilmenge von [mm]X \subseteq O[/mm])
> > genau aller [mm]x \in X\,,[/mm] für die [mm]E(x)\,[/mm] gilt.
> > D.h. für ein [mm]x \in X \subseteq O[/mm] weiß man:
> > [mm]x \in T[/mm] gilt, wenn [mm]E(x)\,,[/mm] und [mm]x\notin T[/mm] gilt, wenn
> [mm]\neg E(x)\,.[/mm]
> (Das O ist überflüssig und man könnte
> gleich von einer Menge X statt von einer Teilmenge
> [mm]X\subseteq O[/mm] sprechen, oder?)
>
> > Aber irgendwie klingt das den meisten dann zu abstrakt,
> > obwohl sie
> > es eigentlich dauernd verwenden!
> Interessanterweise vermeiden Bosch und Fischer gleich eine
> solche explizite Erklärung und gehen davon aus, dass dem
> Leser schon intuitiv klar ist, was gemeint ist.
>
>
> Das oben beschriebene Problem mit [mm]\{f(a)\;|\;a\in A\}[/mm] bzw.
> [mm]\{2^n\;|\;n\in\IN\}[/mm] geht aber noch über die Bedeutung von
> Mengen der Form [mm]\{x\in X\;|\;E(x)\}[/mm] hinaus.
>
> Mir will übrigens gar keine befriedigende Erklärung
> gelingen, die auch Fälle wie [mm]\{(x,y)\;|\;x\in X, y\in Y\}[/mm]
> oder [mm]\{(x,y)\;|\;x\in\IR,y=x^2\}[/mm] umfasst.
ich hatte sowas angedeutet:
[mm] $$\{x \in X: E(x)\}=\bigcup_{x \in X \text{ mit }E(x)}\{x\}$$
[/mm]
sieht eigentlich ganz gut aus, man muss dann nur wieder das
Vereinigungszeichen rechterhand erklären. Naja, meist dreht man
sich im Kreise. Ich bin übrigens tatsächlich der Meinung, dass
gerade Informatiker mit meiner letzten Darstellung vielleicht sogar
sehr gut klarkommen würden, wenn man Ihnen erklärt, wie das
"algorithmisch" zu verstehen ist: Allerdings muss man dann wieder
dazusagen, dass der "Vereinigungs-Algorithmus" nicht terminiert (im
Sinne, dass "er irgendwann abbricht, weil alles, was getan werden
musste, erledigt ist - im Sinne der Informatik meine ich das!"),
ja, dass man die Elemente noch nicht mal durchzählen können muss.
> Möglicherweise
> ist es die beste Lösung, solche Mengendarstellungen an
> Beispielen einzuführen und zu erklären?
Meine Erfahrung ist wirklich die, dass die meisten Leute dies am
ehesten begreifen. Oder man macht es wirklich nochmal explizit:
[mm] $$\{x \in X: E(x)\}=\{z \in X: \exists x \in X \text{ mit }z=x \text{ und }E(x)\}\,.$$
[/mm]
Aber prinzipiell herrscht hier das Problem, dass Leute, die mit der
Mengendarstellung linkerhand Probleme haben, eben die gleichen
mit der rechterhand haben. Durch "Schema-Wiederholung" ist's aber
tatsächlich so, dass man das den Leuten beibringen kann, und die
sich dann sogar selbst irgendwann fragen, warum oder was ihnen
früher da eigentlich nicht dran klar...
Achte mal drauf: Das ist echt ein interessantes Thema in der
Mengenlehre. Und kaum ein Dozent hat das bemerkt oder spricht das
mal an - meist, weil das Leute sind, denen (mittlerweile) eh die Bedeutung
der Mengen klar ist.
P.S.
Sehr stark fällt mir das immer wieder auf, wenn Leute beweisen sollen,
dass etwas ein Vektorraum/Unterraum etc. pp. ist. Und da habe ich
leider auch die Vermutung, dass das aus der Schule kommt:
Man schreibt dort etwa eine Ebene [mm] $E\,$ [/mm] als
[mm] $$E:\;\;\;ax_1+bx_2+cx_3=d\,,$$
[/mm]
mit [mm] $a,b,c,d\,$ [/mm] feste reelle Zahlen.
Warum macht man's nicht direkt in der Mengennotation richtig? An der Uni
steht dann da
[mm] $$E=\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: \;\;ax_1+bx_2+cx_3=d\}\,,$$
[/mm]
mit [mm] $a,b,c,d\,$ [/mm] feste reelle Zahlen.
Wenn Du drauf achtest, wirst Du (manchmal sogar auf Übungszetteln)
sowas sehen, dass plötzlich jemand schreibt
[mm] $$E=\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: \;\;ax_1+bx_2+cx_3=d,\;\;a,b,c,d \text{ feste reelle Zahlen}\}\,,$$
[/mm]
Zum einen macht das Wort "feste" in der Mengenklammer so gar keinen
Sinn, zum anderen, wenn man es wegläßt, steht da gar nicht mehr die
Ebene [mm] $E\,.$ [/mm]
Und warum erklärt man den Schülern nicht, dass ein Schnitt zweier Ebenen
des [mm] $\IR^3$ [/mm] halt nur bedeutet, dass man zwei Mengen schneidet, und
dass dann diese Schnittmenge, wenn die Ebenen windschief sind, eine Gerade des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist?
Nein, stattdessen malt man irgendwelche Punkte im Raum und erzählt
dann, warum es geometrisch/anschaulich klar ist, dass die Ortsvektoren
"im Ebenenschnitt" gleich sein müssen, und der eine eben die eine
Darstellung hat, weil er "auf der einen" Ebene liegt und der andere
eben die andere, weil er "auf der anderen" liegt. (Das klingt nun
aber auch nur nach notwendigen Bedingungen für Elemente der
Schnittmenge, warum die auch hinreichend sind, dazu sagt man
meist nix: "Ist ja klar!" Ja, schreibt es den Schülern EINMAL hin, und
(fast) JEDEM/JEDER wird es (so gut wie) IMMER klar sein! Aber das
eine Mal darf man das! Aber so gar nichts dazu zu sagen, also noch
nicht mal ein "das ist ja klar" - das finde ich ein Unding!)
Genauso wird da an anderen Stellen argumentiert, wo man alles kurz und
prägnant eigentlich den Schülern klarmachen könnte, warum oder dass
zwei Mengen [mm] $A,B\,$ [/mm] halt gleich sind, weil $A [mm] \subseteq [/mm] B$ und auch
$B [mm] \subseteq [/mm] A$ gilt. Da werden die Sätze dann einfach so hingeworfen
und es wird schon richtig gemacht, aber diese einfache kleine
Vorbemerkung, was man da macht und warum eigentlich, fehlt oft. Wie
macht sich das bemerkbar? Na ganz einfach: Die Schüler "bemerken"
irgendwann einfach nicht mehr den Unterschied zwischen notwendiger
und hinreichender Bedingung - zumal oft auch einfach eine
Mengengleichheit behauptet wird und dann nur eine der beiden
Teilmengenbeziehungen nachgerechnet wird. Dass die andere auch gilt
und dass das vll. auch trivial ist, mag' sein, wenn es aber gar keine
Erwähnung findet, warum man etwas nicht macht, dann entstehen eben
solche Probleme wie oben:
Dann sagt jemand: "Jede durch 4 teilbare Zahl ist gerade..." und ein
Schüler "wehrt" sich:"Aber 2 ist doch gerade und nicht durch 4 teilbar..."
Ich hatte lange Nachhilfe gegeben, und Schüler, die eigentlich nicht schlecht
in Mathe waren - genial waren sie vielleicht auch nicht, aber sie hätten
locker anstatt ner 4 ne gute 2 haben können - hatten eben genau da
Probleme. Und alleine dadurch, dass ich ihnen nur die Struktur da mal
klar gemacht habe, sind sie auch meist 1 bis 2 Notenstufen besser
geworden. Ich finde so manches, was man in der Schule praktiziert,
deswegen auch nicht selten nochmal überarbeitungswürdig - oder sagen
wir mal wenigstens das, was ich noch vor ca. 4, 5 Jahren teilweise
gesehen hatte. Vielleicht hat es sich ja mittlerweile doch gebessert
(allerdings zweifle ich ein wenig dran, weil ich mich ja auch noch an meine
eigene Schulzeit erinnern kann... ).
P.S.
Ich weiß: Eigentlich erwähne ich hier nur Grundlagen, aber sie falsch oder
"fast gar nicht" zu lehren, damit erfährt man halt das, was ich erzählt habe.
Oder es war wirklich Zufall, dass genau so viele meiner
Nachhilfeschüler/innen eben genau mit sowas Probleme hatten.
Aber nochmal: Achte mal drauf, was hier meistens gefragt wird, wenn jmd.
zeigen soll, dass "etwas" ein Vektorraum/Untervektorraum ist, und "es"
etwa in obiger Notation notiert wurde - bzw. wo da die Missverständnisse
entstehen: Die einen "wissen mit dem, was da steht, schon gar nichts
anzufangen", die anderen "raten ein wenig rum" (und treffen manchmal
auch ins Schwarze - aber meist versteht man deren raten schon nicht)...
P.P.S.
Lies' Dir mal hier nur die Aufgabenstellung durch, wie da die Ebene
geschrieben wird...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Di 23.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Das oben beschriebene Problem mit [mm]\{f(a)\;|\;a\in A\}[/mm] bzw.
> > [mm]\{2^n\;|\;n\in\IN\}[/mm] geht aber noch über die Bedeutung von
> > Mengen der Form [mm]\{x\in X\;|\;E(x)\}[/mm] hinaus.
> >
> > Mir will übrigens gar keine befriedigende Erklärung
> > gelingen, die auch Fälle wie [mm]\{(x,y)\;|\;x\in X, y\in Y\}[/mm]
> > oder [mm]\{(x,y)\;|\;x\in\IR,y=x^2\}[/mm] umfasst.
>
> ich hatte sowas angedeutet:
> [mm]\{x \in X: E(x)\}=\bigcup_{x \in X \text{ mit }E(x)}\{x\}[/mm]
Das ist nicht das Problem, das ich meinte.
Ich will "Ausdrücke" der Form [mm] $\{x\in X:E(x)\}$, [/mm] wie z.B. [mm] $\{n\in\IN:n\text{ gerade}\}$, [/mm] kurzzeitig mal "Ausdrücke vom Typ 1" nennen.
Die Ausdrücke
[mm] $\{2^n:n\in\IN\}$,
[/mm]
[mm] $\{f(a)\;|\;a\in A\}$,
[/mm]
[mm] $\{(x,y)\;|\;x\in X, y\in Y\}$ [/mm] und
[mm] $\{(x,y)\;|\;x\in\IR,y=x^2\}$
[/mm]
sind hingegen nicht vom Typ 1 (ich will sie mal "vom Typ 2" nennen.)
Die Bedeutung von Ausdrücken vom Typ 1 (also welche Menge sie bezeichnen) hast du aus meiner Sicht in befriedigender Weise definiert.
Eine solche Definition suchte ich auch für die Bedeutung der Ausdrücke vom Typ 2.
> > Möglicherweise
> > ist es die beste Lösung, solche Mengendarstellungen an
> > Beispielen einzuführen und zu erklären?
>
> Meine Erfahrung ist wirklich die, dass die meisten Leute
> dies am
> ehesten begreifen. Oder man macht es wirklich nochmal
> explizit:
> [mm]\{x \in X: E(x)\}=\{z \in X: \exists x \in X \text{ mit }z=x \text{ und }E(x)\}\,.[/mm]
Das würde ich eher "sinnlos umständlich" als "explizit" nennen...
Warum sollte man bei Ausdrücken vom Typ 1 plötzlich mit Existenzquantoren anfangen? (Bei Ausdrücken vom Typ 2 wird man dagegen Existenzquantoren benötigen.)
> Und da habe ich
> leider auch die Vermutung, dass das aus der Schule kommt:
> Man schreibt dort etwa eine Ebene [mm]E\,[/mm] als
> [mm]E:\;\;\;ax_1+bx_2+cx_3=d\,,[/mm]
> mit [mm]a,b,c,d\,[/mm] feste reelle Zahlen.
>
> Warum macht man's nicht direkt in der Mengennotation
> richtig? An der Uni
> steht dann da
> [mm]E=\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: \;\;ax_1+bx_2+cx_3=d\}\,,[/mm]
>
> mit [mm]a,b,c,d\,[/mm] feste reelle Zahlen.
Ich halte wenig davon, Mengen der recht komplexen Form [mm] $\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: \;\;ax_1+bx_2+cx_3=d\}$ [/mm] zu betrachten, wenn man nicht mit dem Mengenbegriff, [mm] $M^n$ [/mm] für Mengen M und [mm] $n\in\IN$ [/mm] sowie einfacheren Mengen wie z.B. [mm] $\{n\in\IN:n\text{ gerade}\}$ [/mm] vertraut ist.
Sonst lernt der Schüler ohne Sinn und Verstand auswendig, dass Ebenen durch die nicht ganz naheliegenden Zeichenreihen der Form [mm] $\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: \;\;ax_1+bx_2+cx_3=d\}$ [/mm] dargestellt werden.
Genau aus diesem Grunde finde ich es albern, wenn ohne Hintergrund in naiver Mengenlehre plötzlich Lösungsmengen von Gleichungen in Mengendarstellung aufgeschrieben werden sollen.
> (Das klingt nun
> aber auch nur nach notwendigen Bedingungen für Elemente
> der
> Schnittmenge, warum die auch hinreichend sind, dazu sagt
> man
> meist nix: "Ist ja klar!" Ja, schreibt es den Schülern
> EINMAL hin, und
> (fast) JEDEM/JEDER wird es (so gut wie) IMMER klar sein!
> Aber das
> eine Mal darf man das! Aber so gar nichts dazu zu sagen,
> also noch
> nicht mal ein "das ist ja klar" - das finde ich ein
> Unding!)
>
> Genauso wird da an anderen Stellen argumentiert, wo man
> alles kurz und
> prägnant eigentlich den Schülern klarmachen könnte,
> warum oder dass
> zwei Mengen [mm]A,B\,[/mm] halt gleich sind, weil [mm]A \subseteq B[/mm] und
> auch
> [mm]B \subseteq A[/mm] gilt. Da werden die Sätze dann einfach so
> hingeworfen
> und es wird schon richtig gemacht, aber diese einfache
> kleine
> Vorbemerkung, was man da macht und warum eigentlich, fehlt
> oft. Wie
> macht sich das bemerkbar? Na ganz einfach: Die Schüler
> "bemerken"
> irgendwann einfach nicht mehr den Unterschied zwischen
> notwendiger
> und hinreichender Bedingung - zumal oft auch einfach eine
> Mengengleichheit behauptet wird und dann nur eine der
> beiden
> Teilmengenbeziehungen nachgerechnet wird. Dass die andere
> auch gilt
> und dass das vll. auch trivial ist, mag' sein, wenn es
> aber gar keine
> Erwähnung findet, warum man etwas nicht macht, dann
> entstehen eben
> solche Probleme wie oben:
> Dann sagt jemand: "Jede durch 4 teilbare Zahl ist
> gerade..." und ein
> Schüler "wehrt" sich:"Aber 2 ist doch gerade und nicht
> durch 4 teilbar..."
Das von zwei zu zeigenden Richtungen in der Praxis häufig nur eine betrachtet wird, halte ich auch für ein großes Problem.
Beispiel Gleichungssysteme: Häufig wird mit Ausgangsgleichungen wild herumhantiert und geschlussfolgert. Ein Nachweis, dass die erhaltenen Lösungen tatsächlich die Ausgangsgleichungen lösen, bleibt meist auf der Strecke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Di 23.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> > > Das oben beschriebene Problem mit [mm]\{f(a)\;|\;a\in A\}[/mm] bzw.
> > > [mm]\{2^n\;|\;n\in\IN\}[/mm] geht aber noch über die Bedeutung von
> > > Mengen der Form [mm]\{x\in X\;|\;E(x)\}[/mm] hinaus.
> > >
> > > Mir will übrigens gar keine befriedigende Erklärung
> > > gelingen, die auch Fälle wie [mm]\{(x,y)\;|\;x\in X, y\in Y\}[/mm]
> > > oder [mm]\{(x,y)\;|\;x\in\IR,y=x^2\}[/mm] umfasst.
> >
> > ich hatte sowas angedeutet:
> > [mm]\{x \in X: E(x)\}=\bigcup_{x \in X \text{ mit }E(x)}\{x\}[/mm]
>
> Das ist nicht das Problem, das ich meinte.
>
> Ich will "Ausdrücke" der Form [mm]\{x\in X:E(x)\}[/mm], wie z.B.
> [mm]\{n\in\IN:n\text{ gerade}\}[/mm], kurzzeitig mal "Ausdrücke vom
> Typ 1" nennen.
> Die Ausdrücke
> [mm]\{2^n:n\in\IN\}[/mm],
> [mm]\{f(a)\;|\;a\in A\}[/mm],
> [mm]\{(x,y)\;|\;x\in X, y\in Y\}[/mm]
> und
> [mm]\{(x,y)\;|\;x\in\IR,y=x^2\}[/mm]
> sind hingegen nicht vom Typ 1 (ich will sie mal "vom Typ
> 2" nennen.)
>
> Die Bedeutung von Ausdrücken vom Typ 1 (also welche Menge
> sie bezeichnen) hast du aus meiner Sicht in befriedigender
> Weise definiert.
> Eine solche Definition suchte ich auch für die Bedeutung
> der Ausdrücke vom Typ 2.
[mm] $$\{(x,y) \in \IR^2: x \in \IR, y=x^2\}$$
[/mm]
ist doch nichts anderes als
[mm] $$\{(x,y) \in \IR^2: x \in \IR \text{ und }y=x^2\}$$
[/mm]
[mm] $$=\{(x,x^2) \in \IR^2: x \in \IR\}$$
[/mm]
Ich sehe da nicht immer ein Problem, selbst die vorletzte Menge ist doch
schon indirekt eine Darstellung vom Typ 1, die letzte Gleichheit zeigt dies
deutlich.
Auch bei [mm] $f(A)\,$ [/mm] geht das doch:
[mm] $$f(A)=\bigcup_{a \in A}\{f(a)\}\,.$$
[/mm]
Mir ist gerade nicht klar, was "die Typen" hier genau sind - also woran man
eine Typ1-Menge erkennt und woran man eine Typ2-Menge erkennt!
> > > Möglicherweise
> > > ist es die beste Lösung, solche Mengendarstellungen an
> > > Beispielen einzuführen und zu erklären?
> >
> > Meine Erfahrung ist wirklich die, dass die meisten Leute
> > dies am
> > ehesten begreifen. Oder man macht es wirklich nochmal
> > explizit:
> > [mm]\{x \in X: E(x)\}=\{z \in X: \exists x \in X \text{ mit }z=x \text{ und }E(x)\}\,.[/mm]
>
> Das würde ich eher "sinnlos umständlich" als "explizit"
> nennen...
Jein - es macht den "Vereinigungscharakter" der Menge klarer! Denn da
steht dann ein "es existiert ein..." drin. Das meinte ich - denn in
[mm] $\{x \in X: E(x)\}\,$ [/mm] sehe ich da nicht mal direkt - gut, ich schon, aber
halt nicht jede(r), der/die wenig mit Mengen zu tun hat(te) - dass da
"Elemente in einer Menge vereinigt sind" - es sei denn, ich weiß das eh
schon richtig zu lesen und deuten!
> Warum sollte man bei Ausdrücken vom Typ 1 plötzlich mit
> Existenzquantoren anfangen?
Siehe oben!
> (Bei Ausdrücken vom Typ 2 wird
> man dagegen Existenzquantoren benötigen.)
Wie gesagt, da verstehe ich das Problem nicht ganz... weil ich diese
Typunterscheidung nicht ganz kapiere. Kannst Du da irgendwie mehr
die Typen definieren?
>
> > Und da habe ich
> > leider auch die Vermutung, dass das aus der Schule kommt:
> > Man schreibt dort etwa eine Ebene [mm]E\,[/mm] als
> > [mm]E:\;\;\;ax_1+bx_2+cx_3=d\,,[/mm]
> > mit [mm]a,b,c,d\,[/mm] feste reelle Zahlen.
> >
> > Warum macht man's nicht direkt in der Mengennotation
> > richtig? An der Uni
> > steht dann da
> > [mm]E=\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: \;\;ax_1+bx_2+cx_3=d\}\,,[/mm]
>
> >
> > mit [mm]a,b,c,d\,[/mm] feste reelle Zahlen.
> Ich halte wenig davon, Mengen der recht komplexen Form
> [mm]\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: \;\;ax_1+bx_2+cx_3=d\}[/mm] zu
> betrachten, wenn man nicht mit dem Mengenbegriff, [mm]M^n[/mm] für
> Mengen M und [mm]n\in\IN[/mm] sowie einfacheren Mengen wie z.B.
> [mm]\{n\in\IN:n\text{ gerade}\}[/mm] vertraut ist.
Na, ich will jetzt auch nicht nach [mm] $X^Y=\{f:Y \to X\}$ [/mm] und kartesischen
Produkten ausschweifen. Das meinte ich gar nicht. Eine Ebene ist eine
"Punktsammlung" von Punkten des [mm] $\IR^3$ [/mm] - grob gesagt. Das kann sich
jeder Schüler vorstellen!
> Sonst lernt der Schüler ohne Sinn und Verstand auswendig,
> dass Ebenen durch die nicht ganz naheliegenden
> Zeichenreihen der Form [mm]\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: \;\;ax_1+bx_2+cx_3=d\}[/mm]
> dargestellt werden.
Die Punkte der Ebene - also ein Element einer Ebene - werden doch
genauso charakterisiert. Aber was lernt denn der Schüler durch
[mm] $$E:\;\;\;\;ax_1+bx_2+cx_3=d\,,$$
[/mm]
wenn man das sieht?
"Eine Ebene, das ist eine Gleichung der Form..."
Da muss man dann schon intervenieren: "Stop: Die Gleichung ist eine
Gleichung, die was mit der Ebene macht?"
"Naja, so ein Punkt..."
"Welcher?"
"Wenn man einen Punkt des [mm] $\IR^3$ [/mm] hat, dann kann man mit der
Gleichung testen, ob der drauf liegt oder nicht!"
"Warum?"
Jetzt kommen irgendwelche geometrischen Argumente. Das will ich auch
nicht schlechtreden, auch das ist wichtig und gut. Aber was ich dann
hören wollen würde ist, dass die Gleichung eben die Punkte des [mm] $\IR^3\,,$
[/mm]
die zu der Ebene gehören, charakterisieren. (Eine geometrische
Begründung, warum, wäre erst der nächste Schritt!).
Da gibt's das nächste Problem:
Welcher Lehrer erklärt denn mal genau, was es eigentlich
heißt, dass eine Menge durch eine Eigenschaft charakterisiert sei?
Ich hab's hier eigentlich ja schon mal geschrieben, was das heißt, und
ganz ehrlich: Im Studium musste ich mir das selbst klarmachen, weil es
niemand für nötig gehalten hat, das mal zu erzählen.
> Genau aus diesem Grunde finde ich es albern, wenn ohne
> Hintergrund in naiver Mengenlehre plötzlich Lösungsmengen
> von Gleichungen in Mengendarstellung aufgeschrieben werden
> sollen.
Was man aber auch schon früher macht, wenn es heißt:
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung [mm] $x^4+2x^2+1=0\,$...
[/mm]
Oder wenn man Lösungsmengen von Ungleichungen bestimmen soll,
oder ...
Oder wenn man die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems,
und etwa mit zwei Gleichungen in zwei Variablen, in Abhängigkeit der
Parameter angeben soll. Ob es albern ist, oder nicht: Man sollte erstmal
wissen, was man da tut und auf welchem Konzept das eigentlich beruht,
bevor man etwas tut. Die Physiker lernen - soweit ich mal in Skripte
so mancher Uni reingeguckt habe - das ganze irgendwann parallel. Das
fände ich in der Schule auch gut: Denn die vereinfachten Darstellungen
sind ja auch handlich, dagegen habe ich gar nichts. Über deren
BEDEUTUNG muss man sich aber klar sein!
> > (Das klingt nun
> > aber auch nur nach notwendigen Bedingungen für Elemente
> > der
> > Schnittmenge, warum die auch hinreichend sind, dazu
> sagt
> > man
> > meist nix: "Ist ja klar!" Ja, schreibt es den Schülern
> > EINMAL hin, und
> > (fast) JEDEM/JEDER wird es (so gut wie) IMMER klar
> sein!
> > Aber das
> > eine Mal darf man das! Aber so gar nichts dazu zu sagen,
> > also noch
> > nicht mal ein "das ist ja klar" - das finde ich ein
> > Unding!)
> >
> > Genauso wird da an anderen Stellen argumentiert, wo man
> > alles kurz und
> > prägnant eigentlich den Schülern klarmachen könnte,
> > warum oder dass
> > zwei Mengen [mm]A,B\,[/mm] halt gleich sind, weil [mm]A \subseteq B[/mm]
> und
> > auch
> > [mm]B \subseteq A[/mm] gilt. Da werden die Sätze dann einfach so
> > hingeworfen
> > und es wird schon richtig gemacht, aber diese einfache
> > kleine
> > Vorbemerkung, was man da macht und warum eigentlich, fehlt
> > oft. Wie
> > macht sich das bemerkbar? Na ganz einfach: Die Schüler
> > "bemerken"
> > irgendwann einfach nicht mehr den Unterschied zwischen
> > notwendiger
> > und hinreichender Bedingung - zumal oft auch einfach
> eine
> > Mengengleichheit behauptet wird und dann nur eine der
> > beiden
> > Teilmengenbeziehungen nachgerechnet wird. Dass die andere
> > auch gilt
> > und dass das vll. auch trivial ist, mag' sein, wenn es
> > aber gar keine
> > Erwähnung findet, warum man etwas nicht macht, dann
> > entstehen eben
> > solche Probleme wie oben:
> > Dann sagt jemand: "Jede durch 4 teilbare Zahl ist
> > gerade..." und ein
> > Schüler "wehrt" sich:"Aber 2 ist doch gerade und nicht
> > durch 4 teilbar..."
> Das von zwei zu zeigenden Richtungen in der Praxis häufig
> nur eine betrachtet wird, halte ich auch für ein großes
> Problem.
>
> Beispiel Gleichungssysteme: Häufig wird mit
> Ausgangsgleichungen wild herumhantiert und
> geschlussfolgert. Ein Nachweis, dass die erhaltenen
> Lösungen tatsächlich die Ausgangsgleichungen lösen,
> bleibt meist auf der Strecke.
Ja, das ist ein typisches Problem. Denn an der Uni wunderte ich mich etwa,
was denn nun an dem Gaußalgorithmus etwa so besonders sein sollte -
da gibt's doch eigentlich keine großen Unterschiede zu dem, wie wir das
in der Schule gelernt hatten.
Aber bei genauem Hinsehen: Durch das ständige "Mitnehmen" von
Gleichungen hat man immer äquivalente Gleichungssysteme, die haben
also (weil beide Folgerungsrichtungen stets möglich sind) immer die
gleichen Lösungsmengen. In der Schule reduziert man meist einfach immer
nur das GLS und am Ende sucht man nach alten Gleichungen, die man
noch braucht. Ein Gleichungssystem in 3 Variablen "ist in diesem Sinne halt
schon was anderes wie ein GLS in 2 Variablen" - und damit man da nichts
verliert, sucht man in der Schule wieder rum, wo man denn das Verlorene
eigentlich wiederfindet.
(Und mal "schnell auf die Schnauze" kann man in der Schule fallen, sobald
man es mal mit nichtlinearen Gleichungen zu tun hat - auch, wenn die
dann meist sicher auch nur aus zwei Variablen bestehen...)
Aber das meintest Du im Prinzip auch - denn durch dieses teilweise
"chaotisch wirkende" Vorgehen (wenngleich es auch schematisch ist,
keine Frage) sollte und wird eigentlich jmd., der sich bewußt ist, was wir da
"wirklich" machen, auch immer dran denken: "Ich muss aber noch in eine
andere Richtung etwas prüfen..."
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Di 23.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\{(x,y) \in \IR^2: x \in \IR, y=x^2\}[/mm]
> ist doch nichts
> anderes als
> [mm]\{(x,y) \in \IR^2: x \in \IR \text{ und }y=x^2\}[/mm]
>
> [mm]=\{(x,x^2) \in \IR^2: x \in \IR\}[/mm]
> Ich sehe da nicht immer
> ein Problem, selbst die vorletzte Menge ist doch
> schon indirekt eine Darstellung vom Typ 1, die letzte
> Gleichheit zeigt dies
> deutlich.
Mit den Begriffen "Typ 1" und "Typ 2" versuche ich nicht Mengen, sondern Darstellungen von Mengen zu beschreiben. Die gleiche Menge kann also durchaus auf eine Weise in Gestalt von Typ 1 und auf andere Weise in Gestalt von Typ 2 dargestellt werden. Es ist also für die Typ-Zuordnung völlig irrelevant, ob sich die gleiche Menge irgendwie anders schreiben lässt.
Die Darstellung [mm] $\{(x,x^2) \in \IR^2: x \in \IR\}$ [/mm] würde ich dem Typ 2 zuordnen (genauer gesagt durch das [mm] $\in\IR^2$ [/mm] einer Variante vom Typ 2).
> Mir ist gerade nicht
> klar, was "die Typen" hier genau sind - also woran man
> eine Typ1-Menge erkennt und woran man eine Typ2-Menge
> erkennt!
Eine Typ1-Darstellung hat die Gestalt
[mm] $\{x\in X:E\}$
[/mm]
für ein "Variablenzeichen" x, eine Menge X und eine "Aussage" E, die die Variable x enthalten kann.
Eine Typ2-Darstellung hat die Gestalt
[mm] $\{t(x_1,\ldots,x_n):E\}$
[/mm]
für ein [mm] $n\in\IN$, [/mm] "Variablenzeichen" [mm] $x_1,\ldots,x_n$, [/mm] eine Aussage E, die die Variablen [mm] $x_1,...,x_n$ [/mm] enthalten kann, sowie einen "Ausdruck" t, der für jede Wahl von Objekten, die E genügen, ein Objekt liefert.
Man sollte also Typ 1 und Typ 2 anhand des Ausdrucks vor dem Doppelpunkt erkennen können. Steht da eine einfache Variable zusammen mit der Angabe [mm] $\in [/mm] X$ für eine Menge X (->Typ 1) oder steht da ein Ausdruck in irgendwelchen Variablen (->Typ 2).
> "Eine Ebene, das ist eine Gleichung der Form..."
> Da muss man dann schon intervenieren: "Stop: Die Gleichung
> ist eine
> Gleichung, die was mit der Ebene macht?"
> "Naja, so ein Punkt..."
> "Welcher?"
> "Wenn man einen Punkt des [mm]\IR^3[/mm] hat, dann kann man mit der
> Gleichung testen, ob der drauf liegt oder nicht!"
> "Warum?"
> Jetzt kommen irgendwelche geometrischen Argumente. Das
> will ich auch
> nicht schlechtreden, auch das ist wichtig und gut. Aber was
> ich dann
> hören wollen würde ist, dass die Gleichung eben die
> Punkte des [mm]\IR^3\,,[/mm]
> die zu der Ebene gehören, charakterisieren. (Eine
> geometrische
> Begründung, warum, wäre erst der nächste Schritt!).
Ich finde diesen fiktiven Schüler schon ganz schön stark! Ich glaube die meisten Schüler könnten nicht einmal ansatzweise etwas dazu sagen, was eine Ebenengleichung mit der anschaulichen Ebene zu tun hat.
Danke für den interessanten Austausch und einen schönen Abend noch! 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> > "Eine Ebene, das ist eine Gleichung der Form..."
> > Da muss man dann schon intervenieren: "Stop: Die
> Gleichung
> > ist eine
> > Gleichung, die was mit der Ebene macht?"
> > "Naja, so ein Punkt..."
> > "Welcher?"
> > "Wenn man einen Punkt des [mm]\IR^3[/mm] hat, dann kann man mit
> der
> > Gleichung testen, ob der drauf liegt oder nicht!"
> > "Warum?"
> > Jetzt kommen irgendwelche geometrischen Argumente. Das
> > will ich auch
> > nicht schlechtreden, auch das ist wichtig und gut. Aber was
> > ich dann
> > hören wollen würde ist, dass die Gleichung eben die
> > Punkte des [mm]\IR^3\,,[/mm]
> > die zu der Ebene gehören, charakterisieren. (Eine
> > geometrische
> > Begründung, warum, wäre erst der nächste Schritt!).
> Ich finde diesen fiktiven Schüler schon ganz schön stark!
> Ich glaube die meisten Schüler könnten nicht einmal
> ansatzweise etwas dazu sagen, was eine Ebenengleichung mit
> der anschaulichen Ebene zu tun hat.
ja, der hatte bei mir Mathe-Leistungskurs gehabt. (Nein, ich bin
kein Lehrer, und der Schüler ist wirklich fiktiv. Nichtsdestotrotz sind
das genau die Punkte, die ich mir schon zu Schulzeiten klarmachen
musste, weil mein Schulbuch dahingehend wirklich schlampig war,
obwohl es insgesamt schon nicht schlecht war).
Mit geht's hier auch gar nicht um die Art der Ebenenbeschreibung,
man lernt auch in der Schule, aus dieser Darstellung einen
Normalenvektor der Ebene direkt abzulesen.
Mir geht's einfach nur darum, dass die Schüler wissen:
[mm] $$E=\{(x,y,z) \in \IR^3:\;\;\text{ da gilt irgendwas }\}$$
[/mm]
und nicht
$$E [mm] \text{ ist eine Gleichung der Art }....$$
[/mm]
Ob da nun eine Parameterdarstellung der Ebene, eine Hessesche
Normalform oder was auch immer beschrieben wird, ist zweitrangig.
Die Schüler sollen lernen, dass da eine "Menge" steht - und ich finde
es nicht so schlimm, sowas deutlicher zu machen oder in den Lehrplan
aufzunehmen.Schließlich was auch jeder, was eine Tasche ist, und dass
man sie befüllen kann und beschreiben kann, was in der Tasche so
alles drin ist. Da sagt man ja auch nicht:
"Die Tasche ist nur Cola-Flaschen...", wenn man sagen will, dass sich
in der Tasche nur Cola-Flaschen befinden...
Natürlich ist's kein Problem, wenn man die Cola-Flaschen irgendwie
eindeutig beschreibt und dann so den anderen den Inhalt der Tasche
klarzumachen, aber man sollte es halt auch immer noch klar ausdrücken
können.
> Danke für den interessanten Austausch und einen schönen
> Abend noch!
P.S.
Zu meiner Schulzeit mußte eigentlich jeder Schüler wenigstens aus
der (wie gesagt: meiner Meinung nach unschönen) Darstellung
ablesen können
Bei
[mm] $$E:\;\;\;ax+by+cz=d$$
[/mm]
steht
[mm] $$\vektor{a\\b\\c}$$
[/mm]
senkrecht auf die Ebene und für [mm] $d=0\,$ [/mm] geht sie durch den Ursprung,
andernfalls "liegt sie vom Nullpunkt verschoben im Raum" etc. pp.
Mich wundert's gerade echt, dass Du meinst, dass Schüler mit sowas
anschaulich nichts mehr anfangen könnten. Diese ganzen Darstellungen
(Parameterform, Hessesche Normalform, obige Darstellung) kann man
ja auch relativ leicht ineinander überführen und anschaulich ist das
elementarste anschauliche Geometrie. Wenn sowas heute nicht mehr
gelehrt werden würde, fänd' ich das ja noch kritischer???
Witzig ist übrigens dann wieder, was man alles in der Schule noch
"versteckt" macht: Zum Beispiel - natürlich bei Geraden und Ebenen
im Raum etwa - behandelt man ja, wenn auch spezielle, affine Räume.
Und indirekt rechnet man manchmal sogar mit Quotientenräumen, was
ja eigentlich etwas ist, wo die meisten an der Uni verzweifeln, weil es
irgendwie "eine Abstraktion des bereits Abstrakten" ist...
Ich würde mich da wirklich mal fragen: Vielleicht macht man von sowas
eher mal weniger, und das andere dafür ausführlicher. Dann sind nämlich
die wichtigsten Grundlagen besser gefestigt. Aber das ist nur meine
Ansicht!
Dir übrigens auch 'nen schönen Abend - hoffe, ich hab' nicht zu sehr
genervt!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Mi 24.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Zu meiner Schulzeit mußte eigentlich jeder Schüler
> wenigstens aus
> der (wie gesagt: meiner Meinung nach unschönen)
> Darstellung
> ablesen können
> Bei
> [mm]E:\;\;\;ax+by+cz=d[/mm]
> steht
> [mm]\vektor{a\\b\\c}[/mm]
> senkrecht auf die Ebene und für [mm]d=0\,[/mm] geht sie durch den
> Ursprung,
> andernfalls "liegt sie vom Nullpunkt verschoben im Raum"
> etc. pp.
>
> Mich wundert's gerade echt, dass Du meinst, dass Schüler
> mit sowas
> anschaulich nichts mehr anfangen könnten. Diese ganzen
> Darstellungen
> (Parameterform, Hessesche Normalform, obige Darstellung)
> kann man
> ja auch relativ leicht ineinander überführen und
> anschaulich ist das
> elementarste anschauliche Geometrie. Wenn sowas heute
> nicht mehr
> gelehrt werden würde, fänd' ich das ja noch
> kritischer???
All das wollte ich nicht gesagt haben; sorry, falls ich mich missverständlich ausgedrückt habe.
Nur bleibt in der Flut der Rechenverfahren bei vielen Schülern nicht hängen, was eine Ebenengleichung eigentlich bedeutet. Die Schüler wissen dann nur, dass eine Ebenengleichung einer anschaulichen Ebene entspricht, aber nicht, dass die Gleichung genau von den Punkten erfüllt wird, die auf der Ebene liegen.
> Dir übrigens auch 'nen schönen Abend - hoffe, ich hab'
> nicht zu sehr
> genervt!
Was, genervt? Keineswegs!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Di 23.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f: X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung und seien A,B [mm]\subseteq[/mm] X.
> Beweisen Sie, dass f(A [mm]\cup[/mm] B) = f(A) [mm]\cup[/mm] f(B)
> Ich habe nun schon versucht, dies zu beweisen, allerdings
> zweifele ich an der Richtigkeit meiner Notation.
wie Tobi schon erklärt hat: Leider zu Recht. Du könntest zwar sowas
schreiben:
$$f(A [mm] \cup B)=\{f(x): \;\;x \in A \cup B\}=\{f(x): \;\;x \in A \text{ oder }x \in B\}$$
[/mm]
etc. pp., aber davon rate ich ab - vor allem, weil Du in manchen Sachen
einfach wirklich Notationsprobleme hast.
(Außerdem muss man sich bei jeder notierten Mengengleichheit [mm] $A=B\,$
[/mm]
klarmachen, ob sowohl $A [mm] \subseteq [/mm] B$ (d.h. [mm] $\forall a\in [/mm] A$ gilt auch $a [mm] \in [/mm] B$) als auch
$B [mm] \subseteq [/mm] A$ (d.h. [mm] $\forall b\in [/mm] B$ gilt auch $b [mm] \in [/mm] A$)
gilt - und ich denke, Du würdest das nicht machen, sondern das eher
"gefühlsmäßig" mal so hinschreiben, wie Du es für richtig empfindest! Aber
dieses "schnelle Runterschreiben" darfst Du irgendwann später mal, wenn
Du GENÜGEND geübt darin bist!)
Aber hier mal ein kleines Schema beispielhaft:
Was haben wir zu zeigen?
Eigentlich zwei Teilmengenbeziehungen: Welche?
Ich zeige nun mal, wie man $f(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$ zeigt:
Wenn wir irgendein $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B)$
hernehmen (aus "Gewohnheitsgründen", weil man [mm] $y=f(x)\,$ [/mm] zu schreiben
gewohnt ist, heißt das Element [mm] $y\,$) [/mm] - dann ist zu zeigen, dass alleine durch diese
Kenntnis schon erkannt werden kann, dass $y [mm] \in f(A)\,$ [/mm] oder aber $y [mm] \in [/mm] f(B)$ liegt. (Wegen "der Beliebigkeit" des $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B)$ folgt dann
nämlich schon für alle $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup B)\,,$ [/mm] dass $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup f(B)\,.$
[/mm]
Denn nehmen wir ein anderes [mm] $y'\,$ [/mm] aus $f(A [mm] \cup [/mm] B)$ her, so können wir
ja die selbe Argumentationskette auf $y'$ anwenden...)
Nehmen wir also ein $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B)$ her. Nach Definition von $f(A [mm] \cup [/mm] B)$ gibt es dann ein $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ mit [mm] $y=f(x)\,.$ [/mm]
Wegen $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ gilt $x [mm] \in [/mm] A$ oder (Warnung:i.a. falsch(!) wäre entweder oder!) $x [mm] \in B\,.$
[/mm]
1. Fall: Falls $x [mm] \in [/mm] A$ mit [mm] $y=f(x)\,$ [/mm] ist, dann folgt nach Definition von
[mm] $f(A)\,$ [/mm] aber $y [mm] \in f(A)\,,$ [/mm] und wegen $f(A) [mm] \subseteq \red{f(A)} \cup [/mm] f(B)$ (das rote [mm] $f(A)\,$ [/mm] hatte ich vergessen abzutippen)
folgt schließlich $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup f(B)\,.$ [/mm] (Beim 2. Fall war's dergleiche
Fehler - resultierend aus C&P!)
(Wobei Tobi hier in einer PM an mich angemerkt hat, dass es auch
sinnvoller sein kann, die Beziehung $f(A) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$ nicht zu
verwenden: Denn wenn $y [mm] \in f(A)\,,$ [/mm] dann gilt insbesondere, dass
$y [mm] \in [/mm] f(A)$ oder $f(B)$ und damit direkt $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$ - nur: genau
so beweist man auch die benutzte Teilmengenbeziehung!
P.S.: Allgemein: Für alle Mengen $X,Y$ gilt $X [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \cup [/mm] Y$ (und
natürlich damit auch $Y [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \cup [/mm] Y$).)
oder
2. Fall: Falls $x [mm] \in [/mm] B$ mit [mm] $y=f(x)\,$ [/mm] ist, dann folgt nach Definition von
[mm] $f(B)\,$ [/mm] aber $y [mm] \in f(B)\,,$ [/mm] und wegen $f(B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$ folgt $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup f(B)\,.$
[/mm]
In allen möglichen Fällen (die werden auch nur durch ein "oder" getrennt,
nicht durch ein entweder oder!)) folgt aus $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B)$ also $y [mm] \in [/mm] (f(A) [mm] \cup f(B))\,.$
[/mm]
So, jetzt kannst Du Dich ja mal genau so an der anderen
Teilmengenbeziehung versuchen!
@ Tobi: Danke, da hatte ich mich wirklich zu so später Stunde
verschrieben!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
