Beweis einer Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Die Frage ist mir schon fast ein bisschen peinlich
Mein Problem kling ganz einfach
zeigen sie aus |x| [mm] \le|y|folgt|x-y|+|x+y|=2|y|
[/mm]
Wie bring ich die Beziehung von|x| [mm] \le|y| [/mm] in die Gleichung. Wenn ich statt kleiner gleich nur gleich schreib ist das ja einfach zu beweisen aber was mach ich bei kleiner gleich???
vielen Dank schon mal
Stevo
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Hallo Stevo
aus |x| [mm] \le|y|folgt [/mm] auch |x-y|= y-x
Vielleicht hilft dir das weiter.
Gruss
Eberhard
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Di 08.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Eberhard!
> Hallo Stevo
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> aus |x| [mm]\le|y|folgt[/mm] auch |x-y|= y-x
Das stimmt leider nicht, wie z.B. das Beispiel $x=-3$ und $y=-7$ zeigt:
$|-3|=3 [mm] \le [/mm] 7=|-7|$, aber $|x-y|=|-3-(-7)|=4$.
Jedoch ist:
$y-x=-7-(-3)=-4 [mm] \not=4$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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> Hallo Stevo
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> aus |x| [mm]\le|y|folgt[/mm] auch |x-y|= y-x
Da hab ich wohl die Betragsstriche vergessen
aus |x| [mm]\le|y|folgt[/mm] auch |x-y|= |y-x|
> Vielleicht hilft dir das weiter.
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> Gruss
> Eberhard
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Eberhard!
> > Hallo Stevo
> >
> > aus |x| [mm]\le|y|folgt[/mm] auch |x-y|= y-x
>
> Da hab ich wohl die Betragsstriche vergessen
>
> aus |x| [mm]\le|y|folgt[/mm] auch |x-y|= |y-x|
Das gilt doch generell, egal ob [mm] $|x|\le [/mm] |y|$ gilt oder nicht. Denn es gilt:
$|x-y|=|-(x-y)|=|y-x|$.
Inwiefern soll das bei der Aufgabe helfen? Ich seh's nicht ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") ...
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Di 08.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stevarino!
> Hallo
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> Die Frage ist mir schon fast ein bisschen peinlich
>
> Mein Problem kling ganz einfach
> zeigen sie aus |x| [mm]\le|y|folgt|x-y|+|x+y|=2|y|
[/mm]
Naja, mach doch eine Fallunterscheidung:
1. Fall:
$x [mm] \ge [/mm] 0$ und $y [mm] \ge [/mm] 0$.
Dann gilt:
[m]|\;\underbrace{x-y}_{\le 0}\;|+|\;\underbrace{x+y}_{\ge 0}\;|=-(x-y)+(x+y)=2y=2|y|[/m]
(Wegen [mm] $|x|\le [/mm] |y|$ gilt ja in diesem Falle $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y$.)
2. Fall:
$x [mm] \ge [/mm] 0$ und $y < 0$.
Dann gilt:
[m]|\;\underbrace{x-y}_{> 0}\;|+|\;\underbrace{x+y}_{\le 0}\;|=x-y-(x+y)=2*(-y)=2|y|[/m]
(Wegen [mm] $|x|\le [/mm] |y|$ gilt ja in diesem Falle $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -y$.)
3. Fall:
$x < 0$ und $y [mm] \ge [/mm] 0$.
Dann gilt:
[m]|\;\underbrace{x-y}_{< 0}\;|+|\;\underbrace{x+y}_{\ge 0}\;|=-(x-y)+x+y=2y=2|y|[/m]
(Wegen [mm] $|x|\le|y|$ [/mm] gilt in diesem Falle ja $0 < -x [mm] \le [/mm] y$.)
4. Fall:
$x < 0$ und $y <0$.
Dann gilt:
[m]|\;\underbrace{x-y}_{\ge 0}\;|+|\;\underbrace{x+y}_{< 0}\;|=x-y-(x+y)=2*(-y)=2|y|[/m]
(Wegen [mm] $|x|\le|y|$ [/mm] gilt in diesem Falle ja $0 < -x [mm] \le [/mm] -y$.)
Viele Grüße,
Marcel
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