Beweis einer Äquivalenz < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Do 25.10.2012 | | Autor: | BTGrave |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{L} \subset [/mm] P(E) eine Teilmenge der Potenzmenge von [mm] E=\IR^2. [/mm] Elemente L [mm] \in \mathca{L} [/mm] heißen (für diese Aufgabe) Geraden. Wir betrachten folgende Aussagen:
(i) Für [mm] P_1 \not= P_2 \in [/mm] E gibt es genau eine Gerade L mit [mm] P_1,P_2 \in [/mm] L
(ii) Für [mm] L_1, L_2 \in \mathcal{L} [/mm] mit [mm] L_1 \not= L_2 [/mm] gilt
[mm] |L_1 \cap L_2| \le [/mm] 1.
(a) Folgt aus aussage (i) die Aussage (ii)?
(b) Folgt aus Aussage (ii) die Aussage (i)?
Hinweis: Sollte eine Aussage nicht folgen, so benötigt man ein Gegenbeispiel. Sollte eine Aussage folgen, so benötigt man einen Beweis |
So dies ist eine Aufgabe die ich erledigen muss. Folgende Gedanken hab ich mir bereits gemacht:
Ich verstehe die Tatsache, dass aus 2 voneinander unterschiedlichen Punkten folgt, dass es genau eine Gerade gibt, die durch diese geht.
Auch dass Geraden nur 3 möglichkeiten besitzen, wie sie sich zueinander verhalten, also parallel, identisch oder geschnitten. Die aussage [mm] |L\cap L\le [/mm] 1| betrachtet nur den schnitt und die parallelität, da die identität bereits ausgeschlossen wurde.
Mir ist klar, dass aus (i), (ii) folgt. jedoch weiß ich nicht wie ich das beweise. Ich wäre rein evtl so herangegangen, dass 4 punkte existieren, die einander verschieden sind und durch jeweils 2 eine gerade hindurchgeht und diese beiden geraden (da sie und ihre punkte voneinander verschieden sind) entweder parallel verlaufen oder sich schneiden. Ist das der richtige weg?
Anscheinend meinte unser Dozent, dass eine Aussage wahr ist und die andere falsch. Dementsprechend dürfte aus (ii) nicht (i) folgen. Ich verstehe aber nicht, warum das nicht sein sollte. Hat das etwas mit dieser Potenzmenge zutun? und selbst wenn es stimmt...wie geht der beweis? Ich sitz jetz seit 3 tagen dran und morgen ist abgabe...Ich hab keine ahnung mehr :(
Ich hoffe auf baldige Hilfe
Grüße
Chris
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Do 25.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]\mathcal{L} \subset[/mm] P(E) eine Teilmenge der Potenzmenge
> von [mm]E=\IR^2.[/mm] Elemente L [mm]\in \mathca{L}[/mm] heißen (für diese
> Aufgabe) Geraden. Wir betrachten folgende Aussagen:
> (i) Für [mm]P_1 \not= P_2 \in[/mm] E
das ist eine schlechte Notation. Besser: Für [mm] $P_1, P_2 \in [/mm] E$ mit [mm] $P_1 \not [/mm] = [mm] P_2$ [/mm] gibt es...
> gibt es genau eine Gerade L
> mit [mm]P_1,P_2 \in[/mm] L
> (ii) Für [mm]L_1, L_2 \in \mathcal{L}[/mm] mit [mm]L_1 \not= L_2[/mm] gilt
> [mm]|L_1 \cap L_2| \le[/mm] 1.
>
> (a) Folgt aus aussage (i) die Aussage (ii)?
> (b) Folgt aus Aussage (ii) die Aussage (i)?
>
> Hinweis: Sollte eine Aussage nicht folgen, so benötigt man
> ein Gegenbeispiel. Sollte eine Aussage folgen, so benötigt
> man einen Beweis
> So dies ist eine Aufgabe die ich erledigen muss. Folgende
> Gedanken hab ich mir bereits gemacht:
> Ich verstehe die Tatsache, dass aus 2 voneinander
> unterschiedlichen Punkten folgt, dass es genau eine Gerade
> gibt, die durch diese geht.
> Auch dass Geraden nur 3 möglichkeiten besitzen, wie sie
> sich zueinander verhalten, also parallel, identisch oder
> geschnitten. Die aussage [mm]|L\cap L\le[/mm] 1| betrachtet nur den
> schnitt und die parallelität, da die identität bereits
> ausgeschlossen wurde.
> Mir ist klar, dass aus (i), (ii) folgt.
Nein, Du denkst, nur, weil der Begriff "Gerade" hier verwendet wurde, mit
dem, was wir auch Geraden nennen. Davon steht aber eben nix in der
Aufgabe.
Denke Dir diese Geraden besser als "Geraden" (also in
Anführungszeichen!) Und vergiss jegliche Anschauung - da steht nichts
von "Geraden im Sinne der Anschauung, wie wir sie auch kennen"!
Und das aus (i) die Aussage (ii) folgt, ist tatsächlich klar, aber Du führst
ja keinen Beweis - argumentieren darfst Du nur mit dem, was in de
Aufgabe steht, und nicht mit dem, was Du der glaubst, weil Du den Begriff
"Gerade" anschaulich mit etwas assoziierst, "der Anschauung wegen"
benutzen zu dürfen. Insbesondere wird hier nichts weiter dazugesagt,
was "Geraden" sind (nichts, außer, dass sie Teilmengen des [mm] $\IR^2$ [/mm] sein
sollen) - in diesem Sinne könnten auch "in einer Menge [mm] $\mathcal{L}$ [/mm]
gesammelte Parabel-Stücke" "Geraden" genannt werden!"
Zeigen wir erstmal, dass aus (i) auch in der Tat (ii) folgt:
Seien dazu $L [mm] \not=L'$ [/mm] beide in [mm] $\mathcal{L}$ [/mm] gelegen und wir nehmen
an, es wäre $|L [mm] \cap [/mm] L'| [mm] \ge 2\,.$ [/mm] Dann gibt es Punkte [mm] $P\,$ [/mm] und [mm] $P'\,,$ [/mm] die
beide sowohl in [mm] $L\,$ [/mm] als auch in [mm] $L'\,$ [/mm] liegen. Wieso ist das ein
Widerspruch zur Voraussetzung (i)?
Und das nun (ii) nicht (i) impliziert:
Wir definieren mal (in eigentlich unnötig komplizierte Weise) die Menge
[mm] $\mathcal{L}$ [/mm] durch
[mm] $$\mathcal{L}:=\{L_1,L_2\}\,,$$
[/mm]
wobei
[mm] $$L_1:=\{(x,y) \in \IR^2: -1 \le x < 2 \text{ und }y-4=2(x+2)^2\}$$
[/mm]
und
[mm] $$L_2:=\{(r,s) \in \IR^2: r \ge 0 \text{ und }s=12+3*r\}\,.$$
[/mm]
Warum ist (ii) erfüllt? Warum aber (i) nicht?
(Hinweis: Existiert denn für die Punkte [mm] $(0,1)\,$ [/mm] und [mm] $(0,5)\,$ [/mm] des
[mm] $\IR^2$ [/mm] ein [mm] $\tilde{L} \in \mathcal{L}\,,$ [/mm] so dass [mm] $\tilde{L}$ [/mm] diese beiden
erwähnten Punkte innehat? Das Problem ist also vll. EIN
EXISTENZPROBLEM...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Do 25.10.2012 | | Autor: | BTGrave |
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort =)
Ok jetzt verstehe ich auch den clou an (a)
Im grunde genommen betrachten wir den Beweis durch widersprich indem ich zeige, dass A [mm] \Rightarrow \neg [/mm] B einen Widerspruch auslöst und damit
A [mm] \Rightarrow [/mm] B belege
Jedoch verstehe ich die herangehensweise an (ii) impliziert (i) nicht, nicht :/
Wobei mein problem eher im verständnis der "Geraden" liegt, die du definierst. Ich kenne diese Dastellungsform noch nicht ^^ gelernt haben wir bisher nur:
[mm] \mathbb{L}_1:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax \cdot by =c\}
[/mm]
Ich verstehe zwar, dass du im Grunde eine Teilparabel aufziehst und durch diese eine Gerade laufen lässt, jedoch hatten wir bisher noch keine höhergradigen Gleichungen, dementsprechend darf ich soetwas noch nicht anwenden :/ andersrum, kann ich mir so auch keinen anderen weg erklären, wie es sonst gehen sollte.
Nebenfrage: Darf ich eine Normalparabel einfach so als "Gerade" betrachten, wenn dies vorher nicht genau definiert wurde? oder geht das nur mit teilbereichen einer Parabel?
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Hiho,
> Ok jetzt verstehe ich auch den clou an (a)
> Im grunde genommen betrachten wir den Beweis durch
> widersprich indem ich zeige, dass A [mm]\Rightarrow \neg[/mm] B
> einen Widerspruch auslöst und damit A [mm]\Rightarrow[/mm] B belege
Ja, einen Widerspruchsbeweis halt.
> Nebenfrage: Darf ich eine Normalparabel einfach so als
> "Gerade" betrachten, wenn dies vorher nicht genau definiert
> wurde? oder geht das nur mit teilbereichen einer Parabel?
Das ist der "Clou" (wie du es bezeichnen würdest), an der Aufgabe.
Alle Elemente einer Menge [mm] $\mathcal{L} \subset \mathcal{P}(E)$ [/mm] heißen eben "Geraden", egal wie sie aussehen und wie [mm] \mathcal{L} [/mm] definiert ist!
Nimm beispielsweise mal:
[mm] $\mathcal{L} [/mm] = [mm] \{\IR^2,\emptyset\}$, [/mm] diese erfüllt sowohl i) als auch ii) und beide Elemente, nämlich [mm] $\IR^2$ [/mm] und [mm] $\emptyset$ [/mm] nennen wir "Geraden".
Betrachte nun mal die triviale Menge [mm] $\mathcal{L} [/mm] = [mm] \{\emptyset\}$.
[/mm]
Was gilt dafür?
Kannst du das für beliebige einelementige Teilmengen von [mm] $\mathcal{P}(E)$ [/mm] verallgemeinern oder bedarf es dazu einer Zusatzbedingung?
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort =)
>
> Ok jetzt verstehe ich auch den clou an (a)
> Im grunde genommen betrachten wir den Beweis durch
> widersprich indem ich zeige, dass A [mm]\Rightarrow \neg[/mm] B
> einen Widerspruch auslöst und damit
> A [mm]\Rightarrow[/mm] B belege
>
> Jedoch verstehe ich die herangehensweise an (ii) impliziert
> (i) nicht, nicht :/
> Wobei mein problem eher im verständnis der "Geraden"
> liegt, die du definierst. Ich kenne diese Dastellungsform
> noch nicht ^^
wetten, dass doch - auch, wenn's Dir vielleicht nicht so ganz klar ist:
Betrachte mal [mm] $f(x):=2*(x-2)^2+4$ [/mm] für $-1 [mm] \le [/mm] x <2$
und $g(x):=12+3*x$ für $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Die Graphen dieser beiden Funktionen
sind genau das, was ich beschrieben habe: [mm] $L_1$ [/mm] ist der Graph von
[mm] $f\,,$ [/mm] und [mm] $L_2$ [/mm] ist der Graph von [mm] $g\,.$ [/mm] Und wenn man in der Schule
sagt, dass man eine Funktion zeichne/skizziere, dann zeichnet/skizziert
man eigentlich den Graphen der Funktion!
> gelernt haben wir bisher nur:
> [mm]\mathbb{L}_1:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax \cdot by =c\}[/mm]
Geh' bitte weg VON WIRKLICHEN GERADEN. In der Aufgabe hier ist eine
Gerade IRGENDEINE Teilmenge des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] die man in [mm] $\mathcal\{L\}$
[/mm]
"geworfen" hat. D.h. ist [mm] $\{(2,3),\;(4,5)\} \in \mathcal{L}\,,$ [/mm] so heißt
auch diese zweipunktige Menge "Gerade"!
> Ich verstehe zwar, dass du im Grunde eine Teilparabel
> aufziehst und durch diese eine Gerade laufen lässt, jedoch
> hatten wir bisher noch keine höhergradigen Gleichungen,
> dementsprechend darf ich soetwas noch nicht anwenden :/
Musst Du auch nicht!
> andersrum, kann ich mir so auch keinen anderen weg
> erklären, wie es sonst gehen sollte.
Dann mach's so trivial, wie es eben geht:
[mm] $$\mathcal{L}:=\{\emptyset\}\,$$
[/mm]
erfüllt alles aus (ii), aber (i) nicht...
Bzw. eigentlich geht's ja noch trivialer:
[mm] $$\mathcal{L}=\emptyset$$
[/mm]
geht auch. Denn jedes Element aus [mm] $\emptyset$ [/mm] gehört zu [mm] $\IR^2$ [/mm] - weil
es keines gibt, dass nicht zu [mm] $\IR^2$ [/mm] gehören könnte - und damit gibt's
in [mm] $\emptyset$ [/mm] aber auch keine Elemente, für die deren Schnitt echt mehr
als [mm] $1\,$ [/mm] Element haben könnten. Für je zwei Punkte gibt's dann aber
auch sicher kein Element aus [mm] $\emptyset$ [/mm] so, dass die beide darauf
liegen könnten. Mach' Dir bitte den Unterschied zwischen [mm] $\mathcal{L}=\emptyset$ [/mm] und [mm] $\mathcal{L}=\{\emptyset\}$ [/mm] klar!
> Nebenfrage: Darf ich eine Normalparabel einfach so als
> "Gerade" betrachten, wenn dies vorher nicht genau definiert
> wurde? oder geht das nur mit teilbereichen einer Parabel?
In [mm] $\mathcal{L}\,,$ [/mm] wenn nicht leer, müssen nur irgendwelche Teilmengen
des [mm] $\IR^2$ [/mm] gesammelt werden, um diese Geraden nennen zu dürfen.
Also ginge eine Normalparabel auch - aber [mm] $\{(1,5,7)\} \in \mathcal{L}$ [/mm]
etwa wäre nicht möglich.
Allerdings musst Du, wenn Du zeigen willst, dass (ii) nicht (i) impliziert,
natürlich schon [mm] $\mathcal{L}$ [/mm] "passend" definieren. Würdest Du etwa
[mm] $\mathcal{L}$ [/mm] als die Menge aller "wirklichen Geraden" (also aller
anschaulischen) definieren, so wäre das kein Gegenbeispiel.
Du könntest aber auch [mm] $\mathcal{L}:=\{(x,y) \in \IR^2: \exists m,n \in \IR: y=m*x+n \}$ [/mm] definieren - auch das wäre ein geeignetes Gegenbeispiel,
auch, wenn man erstmal meinen würde, dass so doch wirklich alle Geraden
des [mm] $\IR^2$ [/mm] erfasst seien. Sie sind es nicht. Welche fehlen wohl?
(Nicht nur die ...?-Achse nennen, sondern auch alle dazu par........)
Gruß,
Marcel
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