Beweis einer Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Mo 27.07.2009 | | Autor: | Horst23 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Für alle x,y [mm] \in\IR [/mm] gilt:
[mm] \bruch{\left | x+y \right |}{1+\left | x+y \right |} \le \bruch {\left | x \right |}{1+\left | x \right |} [/mm] + [mm] \bruch{\left | y \right |}{1+\left | y \right |} [/mm] |
Mein Beweis sieht wie folgt aus:
[mm] \bruch{\left | x+y \right |}{1+\left | x+y \right |} [/mm]
[mm] \le \bruch{\left | x \right |}{1+\left | x+y \right |}+\bruch{\left | y \right |}{1+\left | x+y \right |} [/mm]
[mm] \le \bruch{\left | x \right |}{1+\left | x \right |}+\bruch{\left | y \right |}{1+\left | x+y \right |}
[/mm]
[mm] \le \bruch {\left | x \right |}{1+\left | x \right |}+\bruch{\left | y \right |}{1+\left | y \right |}
[/mm]
Q.e.d
Ich bitte um Korrektur. Danke schonmal im Vorraus.
Gruß Horst23
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Di 28.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie: Für alle x,y [mm]\in\IR[/mm] gilt:
>
> [mm]\bruch{\left | x+y \right |}{1+\left | x+y \right |} \le \bruch {\left | x \right |}{1+\left | x \right |}[/mm]
> + [mm]\bruch{\left | y \right |}{1+\left | y \right |}[/mm]
> Mein
> Beweis sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\bruch{\left | x+y \right |}{1+\left | x+y \right |}[/mm]
>
> [mm]\le \bruch{\left | x \right |}{1+\left | x+y \right |}+\bruch{\left | y \right |}{1+\left | x+y \right |}[/mm]
>
> [mm]\le \bruch{\left | x \right |}{1+\left | x \right |}+\bruch{\left | y \right |}{1+\left | x+y \right |}[/mm]
>
> [mm]\le \bruch {\left | x \right |}{1+\left | x \right |}+\bruch{\left | y \right |}{1+\left | y \right |}[/mm]
>
> Q.e.d
>
> Ich bitte um Korrektur. Danke schonmal im Vorraus.
> Gruß Horst23
>
Hallo,
die Ungleichungskette ist doch nicht ganz korrekt.
EDIT: siehe Post von FRED.
Ansonsten ist die Frage, inwieweit du deine Schritte begründen musst.
Der Anfang ginge dann so:
(1) Es gilt [mm] |x+y|\le [/mm] |x|+|y| (wegen .... Ungleichung)
(2) Es gilt |x+y|+1>0
(1),(2)-->(3) [mm]\bruch{\left | x+y \right |}{1+\left | x+y \right |}[/mm] [mm]\le \bruch{\left | x \right |}{1+\left | x+y \right |}+\bruch{\left | y \right |}{1+\left | x+y \right |}[/mm]
...
Gruß Abakus
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Zeigen Sie: Für alle x,y [mm]\in\IR[/mm] gilt:
>
> [mm]\bruch{\left | x+y \right |}{1+\left | x+y \right |} \le \bruch {\left | x \right |}{1+\left | x \right |}[/mm]
> + [mm]\bruch{\left | y \right |}{1+\left | y \right |}[/mm]
> Mein
> Beweis sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\bruch{\left | x+y \right |}{1+\left | x+y \right |}[/mm]
>
> [mm]\le \bruch{\left | x \right |}{1+\left | x+y \right |}+\bruch{\left | y \right |}{1+\left | x+y \right |}[/mm]
>
> [mm]\le \bruch{\left | x \right |}{1+\left | x \right |}+\bruch{\left | y \right |}{1+\left | x+y \right |}[/mm]
>
> [mm]\le \bruch {\left | x \right |}{1+\left | x \right |}+\bruch{\left | y \right |}{1+\left | y \right |}[/mm]
>
> Q.e.d
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> Ich bitte um Korrektur. Danke schonmal im Vorraus.
> Gruß Horst23
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:46 Di 28.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Die von Dir verwendete Ungleichung
$ [mm] \bruch{\left | x \right |}{1+\left | x+y \right |}+\bruch{\left | y \right |}{1+\left | x+y \right |} \le \bruch{\left | x \right |}{1+\left | x \right |}+\bruch{\left | y \right |}{1+\left | x+y \right |} [/mm] $
ist für $x=-y [mm] \not=0$ [/mm] falsch !!
@Loddar: Horst23 hat keinen Doppelpost fabriziert (es sind zwar ähnliche, aber dennoch unterschiedliche Fragen)
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Di 28.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie: Für alle x,y [mm]\in\IR[/mm] gilt:
>
> [mm]\bruch{\left | x+y \right |}{1+\left | x+y \right |} \le \bruch {\left | x \right |}{1+\left | x \right |}[/mm]
> + [mm]\bruch{\left | y \right |}{1+\left | y \right |}[/mm]
Hallo,
vermutlich wird es etwas einfacher, wenn du
[mm] \bruch{\left | x+y \right |}{1+\left | x+y \right |} =1-\bruch{1}{1+\left | x+y \right |} [/mm] verwendest.
(Andere Terme analog.)
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Di 28.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei $f(t) := [mm] \bruch{t}{1+t}$ [/mm] für t [mm] \ge [/mm] 0
Überzeuge Dich davon, dass f monoton wachsend ist (Ableitung !)
Dann:
$f(|x+y|) [mm] \le [/mm] f(|x|+|y|)$
Also
[mm] $\bruch{|x+y|}{1+|x+y|}\le \bruch{|x|+|y|}{1+|x|+|y|} [/mm] = [mm] \bruch{|x|}{1+|x|+|y|}+\bruch{|y|}{1+|x|+|y|} \le \bruch{|x|}{1+|x|}+\bruch{|y|}{1+|y|}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Di 28.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Sei [mm]f(t) := \bruch{t}{1+t}[/mm] für t [mm]\ge[/mm] 0
>
> Überzeuge Dich davon, dass f monoton wachsend ist
> (Ableitung !)
da manchmal Monotonieverhalten von Funktionen noch nicht mit Ableitungen untersucht werden dürfen (d.h. falls dieses "Handwerkszeug" noch nicht zur Verfügung steht), würde ich hier auch einfach empfehlen, das Monotonieverhalten sofort (elementar) nachzurechnen:
Es gilt für $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y$ (unter Beachtung von $1+x [mm] \ge [/mm] 1 > 0$ und $1+y [mm] \ge [/mm] 1 > 0$), dass
$$f(x) [mm] \le [/mm] f(y) [mm] \;\;\Longleftrightarrow\;\; \frac{x}{1+x} \le \frac{y}{1+y} \;\;\Longleftrightarrow\;\; [/mm] x+xy [mm] \le [/mm] y+yx [mm] \;\;\Longleftrightarrow\;\; [/mm] x [mm] \le y\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Di 28.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Sei [mm]f(t) := \bruch{t}{1+t}[/mm] für t [mm]\ge[/mm] 0
> >
> > Überzeuge Dich davon, dass f monoton wachsend ist
> > (Ableitung !)
>
> da manchmal Monotonieverhalten von Funktionen noch nicht
> mit Ableitungen untersucht werden dürfen (d.h. falls
> dieses "Handwerkszeug" noch nicht zur Verfügung steht),
> würde ich hier auch einfach empfehlen, das
> Monotonieverhalten sofort (elementar) nachzurechnen:
> Es gilt für [mm]0 \le x \le y[/mm] (unter Beachtung von [mm]1+x \ge 1 > 0[/mm]
> und [mm]1+y \ge 1 > 0[/mm]), dass
> [mm]f(x) \le f(y) \;\;\Longleftrightarrow\;\; \frac{x}{1+x} \le \frac{y}{1+y} \;\;\Longleftrightarrow\;\; x+xy \le y+yx \;\;\Longleftrightarrow\;\; x \le y\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
Ja, Du hast recht, so ist es ganz elementar und darüberhinaus hat sich dann auch diese Frage ganz schnell erledigt.
Gruß FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 28.07.2009 | | Autor: | Horst23 |
> Sei [mm]f(t) := \bruch{t}{1+t}[/mm] für t [mm]\ge[/mm] 0
>
> Überzeuge Dich davon, dass f monoton wachsend ist
> (Ableitung !)
Das habe ich gemacht, aber die Lösung von Marcel ist eleganter.
> Dann:
>
> [mm]f(|x+y|) \le f(|x|+|y|)[/mm]
Mit Hilfe von Marcel konnte ich auch dies nachvollziehen
> Also
>
> [mm]\bruch{|x+y|}{1+|x+y|}\le \bruch{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}
= \bruch{|x|}{1+|x|+|y|}+\bruch{|y|}{1+|x|+|y|} \le \bruch{|x|}{1+|x|}+\bruch{|y|}{1+|y|}[/mm]
>
> FRED
Dieser Schritt [mm]\bruch{|x+y|}{1+|x+y|}\le \bruch{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}[/mm] ist mir leider noch nicht so ganz eingeleuchtet. habe ein bißchen rumexperimentiert. Warum ist [mm] \bruch {1}{1+|x+y|}\le \bruch{1}{1+|x|+|y|} [/mm] ?
Mein Lösungsansatz mit dem ich aber selbst nicht richtig zufrieden bin:
[mm]\bruch{1}{|x+y|} = \left|\bruch{1}{x+y}\right| = \left| (x+y)^{-1} \right|=[/mm]
(ö)
[mm](|x+y|)^{-1} \le (|x|+|y|)^{-1} = \bruch{1}{|x|+|y|}[/mm]
Was mir daran noch große Kopfschmerzen bereitet ist dieser Schritt (ö)
Gruß Horst23
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Di 28.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Sei [mm]f(t) := \bruch{t}{1+t}[/mm] für t [mm]\ge[/mm] 0
> >
> > Überzeuge Dich davon, dass f monoton wachsend ist
> > (Ableitung !)
>
> Das habe ich gemacht, aber die Lösung von Marcel ist
> eleganter.
>
> > Dann:
> >
> > [mm]f(|x+y|) \le f(|x|+|y|)[/mm]
>
> Mit Hilfe von Marcel konnte ich auch dies nachvollziehen
wieso mit meiner Hilfe? Das ergibt sich ja, weil [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] monoton wachsend ist, und weil nach der Dreiecksungleichung [mm] $\big(0\le\big)\;\;\;|x+y| \le [/mm] |x|+|y|$ ist.
> > Also
> >
> > [mm]\bruch{|x+y|}{1+|x+y|}\le \bruch{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}
= \bruch{|x|}{1+|x|+|y|}+\bruch{|y|}{1+|x|+|y|} \le \bruch{|x|}{1+|x|}+\bruch{|y|}{1+|y|}[/mm]
>
> >
> > FRED
>
>
>
> Dieser Schritt [mm]\bruch{|x+y|}{1+|x+y|}\le \bruch{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}[/mm]
> ist mir leider noch nicht so ganz eingeleuchtet. habe ein
> bißchen rumexperimentiert...
Du weißt doch nun, dass für $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b$ die Ungleichung $f(a) [mm] \le [/mm] f(b)$ gilt. Für [mm] $\blue{a:=|x+y|}$ [/mm] und [mm] $\green{b:=|x|+|y|}$ [/mm] gilt also auch $f(a) [mm] \le [/mm] f(b)$ (beachte, dass nach der Dreiecksungleichung [mm] $\big(0\le\big)\;\;a \le [/mm] b$ ist), also
$$f(a) [mm] \le [/mm] f(b) [mm] \gdw \frac{\blue{a}}{1+\blue{a}} \le \frac{\green{b}}{1+\green{b}} \gdw \frac{\blue{|x+y|}}{1+\blue{|x+y|}} \le \frac{\green{|x|+|y|}}{1+\green{|x|+|y|}}\,.$$
[/mm]
Der obige, Dir unklare, Schritt ergibt sich also sofort aus der vorher gezeigten Eigenschaft der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] und der Dreiecksungleichung. Gerade, damit Du diese nicht offensichtliche Ungleichung einsehen kannst, hat Fred ja diese Funktion [mm] $f\,$ [/mm] überhaupt ins Spiel gebracht.
P.S.:
Auch hier wäre folgende Strategie evtl. möglich gewesen (die ich aber noch nicht zu Ende gedacht habe):
Durch Äquivalenzumformungen führe man die zu zeigende Ungleichung
[mm] $$\bruch{|x+y|}{1+|x+y|}\le \bruch{|x|}{1+|x|}+\bruch{|y|}{1+|y|}$$ [/mm]
auf eine Ungleichung zurück, deren Richtigkeit sich (leicht?) begründen läßt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 28.07.2009 | | Autor: | Horst23 |
Ich habe es jetzt mal mit Äquivalenzumformungen ausprobiert. Und würde gerne eine Meinung dazu hören. Danke schön
Für alle [mm] x,y\in\IR [/mm] gilt die Dreiecksungleichung [mm] \left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|. [/mm] Dann gilt nach Definition des Betrages erst recht
[mm] \left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|+2\left|xy\right|+\left|x^2*y+x*y^2\right| [/mm]
[mm] \gdw \left|x+y\right|\red {+\left|xy+y^2\right|+\left|x^2+xy\right|+\left|x^2y+xy^2\right|} \le\left|x\right|+\left|y\right|+2\left|xy\right|+\left|x^2*y+x*y^2\right|\red {+\left|xy+y^2\right|+\left|x^2+xy\right|+\left|x^2y+xy^2\right|}
[/mm]
[mm] \gdw \left|x+y\right|+\left|x+y\right|\left|y\right|+\left|x+y\right|\left|x\right|+\left|xy\right|\left|x+y\right| \le \left|x\right|+\left|y\right|+2\left|xy\right|+\left|x+y\right|\left|y\right|+\left|x+y\right|\left|x\right|+2\left|x\right|\left|y\right|\left|x+y\right|
[/mm]
[mm] \gdw (\left|x+y\right|)(1+\left|x\right|+\left|y\right|+\left|xy\right|) \le (1+\left|x+y\right|)*(\left|x\right|+\left|y\right|+2\left|x\right|\left|y\right|)
[/mm]
Wegen [mm] 1+\left|x+y\right|\ge [/mm] 1>0 darf ich dadurch dividieren. Dann ist folgende Ungleichung äquivalent zu oben:
[mm] \bruch{\left|x+y\right|*(1+\left|y\right|+\left|x\right|+\left|xy\right|)}{1+\left|x+y\right|}\le \left|x\right|+\left|y\right|+2*\left|xy\right|
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{\left|x+y\right|*(1+\left|y\right|+\left|x\right|+\left|xy\right|)}{1+\left|x+y\right|} \le \left|x\right|+\left|xy\right|+\left|y\right|+\left|xy\right|
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{\left|x+y\right|*(1+\left|x\right|)*(1+\left|y\right|)}{1+\left|x+y\right|} \le \left|x\right|*(1+\left|y\right|)+\left|y\right|*(1+\left|x\right|))
[/mm]
Durch Division von [mm] (1+\left|x\right|)*(1+\left|y\right|)\ge1>0 [/mm] erhalte ich die äquivalente Umformung
[mm] \bruch{\left|x+y\right|}{1+\left|x+y\right|}\le \bruch{\left|x\right|}{1+\left|x\right|}+\bruch {\left|y\right|}{1+\left|y\right|}
[/mm]
q.e.d
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Mi 29.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe es jetzt mal mit Äquivalenzumformungen
> ausprobiert. Und würde gerne eine Meinung dazu hören.
> Danke schön
>
> Für alle [mm]x,y\in\IR[/mm] gilt die Dreiecksungleichung
> [mm]\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|.[/mm] Dann gilt
> nach Definition des Betrages
nach Definition des Betrages? Du meinst sicher, weil $|r| [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] ist, und weil zudem das ![[]](/images/popup.gif) 1. Monotoniegesetz gilt (Definition 3.1 O.3.).
> erst recht
> [mm]\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|+2\left|xy\right|+\left|x^2*y+x*y^2\right|[/mm]
>
> [mm]\gdw \left|x+y\right|\red {+\left|xy+y^2\right|+\left|x^2+xy\right|+\left|x^2y+xy^2\right|} \le\left|x\right|+\left|y\right|+2\left|xy\right|+\left|x^2*y+x*y^2\right|\red {+\left|xy+y^2\right|+\left|x^2+xy\right|+\left|x^2y+xy^2\right|}[/mm]
>
> [mm]\gdw \left|x+y\right|+\left|x+y\right|\left|y\right|+\left|x+y\right|\left|x\right|+\left|xy\right|\left|x+y\right| \le \left|x\right|+\left|y\right|+2\left|xy\right|+\left|x+y\right|\left|y\right|+\left|x+y\right|\left|x\right|+2\left|x\right|\left|y\right|\left|x+y\right|[/mm]
>
> [mm]\gdw (\left|x+y\right|)(1+\left|x\right|+\left|y\right|+\left|xy\right|) \le (1+\left|x+y\right|)*(\left|x\right|+\left|y\right|+2\left|x\right|\left|y\right|)[/mm]
Hier kannst Du Dir die Klammern um [mm] $\,|x+y|$ [/mm] linkerhand erparen! Sofern ich bisher keine Fehler übersehen habe, würde ich sagen, dass das alles soweit korrekt ist.
> Wegen [mm]1+\left|x+y\right|\ge[/mm] 1>0 darf ich dadurch
> dividieren. Dann ist folgende Ungleichung äquivalent zu
> oben:
>
> [mm]\bruch{\left|x+y\right|*(1+\left|y\right|+\left|x\right|+\left|xy\right|)}{1+\left|x+y\right|}\le \left|x\right|+\left|y\right|+2*\left|xy\right|[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{\left|x+y\right|*(1+\left|y\right|+\left|x\right|+\left|xy\right|)}{1+\left|x+y\right|} \le \left|x\right|+\left|xy\right|+\left|y\right|+\left|xy\right|[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{\left|x+y\right|*(1+\left|x\right|)*(1+\left|y\right|)}{1+\left|x+y\right|} \le \left|x\right|*(1+\left|y\right|)+\left|y\right|*(1+\left|x\right|))[/mm]
Soweit so gut, denke ich! 
( Ich habe auch kurz [mm] $(1+|x|)(1+|y|)=1+|x|+|y|+\underbrace{|x||y|}_{=|xy|}$ [/mm] kontrolliert.  )
> Durch Division von
> [mm](1+\left|x\right|)*(1+\left|y\right|)\ge1>0[/mm] erhalte ich die
> äquivalente Umformung
>
> [mm]\bruch{\left|x+y\right|}{1+\left|x+y\right|}\le \bruch{\left|x\right|}{1+\left|x\right|}+\bruch {\left|y\right|}{1+\left|y\right|}[/mm]
>
> q.e.d
Weil solche elementare Lösungswege natürlich immer etwas anstrengend zu verfolgen sind, und - ich jedenfalls - für mich das ganze dann auch nochmal parallel auf einem Schmierzettel nachrechne und es daher auch entsprechend viel Konzentration kostet, solche Überlegungen zu kontrollieren bzw. zu korrigieren und dabei natürlich auch meine Konzentration nachläßt, sage ich es mal mit Vorbehalt:
Deine Lösung erscheint mir vollkommen korrekt, ich sehe zur Zeit jedenfalls keinen Fehler.
Aber wie gesagt: Mit Vorbehalt, vll. hast Du auch einen kleinen Fehler irgendwo so gut versteckt, dass er mir auch nicht ins Auge fällt - zumal meine Konzentrationsfähigkeit bei dieser Kontrolle auch nachgelassen hat.
Aber ich denke eigentlich, dass hier alles soweit o.k. ist, und vll. bestätigt das ja nochmal jemand (oder jemand weist mich auf einen Fehler hin, den ich eigentlich auch selbst hätte bemerken müssen, falls mir wirklich etwas entgangen sein sollte - was ich nicht hoffe).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Mi 29.07.2009 | | Autor: | Horst23 |
Vielen Dank für die Korrektur!
Und natülich hast du recht, dass ich am Anfang nicht nur die Definition des Betrages(was auch nicht zwangsweise notwendig ist), sondern das 1. Monotoniegesetz benutzt habe. War mir diesen Begriffs dafür nur nicht bewußt.
Gruß Horst23
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