Beweis einer Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mo 27.07.2009 | | Autor: | Horst23 |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Für alle [mm] x, y \in \IR [/mm] gilt:
[mm] \left| x \right| \le \left| y \right| \Rightarrow \frac {\left| x \right|}{1+\left| x \right|} \le \frac {\left| y \right|}{1+\left| y \right|} [/mm] |
Ich brauche da ein wenig Hilfe. Muss ich den Beweis mit Hilfe eines indirekten Beweises führen? Und falls ja, beginnt mein Beweisstart mit folgender Annahme
[mm] \left| x \right| [/mm] > [mm] \left| y \right| \Rightarrow \frac {\left| x \right|}{1+\left| x \right|} \le \frac {\left| y \right|}{1+\left| y \right|}{\mm}
[/mm]
oder dieser Annahme
[mm] \left| x \right| \le \left| y \right| \Rightarrow \frac {\left| x \right|}{1+\left| x \right|} [/mm] > [mm] \frac {\left| y \right|}{1+\left| y \right|}{\mm}
[/mm]
Vielen Dank für eure kompetenten Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mo 27.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Beweisen Sie: Für alle [mm]x, y \in \IR[/mm] gilt:
>
> [mm]\left| x \right| \le \left| y \right| \Rightarrow \frac {\left| x \right|}{1+\left| x \right|} \le \frac {\left| y \right|}{1+\left| y \right|}[/mm]
>
> Ich brauche da ein wenig Hilfe. Muss ich den Beweis mit
> Hilfe eines indirekten Beweises führen?
Das kannst du machen, aber direkt geht es einfacher.
Tipp: für [mm] $x,y\in \IR\backslash \{0\}$ [/mm] musst du zeigen, dass
[mm] \left| x \right| \le \left| y \right| \Rightarrow \bruch {1+\left| x \right|}{\left| x \right|} \ge \bruch {1+\left| y \right|}{\left| y \right|}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mo 27.07.2009 | | Autor: | Horst23 |
Allzu viel hat mir dein Tipp nicht gebracht, da ich in meinen Kopf an einer Erklärung hängenbleibe.
Also mein Ansatz sieht wie folgt aus: Sei [mm] \left| x \right| \le \left| y \right| [/mm] , daraus folgt [mm] \left| x \right|+1 \le \left| y \right|+1. [/mm] Außerdem folgt aus dem OA, dass [mm] \left| x \right|^{-1} \ge \left| y \right|^{-1} [/mm] ist.
Nun blockiert´s bei mir, weil ich nicht genau weiß, wie ich diese beiden Aussagen Widerspruchsfrei verknüpfen soll.
Mein nächster Schritt wäre nun die Multiplikation von [mm] \left| x \right| [/mm] +1 auf beiden Seiten, was kommendes daraus folgen lässt:
[mm] \bruch {1+\left| x \right|}{\left| x \right|} \ge \bruch {1+\left| x \right|}{\left| y \right|}
[/mm]
Nun würde der Schritt noch fehlen, dass
[mm] \bruch {1+\left| x \right|}{\left| y \right|} \ge \bruch {1+\left| y \right|}{\left| y \right|}
[/mm]
Nur fehlt mir bei diesem Schritt die Legitimation. Denn wie oben schon gezeigt, ist [mm] \left| x \right|+1 \le \left| y \right|+1.
[/mm]
Wo liegt mein Problem, bzw. welchen Trick muss ich anwenden.
Danke für eure Hilfe.
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Hallo Horst23,
> Allzu viel hat mir dein Tipp nicht gebracht, da ich in
> meinen Kopf an einer Erklärung hängenbleibe.
>
> Also mein Ansatz sieht wie folgt aus: Sei [mm]\left| x \right| \le \left| y \right|[/mm]
> , daraus folgt [mm]\left| x \right|+1 \le \left| y \right|+1.[/mm]
> Außerdem folgt aus dem OA, dass [mm]\left| x \right|^{-1} \ge \left| y \right|^{-1}[/mm]
> ist.
> Nun blockiert´s bei mir, weil ich nicht genau weiß, wie
> ich diese beiden Aussagen Widerspruchsfrei verknüpfen
> soll.
>
> Mein nächster Schritt wäre nun die Multiplikation von
> [mm]\left| x \right|[/mm] +1 auf beiden Seiten, was kommendes daraus
> folgen lässt:
>
> [mm]\bruch {1+\left| x \right|}{\left| x \right|} \ge \bruch {1+\left| x \right|}{\left| y \right|}[/mm]
>
> Nun würde der Schritt noch fehlen, dass
>
> [mm]\bruch {1+\left| x \right|}{\left| y \right|} \ge \bruch {1+\left| y \right|}{\left| y \right|}[/mm]
>
> Nur fehlt mir bei diesem Schritt die Legitimation. Denn wie
> oben schon gezeigt, ist [mm]\left| x \right|+1 \le \left| y \right|+1.[/mm]
>
> Wo liegt mein Problem, bzw. welchen Trick muss ich
> anwenden.
Addiere auf beiden Seiten der Ungleichung
[mm]\vmat{x} \le \vmat{y}[/mm]
einen geeigeneten Summanden größer Null.
> Danke für eure Hilfe.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mo 27.07.2009 | | Autor: | Horst23 |
Also mein Beweis sieht jetzt wie folgt aus:
Sei x,y [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] \left| x \right| \le \left| y \right|. [/mm] Dann gilt auch [mm] \left| x \right|+ \bruch{\left| x \right|}{\left| y \right|} \le \left| y \right|+\bruch {\left| y \right|}{\left| x \right|} [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch {\left| x \right|\left| y \right| +\left| x \right|}{\left| y \right|}\le \bruch {\left| y \right|\left| x \right|+\left| y \right|}{\left| x \right|} [/mm]
[mm] \Rightarrow \left| x \right|\bruch{\left| y \right|+1}{\left| y \right|} \le \left| y \right|\bruch{\left| x \right|+1}{\left| x \right|}
[/mm]
Da [mm] \left| x \right| \le \left| y \right| [/mm] folgt wegen der OAe nun [mm] \bruch{\left| y \right|+1}{\left| y \right|} \le \bruch {\left| x \right|+1}{\left| x \right|} [/mm]
und dadurch
[mm] \bruch {\left| x \right|}{\left| x \right|+1} \le \bruch{\left| y \right|}{\left| y \right|+1}
[/mm]
Q.e.d
Bei einem Fehler bitte ich doch um Hinweis.
Aber trotzdem nochmal vielen Dank an meine beiden Helfer.
Gruß Horst23
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Di 28.07.2009 | | Autor: | Marcel |
und Hinweis für einen korrekten Beweis (s.u.).
Hallo,
> Also mein Beweis sieht jetzt wie folgt aus:
>
> Sei x,y [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]\left| x \right| \le \left| y \right|.[/mm]
> Dann gilt auch [mm]\left| x \right|+ \bruch{\left| x \right|}{\left| y \right|} \le \left| y \right|+\bruch {\left| y \right|}{\left| x \right|}[/mm]
das wäre ja (nach Multiplikation mit $|x|*|y| > [mm] 0\,$; [/mm] beachte, dass Du oben schon $x [mm] \not=0$ [/mm] und $y [mm] \not=0$ [/mm] fordern müßtest, um diese Ungleichung überhaupt hinschreiben zu können!) äquivalent zu [mm] $|x|^2*|y|+|x|^2 \le |y|^2*|x|+|y|^2\,.$ [/mm] Wie kommst Du denn von $|x| [mm] \le [/mm] |y|$ zu der Behauptung, dass diese Ungleichung stimmt?
Da fehlen Zwischenschritte:
$$|x| [mm] \le [/mm] |y| [mm] \;\;\Rightarrow\;\;|x|^2*|y|=|x|*|x|*|y| \le [/mm] |x|*|y|*|y| [mm] \;\;\Rightarrow\;\;|x|^2*|y| \le |y|^2*|x|$$
[/mm]
[mm] $$\underset{\text{da }|x|^2 \le |y|^2}{\Rightarrow}\;\; |x|^2*|y|+|x|^2 \le |y|^2*|x|+|x|^2 \le |y|^2*|x|+|y|^2\,.$$
[/mm]
Und nun müßtest Du durch $|x|*|y| [mm] \,>0$ [/mm] dividieren, was $x [mm] \not=0$ [/mm] und $y [mm] \not=0$ [/mm] erforderte.
Aber auch damit:
> [mm]\Rightarrow \bruch {\left| x \right|\left| y \right| +\left| x \right|}{\left| y \right|}\le \bruch {\left| y \right|\left| x \right|+\left| y \right|}{\left| x \right|}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \left| x \right|\bruch{\left| y \right|+1}{\left| y \right|} \le \left| y \right|\bruch{\left| x \right|+1}{\left| x \right|}[/mm]
Bis hierhin wäre das dann okay, aber das hier:
> Da [mm]\left| x \right| \le \left| y \right|[/mm] folgt wegen der
> OAe nun [mm]\bruch{\left| y \right|+1}{\left| y \right|} \le \bruch {\left| x \right|+1}{\left| x \right|}[/mm]
>
> und dadurch
>
> [mm]\bruch {\left| x \right|}{\left| x \right|+1} \le \bruch{\left| y \right|}{\left| y \right|+1}[/mm]
verstehe ich nicht. Das ist so, als wenn Du sagst:
Da $3 < 5$ ist, muss, wenn $3*x [mm] \le [/mm] 5*y$, dann auch $x [mm] \le [/mm] y$ gelten. Gegenbeispiel:
[mm] $x=4\,$ [/mm] und [mm] $y=3\,.$
[/mm]
Hinweis für korrekten Beweis:
Ich geb' Dir mal einen anderen Tipp:
Es gilt (wegen $1+|x| [mm] \ge [/mm] 1 > 0$ und $1+|y| [mm] \ge [/mm] 1 > 0$), dass
[mm] $$\frac {\left| x \right|}{1+\left| x \right|} \le \frac {\left| y \right|}{1+\left| y \right|} \gdw [/mm] |x| (1+|y|) [mm] \le |y|(1+|x|)\,.$$
[/mm]
Ergänze diese Äquivalenzumformung mal noch um 1 bzw. 2 Schritte und lies' sie von rechts nach links (also in den [mm] '$\gdw$' [/mm] immer die Folgerungen [mm] '$\Leftarrow$'), [/mm] und fertig ist.
Schlussendlich startet der Beweis also so bzw. läuft so ab:
Aus $|x| [mm] \le [/mm] |y|$ folgt $|x|+|x|*|y| [mm] \le |y|+|x||y|\,,$ [/mm] und jetzt wird linkerhand [mm] $|x|\,$ [/mm] und rechterhand [mm] $|y|\,$ [/mm] vorgeklammert und dann durch [mm] $(1+|x|)*(1+|y|)\,>0$ [/mm] dividiert.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 28.07.2009 | | Autor: | Horst23 |
> > Sei x,y [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]\left| x \right| \le \left| y \right|.[/mm]
> > Dann gilt auch [mm]\left| x \right|+ \bruch{\left| x \right|}{\left| y \right|} \le \left| y \right|+\bruch {\left| y \right|}{\left| x \right|}[/mm]
>
> das wäre ja (nach Multiplikation mit [mm]|x|*|y| > 0\,[/mm];
> beachte, dass Du oben schon [mm]x \not=0[/mm] und [mm]y \not=0[/mm] fordern
> müßtest, um diese Ungleichung überhaupt hinschreiben zu
> können!)
Da gebe ich dir recht, war unüberlegt, dadurch ist der komplette Beweis hinfällig. Aber meine Grundlage dies zu folgern, war dass aus x [mm] \le [/mm] y und a < b [mm] \Rightarrow [/mm] x+a < y+b.
Also da [mm] \left | x\right| \le \left|y \right| [/mm] und dadurch [mm] \bruch {\left|x\right|}{\left|y\right|}\le\bruch{\left|y\right|}{\left|x\right|} [/mm] gilt, habe ich dies gefolgert...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Di 28.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier.
Das hilft auch bei dieser Aufgabe.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Di 28.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Sei x,y [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]\left| x \right| \le \left| y \right|.[/mm]
> > > Dann gilt auch [mm]\left| x \right|+ \bruch{\left| x \right|}{\left| y \right|} \le \left| y \right|+\bruch {\left| y \right|}{\left| x \right|}[/mm]
> >
> > das wäre ja (nach Multiplikation mit [mm]|x|*|y| > 0\,[/mm];
> > beachte, dass Du oben schon [mm]x \not=0[/mm] und [mm]y \not=0[/mm] fordern
> > müßtest, um diese Ungleichung überhaupt hinschreiben zu
> > können!)
>
> Da gebe ich dir recht, war unüberlegt, dadurch ist der
> komplette Beweis hinfällig. Aber meine Grundlage dies zu
> folgern, war dass aus x [mm]\le[/mm] y und a < b [mm]\Rightarrow[/mm] x+a <
> y+b.
> Also da [mm]\left | x\right| \le \left|y \right|[/mm] und dadurch
> [mm]\bruch {\left|x\right|}{\left|y\right|}\le\bruch{\left|y\right|}{\left|x\right|}[/mm]
> gilt, habe ich dies gefolgert...
ich verstehe gerade Deinen Kommentar nicht ganz. Ich habe doch auch nachgerechnet, dass die Folgerung
$$|x| [mm] \le [/mm] |y| [mm] \Rightarrow |x|+\frac{|x|}{|y|} \le |y|+\frac{|y|}{|x|}$$
[/mm]
korrekt ist (für $|x| > [mm] 0\,$ [/mm] jedenfalls). Deine Begründung ist wesentlich eleganter als meine Rechnung oben:
Aus $0 < |x| [mm] \le [/mm] |y|$ folgt [mm] $\frac{|x|}{|y|} \le [/mm] 1 [mm] \le \frac{|y|}{|x|}\,,$ [/mm] was [mm] $|x|+\frac{|x|}{|y|} \le |x|+\frac{|y|}{|x|} \le |y|+\frac{|y|}{|x|}$ [/mm] liefert.
Aber Deine Folgerung am Ende:
Du sagst, dass man aus
> $ [mm] \Rightarrow \left| x \right|\bruch{\left| y \right|+1}{\left| y \right|} \le \left| y \right|\bruch{\left| x \right|+1}{\left| x \right|} [/mm] $
und aus
> ...$ [mm] \left| x \right| \le \left| y \right| [/mm] $ ...
nun
> OAe nun $ [mm] \bruch{\left| y \right|+1}{\left| y \right|} \le \bruch {\left| x \right|+1}{\left| x \right|} [/mm] $
folgern könnte. Diese Folgerung ist leider nicht zulässig. Es gilt zwar:
Wenn $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b$ und $0 [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] d$ ist, dass man dann $a*c [mm] \le [/mm] b*d$ folgern kann:
Denn:
[mm] $(\star)$ [/mm] $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b [mm] \underset{0 \le c}{\Rightarrow} [/mm] 0 [mm] \le [/mm] a*c [mm] \le [/mm] b*c [mm] \underset{\substack{0 \le c \le d \Rightarrow b*c \le b*d\\\text{bea.: }b \ge 0}}{\Longrightarrow}$ [/mm] also $a*c [mm] \le b*d\,.$
[/mm]
Aber:
Aus $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b$ und $a*c [mm] \le [/mm] b*d$ kann man (selbst für $c,d [mm] \ge [/mm] 0$) nicht $c [mm] \le [/mm] d$ folgern.
Wie gesagt:
Betrachte [mm] $a=3,\,$ $b=5,\,$ $c=4\,$ [/mm] und [mm] $d=3\,.$
[/mm]
Und wenn man versuchen würde, $c [mm] \le [/mm] d$ zu folgern, käme man auch sofort in Schwierigkeiten:
Seien $a,b,c,d [mm] \ge [/mm] 0$ mit $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b$ und $a*c [mm] \le b*d\,.$ [/mm] Nun kann man aus $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b$ zwar $b*d [mm] \ge [/mm] a*d$ folgern, aber man weiß nicht, in welchem Verhältnis nun $a*d$ zu $a*c$ steht.
Beachte:
Bei [mm] $(\star)$ [/mm] wurde das Transitivgesetz ($a [mm] \le [/mm] b$ und $b [mm] \le [/mm] c$ (d.h. $a [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] c$) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a [mm] \le [/mm] c$) benutzt, aber wenn man irgendein [mm] $b\,$ [/mm] hat und ansonsten nur $a [mm] \le [/mm] c$ weiß, so kann man i.a. ja nicht einfach folgern, dass dann auch $a [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] c$ gelten würde. Das ist so ein typisches Beispiel, dass nochmal daran erinnert, dass man in der Mathematik nicht einfach die Folgerungen als Äquivalenzen lesen kann.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Di 28.07.2009 | | Autor: | Horst23 |
Hi!
> Da gebe ich dir recht, war unüberlegt, dadurch ist der
> komplette Beweis hinfällig. Aber meine Grundlage dies zu
> folgern, war dass aus x $ [mm] \le [/mm] $ y und a < b $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x+a <
> y+b.
> Also da $ [mm] \left | x\right| \le \left|y \right| [/mm] $ und dadurch
> $ [mm] \bruch {\left|x\right|}{\left|y\right|}\le\bruch{\left|y\right|}{\left|x\right|} [/mm] $
> gilt, habe ich dies gefolgert...
Durch den bereits falschen Ansatz habe diesen Beweisversuch auch abgebrochen. Sollte nur ein Hinweis sein, wie ich zu diesen Schritt gekommen bin.
>Deine Begründung
> ist wesentlich eleganter als meine Rechnung oben:
Danke schön!
> Aus [mm]0 < |x| \le |y|[/mm] folgt [mm]\frac{|x|}{|y|} \le 1 \le \frac{|y|}{|x|}\,,[/mm]
> was [mm]|x|+\frac{|x|}{|y|} \le |x|+\frac{|y|}{|x|} \le |y|+\frac{|y|}{|x|}[/mm]
> liefert.
Muss ich [mm] ...\le [/mm] 1 [mm] \le [/mm] ... auch in meiner Begründung einbauen oder ist dies nicht zwangsweise notwendig.
> Beachte:
> Bei [mm](\star)[/mm] wurde das Transitivgesetz ([mm]a \le b[/mm] und [mm]b \le c[/mm]
> (d.h. [mm]a \le b \le c[/mm]) [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]a \le c[/mm]) benutzt, aber
> wenn man irgendein [mm]b\,[/mm] hat und ansonsten nur [mm]a \le c[/mm] weiß,
> so kann man i.a. ja nicht einfach folgern, dass dann auch [mm]a \le b \le c[/mm]
> gelten würde. Das ist so ein typisches Beispiel, dass
> nochmal daran erinnert, dass man in der Mathematik nicht
> einfach die Folgerungen als Äquivalenzen lesen kann.
Ja, nach deiner Antwort und nochmaligen überfliegen der Axiome und deren Folgerungen, war mir bewußt, dass ich dies eine falsche war. [mm] \Rightarrow [/mm] nie rückwärts lesen!!! Ich werde es mir merken :) Aber danke für die ausführliche Erklärung.
> Gruß,
> Marcel
Gruß zurück, Horst23
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Di 28.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
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> > Da gebe ich dir recht, war unüberlegt, dadurch ist der
> > komplette Beweis hinfällig. Aber meine Grundlage dies
> zu
> > folgern, war dass aus x [mm]\le[/mm] y und a < b [mm]\Rightarrow[/mm] x+a
> <
> > y+b.
> > Also da [mm]\left | x\right| \le \left|y \right|[/mm] und
> dadurch
> > [mm]\bruch {\left|x\right|}{\left|y\right|}\le\bruch{\left|y\right|}{\left|x\right|}[/mm]
>
> > gilt, habe ich dies gefolgert...
>
>
> Durch den bereits falschen Ansatz habe diesen Beweisversuch
> auch abgebrochen. Sollte nur ein Hinweis sein, wie ich zu
> diesen Schritt gekommen bin.
>
> >Deine Begründung
> > ist wesentlich eleganter als meine Rechnung oben:
>
> Danke schön!
>
> > Aus [mm]0 < |x| \le |y|[/mm] folgt [mm]\frac{|x|}{|y|} \le 1 \le \frac{|y|}{|x|}\,,[/mm]
> > was [mm]|x|+\frac{|x|}{|y|} \le |x|+\frac{|y|}{|x|} \le |y|+\frac{|y|}{|x|}[/mm]
> > liefert.
>
> Muss ich [mm]...\le[/mm] 1 [mm]\le[/mm] ... auch in meiner Begründung
> einbauen oder ist dies nicht zwangsweise notwendig.
Mhm, eigentlich sollte man gerade in Anfangssemestern lieber etwas mehr als etwas zu wenig begründen. Und eigentlich benutzt Du ja auch die Transitivität. Klar, später wirst Du das einfach schnell hinschreiben und, jedenfalls die meisten, werden sofort sehen, wie das zustandegekommen ist. Dann muss man nicht jeden kleinen Schritt unbedingt begründen, aber spätestens auf eine Nachfrage hin sollte man in der Lage sein, seine Rechnungen/Folgerungen detailliert zu begründen.
> > Beachte:
> > Bei [mm](\star)[/mm] wurde das Transitivgesetz ([mm]a \le b[/mm] und [mm]b \le c[/mm]
> > (d.h. [mm]a \le b \le c[/mm]) [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]a \le c[/mm]) benutzt, aber
> > wenn man irgendein [mm]b\,[/mm] hat und ansonsten nur [mm]a \le c[/mm] weiß,
> > so kann man i.a. ja nicht einfach folgern, dass dann auch [mm]a \le b \le c[/mm]
> > gelten würde. Das ist so ein typisches Beispiel, dass
> > nochmal daran erinnert, dass man in der Mathematik nicht
> > einfach die Folgerungen als Äquivalenzen lesen kann.
>
> Ja, nach deiner Antwort und nochmaligen überfliegen der
> Axiome und deren Folgerungen, war mir bewußt, dass ich
> dies eine falsche war. [mm]\Rightarrow[/mm] nie rückwärts
> lesen!!! Ich werde es mir merken :) Aber danke für die
> ausführliche Erklärung.
"Nie rückwärts" lesen würde ich nicht sagen. Nur, sobald man sie rückwärts liest, sollte man sich auch davon überzeugen, dass man das auch darf. Z.B. gilt:
Für $0 [mm] \le [/mm] x,y$ gilt $x=y$ [mm] $\Rightarrow$ $x^2=y^2\,.$ [/mm] Hier kann man auch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] durch [mm] $\Leftarrow$ [/mm] ersetzen, weil man halt generell $0 [mm] \le [/mm] x,y$ voraussetzt, so dass [mm] $x^2=y^2 \gdw [/mm] (x+y)(x-y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y [mm] \text{ oder }x=-y\,.$ [/mm] Und der Fall $x=-y$ kann wegen $0 [mm] \le [/mm] x,y$ nur für $x=0=y$ auftreten, so dass in allen Fällen [mm] $x=y\,$ [/mm] folgt.
Für $0 [mm] \le [/mm] x,y$ gilt also:
$$x=y [mm] \gdw x^2=y^2\,.$$
[/mm]
Verwirft man die generelle Voraussetzung $0 [mm] \le [/mm] x,y$ und setzt nur $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] voraus, so gilt zwar
$$x=y [mm] \Rightarrow x^2=y^2\,,$$
[/mm]
aber die Folgerung
[mm] $$x^2=y^2 \Rightarrow [/mm] x=y$$
ist i.a. nicht mehr zulässig.
Für $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] wäre also
$$x=y [mm] \gdw x^2=y^2$$
[/mm]
falsch, da dann die Folgerung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] nicht gültig wäre.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Di 28.07.2009 | | Autor: | Horst23 |
Gelesen und gemerkt.
Danke.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Di 28.07.2009 | | Autor: | Horst23 |
Also man kann es sich auch sehr schwer machen... Aber immer den geeigneten Summanden oder Multiplikator zu finden ist nicht einfach...
Nun, Beweis für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] :)
Sei [mm] \left|x\right| \le \left|y\right|. [/mm] Laut Definition des Betrages ist [mm]\left|x\right| \ge 0[/mm] und somit auch [mm]\left|y\right|\ge 0[/mm].
Daraus folgt, dass [mm]\left|x\right|+1\ge 1>0[/mm] und [mm]\left|y\right|+1\ge 1>0[/mm].
Wegen [mm]0\le \left|x\right|\le \left|y\right|[/mm] gilt also auch [mm]\left|x\right|*\left|y\right|\ge 0[/mm].
Aus diesem und [mm]\left|x\right| \le \left|y\right|[/mm] folgt nun [mm]\left|x\right|+\left|x\right|*\left|y\right| \le \left|y\right|+\left|x\right|*\left|y\right|[/mm].
Durch Ausklammern folgt nun [mm]\left|x\right|(1+\left|y\right|) \le \left|y\right|(1+\left|x\right|)[/mm].
Da [mm]\left|x\right|+1\ge 1>0[/mm] und [mm]\left|y\right|+1\ge 1>0[/mm] kann durch [mm](1+\left|y\right|)*(1+\left|x\right|) \ge 0[/mm] dividiert werden, wodurch nun folgt
[mm]\bruch{\left|x\right|}{1+\left|x\right|} \le \bruch{\left|y\right|}{1+\left|y\right|}[/mm].
W.z.b.w.
Ich hoffe der Beweis ist nun richtig. Solltet ihr noch Tipps für mich haben, was ich an der Syntax des Beweises verbessern bzw. weglassen kann, so wäre ich sehr dankbar.
Mfg Horst23
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Di 28.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also man kann es sich auch sehr schwer machen... Aber immer
> den geeigneten Summanden oder Multiplikator zu finden ist
> nicht einfach...
>
> Nun, Beweis für alle x,y [mm]\in \IR[/mm] :)
>
> Sei [mm]\left|x\right| \le \left|y\right|.[/mm] Laut Definition des
> Betrages ist [mm]\left|x\right| \ge 0[/mm] und somit auch
> [mm]\left|y\right|\ge 0[/mm].
>
> Daraus folgt, dass [mm]\left|x\right|+1\ge 1>0[/mm] und
> [mm]\left|y\right|+1\ge 1>0[/mm].
>
> Wegen [mm]0\le \left|x\right|\le \left|y\right|[/mm] gilt also auch
> [mm]\left|x\right|*\left|y\right|\ge 0[/mm].
>
> Aus diesem und [mm]\left|x\right| \le \left|y\right|[/mm] folgt nun
> [mm]\left|x\right|+\left|x\right|*\left|y\right| \le \left|y\right|+\left|x\right|*\left|y\right|[/mm].
>
> Durch Ausklammern folgt nun
> [mm]\left|x\right|(1+\left|y\right|) \le \left|y\right|(1+\left|x\right|)[/mm].
>
> Da [mm]\left|x\right|+1\ge 1>0[/mm] und [mm]\left|y\right|+1\ge 1>0[/mm] kann
> durch [mm](1+\left|y\right|)*(1+\left|x\right|) \ge 0[/mm] dividiert
> werden, wodurch nun folgt
>
> [mm]\bruch{\left|x\right|}{1+\left|x\right|} \le \bruch{\left|y\right|}{1+\left|y\right|}[/mm].
>
> W.z.b.w.
>
> Ich hoffe der Beweis ist nun richtig.
Er ist es. Hast Du eigentlich gelesen, was ich Dir oben geschrieben habe ?
FRED
> Solltet ihr noch
> Tipps für mich haben, was ich an der Syntax des Beweises
> verbessern bzw. weglassen kann, so wäre ich sehr dankbar.
> Mfg Horst23
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Di 28.07.2009 | | Autor: | Horst23 |
> Er ist es. Hast Du eigentlich gelesen, was ich Dir oben
> geschrieben habe ?
>
> FRED
Ja habe ich, bin gerade dabei, wurde aber je von einem Anruf unterbrochen.
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