Beweis einer Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 So 22.10.2006 | | Autor: | sasalein |
| Aufgabe | 0.12. a) Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] und k [mm] \ge2 [/mm] :
[mm] k^n [/mm] > n
0.12. b) Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] und k [mm] \ge3 [/mm] :
[mm] k^n [/mm] > [mm] n^2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei meinen vorherigen Aufgaben habe ich die Beweise immer über die vollständige Induktion gemacht, daher gehe ich davon aus, dass ich das bei diesen beiden Aufgaben auch machen muss.
Für den Anfang setze ich n=1, kann ich für k mir dann auch einfach einen Wert aussuchen, der die obigen Bedingungen erfüllt?
Ich hätte jetzt bei a) n=1 und k=2 gesetz, so dass ich [mm] 2^1>1 [/mm] ,d.h. 2>1 erhalte.
Nun weiß ich aber nicht, wie ich das in meinem Induktionsschluss weiterverwenden kann.
n [mm] \to [/mm] n+1 ist mir noch klar:
a) [mm]k^{n+1} > (n+1)[/mm]
Das kann ich umschreiben zu:
[mm] k^n \cdot [/mm] k > n+1
Wäre das jetzt eine Gleichung und keine Ungleichung, würde ich für [mm] k^n [/mm] n einsetzen. Aber das geht hier doch nicht, oder?
Ab diesem Punkt weiß ich absolut nicht weiter.
Die Teilaufgabe b) müsste dann doch äquivalent zu a) funktionieren, oder?
Danke für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 So 22.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Sasa
1. Wenn die Ungleichung für k=2 gilt, gilt sie für alle k, dazu musst du nur zeigen: für festes n [mm] gilt:(k+1)^n>k^n [/mm] wenns sein muss mit vI.
2. beweis es für k=2
[mm] 2^n>n [/mm] ; [mm] 2^n+1>n+1; [/mm] und [mm] 2^n+1<2^{n+1}=2^n+2^n [/mm] und [mm] 2^n\ge [/mm] 1
So ähnlich
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 22.10.2006 | | Autor: | sasalein |
danke schön für die antwort, aber warum gilt [mm] k^n [/mm] > n , wenn ich bewiesen habe, dass (k + [mm] 1)^n [/mm] > [mm] k^n [/mm] ?
und dem zweiten teil kann ich gar nicht folgen, außer dass du zu anfang für k 2 eingesetzt hast:
[mm] k^n [/mm] > n wird zu [mm] 2^n [/mm] >n
sollte der nächste schritt dann heißen
[mm] k^{n+1} [/mm] > n+1 ?
ich weiß auch nicht, wie man auf 2n+1 < [mm] 2^{n+1} [/mm] kommen soll. tut mir leid, wenn ich mich etwas dumm anstelle.
danke schon mal im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 So 22.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Sasa
Du hast doch zwei variable Größen, k und n.
also musst du über beide eine Induktion machen.
1. k dazu muss n fest sein.
für [mm] k\ge [/mm] 2, n fest, ist die Behauptung : Wenn die Beh. für k=2 richtig ist ( Ind. Vors) dann muss ich aus richtig für k richtig für k+1 schließen.
1. Vors richtig: [mm] 2^n>n [/mm] für n>2.
2. falls gilt [mm] k^n>n [/mm] folgt [mm] (k+1)^n>n [/mm] Beweis ;
[mm] (k+1)^n=k^n+k^{n-1}+....+1>k^n>n
[/mm]
Wenn ich meine Behaupung also für k=2 für alle n beweise, hab ich sie auch für alle größeren k bewiesen.
also [mm] 2^1>1 [/mm] richtig.
[mm] 2^n>n [/mm] vorausgesetzt.
daraus [mm] 2^n+1>n+1 [/mm] und [mm] 2^{n+1}=2*2^n=2^n+2^n>2^n+1>n+1
[/mm]
fertig.
Ich hoff es ist jetzt klarer.
(Der erste Teil ist so blöd, weil du natürlich weisst dass aus 1<a<b folgt
[mm] 1
die zweite Aufgabe geht ähnlich, wenn du nicht weiterkommst, probier einfach wie du von n=2 nach n=3 kommst oder so.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Mi 25.10.2006 | | Autor: | sasalein |
ich glaub, jetzt habe ich es (zumindest teilweise) verstanden.
also ich muss zwei "große" Beweise machen:
1) für n=const.: [mm] k^n>n [/mm] wird zu [mm] (k+1)^n [/mm] > n
daraus folgt, dass ich zeigen muss [mm] (k+1)^n [/mm] > [mm] k^n
[/mm]
darf ich die n-te Wurzel ziehen, damit da steht: k+1 > k ?
muss ich dann noch weiter gehen und zeigen:
1>0 da 1=1² > 0 ?
2) nun zeige ich, dass [mm] k^n [/mm] +1 > n+1 sowie [mm] k^{n+1} [/mm] > [mm] k^n [/mm] +1
weil daraus folgt, dass [mm] k^{n+1}>k^n [/mm] +1 > n+1
ist das richtig, oder ist da noch ein Denkfehler drin?
bei der Teilaufgabe b) ist der erste Teil doch ähnlich, da muss ich doch erst wieder zeigen, wenn [mm] k^n [/mm] > n² dann muss auch [mm] (k+1)^n [/mm] > n² sein,
also wieder [mm] k^n [/mm] < [mm] (k+1)^n [/mm] - ja?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mi 25.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sasa
> also ich muss zwei "große" Beweise machen:
>
> 1) für n=const.: [mm]k^n>n[/mm] wird zu [mm](k+1)^n[/mm] > n
> daraus folgt, dass ich zeigen muss [mm](k+1)^n[/mm] > [mm]k^n[/mm]
>
> darf ich die n-te Wurzel ziehen, damit da steht: k+1 > k ?
besser umgekehrt aus k+1 > k und k>0 folgt..
> muss ich dann noch weiter gehen und zeigen:
> 1>0 da 1=1² > 0 ?
Nein!
> 2) nun zeige ich, dass [mm]k^n[/mm] +1 > n+1 sowie
Das ist direkt aus der Ind. Vors gefolgert.
>sowie [mm]k^{n+1}[/mm] > [mm]k^n[/mm] +1
> weil daraus folgt, dass [mm]k^{n+1}>k^n[/mm] +1 > n+1
>
> ist das richtig, oder ist da noch ein Denkfehler drin?
richtig, und du kannst es auch nur für k=2 zeigen wegen 1.
> bei der Teilaufgabe b) ist der erste Teil doch ähnlich,
Er ist gleich, und deshalb brauchst du nur darauf verweisen
> muss ich doch erst wieder zeigen, wenn [mm]k^n[/mm] > n² dann muss
> auch [mm](k+1)^n[/mm] > n² sein,
> also wieder [mm]k^n[/mm] < [mm](k+1)^n[/mm] - ja?
siehe oben
Gruss leduart
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