Beweis einer Mittelsenkrechten < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Do 13.12.2007 | | Autor: | peter_88 |
| Aufgabe | Gegeben Sind zwei Punkte A und B mit den Ortsvektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}. [/mm] Beweisen Sie:
a) In der Ebene ist [mm] 2(\vec{a}-\vec{b})*\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a}²-\vec{b}² [/mm] eine Gleichung der Mittelsenkrechten der Strecke AB.
b) Im Raum ist [mm] 2(\vec{a}-\vec{b})*\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a}²-\vec{b}² [/mm] eine Gleichung der zu AB orthogonalen Eben durch den Mittelpunkt von AB. |
Hallo!
und zwar handelt es sich um die Aufgabe S.167 Nr. 27.
Ich weiss wie man den Stützvektor und den Richtungsvektor bestimmt, wenn ich diese zusammenfasse kommt allerdings nicht das gewünschte Ergebnis raus. Wenn jemand diese Aufgabe schonmal gemacht hat oder eine Idee bekommt, könnte er diese ja posten! Würde mir sehr helfen!
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo peter_88 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegeben Sind zwei Punkte A und B mit den Ortsvektoren
> [mm]\vec{a}, \vec{b}.[/mm] Beweisen Sie:
> a) In der Ebene ist [mm]2(\vec{a}-\vec{b})*\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vec{a}²-\vec{b}²[/mm] eine Gleichung der Mittelsenkrechten der
> Strecke AB.
> b) Im Raum ist [mm]2(\vec{a}-\vec{b})*\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vec{a}²-\vec{b}²[/mm] eine Gleichung der zu AB orthogonalen
> Eben durch den Mittelpunkt von AB.
> Hallo!
>
> und zwar handelt es sich um die Aufgabe S.167 Nr. 27.
Wenn du uns nicht verrätst, welche Ausgabe dieses Buchs du benutzt, hilft uns diese Angabe wenig.
ad a)
zeige, dass die angegebene Gleichung tatsächlich eine Geradengleichung ist,
zeige, dass sie die Gerade durch A und B in der Mitte zwischen A und B schneidet,
zeige, dass die Geraden orthogonal sind.
Hast du konkrete Punkte oder soll das allgemein für bel. Punkte gezeigt werden?
Gruß informix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Do 13.12.2007 | | Autor: | weduwe |
mit M als mittelpunkt der strecke AB und einem punkt X auf der mittelsenkrechten hast du:
(1) [mm] \vec{x}=\overrightarrow{OX}=\vec{a}+\overrightarrow{AX}
[/mm]
weiters
[mm] \overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AX}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MX}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MX}
[/mm]
einsetzen in (1) und mit 2 multplizieren ergibt:
(2) [mm] 2\vec{x}=\vec{a}+\vec{b}+\overrightarrow{MX}
[/mm]
jetzt multiplizierst du die gleichung (2) skalar mit [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und berücksichtigst, dass gilt
[mm] \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{MX}
[/mm]
und schon bist du am ziel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Do 13.12.2007 | | Autor: | peter_88 |
erstma vielen danke soweit!
allerdings hab ich jetzt noch das problem, dass [mm] \overrightarrow{MX} [/mm] immer noch in der gesuchten gleichung steht! da steht also die gleichung + [mm] \overrightarrow{AB}!? [/mm] wie kann ich da weiter verfahren?!
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Do 13.12.2007 | | Autor: | weduwe |
> erstma vielen danke soweit!
>
> allerdings hab ich jetzt noch das problem, dass
> [mm]\overrightarrow{MX}[/mm] immer noch in der gesuchten gleichung
> steht! da steht also die gleichung + [mm]\overrightarrow{AB}!?[/mm]
> wie kann ich da weiter verfahren?!
>
> danke!
das scheint nicht dein einziges problem zu sein.
da steht doch
[mm] \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{XM} [/mm]
was heißt denn das für das skalarprodukt???
das ist ein produkt keine summe!
wenn du machst was ich oben hingemalt habe, bleibt
[mm] 2\vec{x}\cdot\overrightarrow{AB}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot\overrightarrow{AB}+0
[/mm]
jetzt sollte es aber klappen
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