Beweis einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \in \IR [/mm] mit x>-1. Beweisen sie die folgende Ungleichung:
1+nx [mm] \le (1+x)^n
[/mm]
Wenn n>1 und X [mm] \not= [/mm] 0 ist, gillt sogar: 1+nx < [mm] (1+x)^n [/mm] |
Lässt sich diese Ungleichung mithilfe vollständiger Induktion beweisen?
Wenn ja, wie? Hat jemand eine Idee?
bzw: wie kann ich die klammner [mm] (1+x)^n [/mm] auflösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das ist doch die Bernoulli-Ungleichung!
Ja, die kannst du mit vollständiger Induktion beweisen.
Setzte doch einfach mal für n=1 bzw. wenn du das kleiner zeigen willst n=2 in als Induktionsanfang. Dann nimmst du [mm] (1+x)^{n+1}her, [/mm] und zerlgest das in ein Produkt. Dabei helfen dir die Potenzgesetze.
Dann einfach die Induktionsvorraussetzung einstzen, dann steht es dort eigentlich schon.
Eine andere Möglichkeit, die mir gerade eingefallen ist, wäre den Beweis mit Hilfe des Binomialsatzs zu machen, falls du den schon hattest.
Dann kannst du [mm] (1+x)^n [/mm] einfach mit Hilfe dieses Satzes mal als Summe schrieben. 1+nx sind dann die ersten beiden Summaneden davon. Wenn ich dann den Rest der Summanden weglasse, weiß ich sicher, dass 1+nx < [mm] (1+x)^n [/mm] ist.
LG
Kroni
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Danke für deine Antwort!
Aber ich kann nirgends finden, wie ich [mm] (1+x)^n [/mm] in ein Produkt zerlegen kann. Wie geht das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du von n->n+1 gehst, steht da doch dann [mm] (1+x)^{n+1}=(1+x)^n [/mm] *(1+x)
Und über [mm] (1+x)^n [/mm] weist du schon etwas!
LG
Kroni
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