Beweis einer ellipse < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Mi 11.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Sei [mm] 0
1. Zeigen Sie, dass die Menge E eine Ellipse darstellt mit Zentrum 0. Die Gleichung einer horizontalen Ellipse um (0,0) in [mm] \IR^{2} [/mm] ist
[mm] (\bruch{x}{r_{1}})^{2} [/mm] + [mm] (\bruch{y}{r_{2}})^{2}=1. [/mm] |
Hallo zusammen,
bei dieser aufgabe weiß ich nicht wie ich da anfangen soll
also was ich weiß is dass der mittelpunkt im pkt (0,0) liegt und
dass eine horizontale ellipse deren hauptachse parallel zur x-achse liegt wie folge definiert ist:
[mm] (\bruch{x-x_o}{a^2})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{y-y_o}{b^2})^2= [/mm] 1
aber wie wende ich das jetzt auf meine aufgabe an?
wäre für jeden tipp dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Mi 11.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. einne Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, die von 2 Punkten - den Brennpunkten- konstante Summe des Abstands haben.
Damit ist aus der Def. klar, dass das ne Ellipse mit den Brennpunkten -a und +a ist.
Wenn du jetz die Gleichung herleiten willst, rechne einfach mit z=x+iy und rechne einfach nach.
Die Beträge hinschreiben und dann die Wurzeln auflösen.
anderer Weg: du kennst ja jetzt den Brennpunkt, daraus kannst du die Achsen a und b bestimmen und zeigen, dass die Punkte die Gl. erfüllen.
Dein [mm] x_0,y_0 [/mm] sind ja schon als 0 vorgegeben! (Mittelpunkt in 0! ausserdem grosse Achse r1=k/2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 11.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
wenn ich dann mache dann is doch
|z-a|+|z+a|= k
nachher [mm] x^2+y^2-a^2+x^2+y^2+a^2=k^2
[/mm]
dann wäre das doch [mm] 2x^2+ 2y^2=k^2
[/mm]
aber das sagt doch dann überhaupt nichts aus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mi 11.11.2009 | | Autor: | abakus |
> wenn ich dann mache dann is doch
> |z-a|+|z+a|= k
oder
|z-a|+|z-(-a)|= k
Das heißt:
Die Summe der Abstände von z zu a bzw. zu -a sind konstant (=k).
Damit sind a und -a die Brennpunkte, und der Ellipsenmittelpunkt liegt dazwischen - also bei z=0.
Gruß Abakus
> nachher [mm]x^2+y^2-a^2+x^2+y^2+a^2=k^2[/mm]
> dann wäre das doch [mm]2x^2+ 2y^2=k^2[/mm]
> aber das sagt doch
> dann überhaupt nichts aus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Mi 11.11.2009 | | Autor: | JulianTa |
Das stimmt, aber man muss es doch auch irgendwie rein rechnerisch hinkriegen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mi 11.11.2009 | | Autor: | JulianTa |
Das wäre ja schön, wenns so wär!
Man hat aber doch
$|z-a| + |z+a| = k$
$ [mm] \gdw \sqrt{(x-a)^2+y^2} [/mm] + [mm] \sqrt{(x+a)^2+y^2} [/mm] = k$
Jetzt muss man halt die Wurzeln wegkriegen, aber dann ergibt sich doch nach Binomischer Formel:
[mm] $(x-a)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 2 [mm] \cdot \sqrt{(x-a)^2+y^2} \cdot \sqrt{(x+a)^2+y^2} [/mm] + [mm] (x+a)^2+y^2 [/mm] = [mm] k^2$
[/mm]
Wie bekomme ich jetzt die mittlere Wurzel noch weg?
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hallo,
bevor du quadrierst, isoliere eine der wurzeln immer auf einer seite. dann solltest du keine probleme haben, dies auf die gewünschte form zu bringen.
lg,
exeqter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mi 11.11.2009 | | Autor: | JulianTa |
Das geht ja nicht, habe auf der anderen Seite ja eine Konstante, sodass dort auch eine Wurzel übrig bliebe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mi 11.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast ein Resultat mit noch einer Wurzel.bzw dem Produkt aus 2 en
diese auf eine Seite, Rest auf die andere Seite, dann nochmal quadrieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Mi 11.11.2009 | | Autor: | JulianTa |
ok, wie eine Ellipsengleichung sieht das jetzt aber beim besten WIllen nicht aus... mit den ganzen [mm] $x^2a^2$ [/mm] usw..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mi 11.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch mal auf was du hast! ich kann ja nicht raten
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Mi 11.11.2009 | | Autor: | JulianTa |
[mm] $(x^2+a^2+y^2-\frac{k^2}{2})^2 =-2x^2 -2a^2-2y^2$
[/mm]
[mm] $\gdw x^4 [/mm] + [mm] x^2a^2 [/mm] + [mm] x^2y^2 [/mm] - [mm] x^2\frac{k^2}{2} [/mm] + [mm] a^2x^2 [/mm] + [mm] a^4 [/mm] + [mm] a^2y^2 [/mm] - [mm] a^2\frac{k^2}{2} [/mm] + [mm] y^2x^2 [/mm] + [mm] y^2a^2 [/mm] + [mm] y^4 [/mm] - [mm] y^2\frac{k^2}{2} [/mm] - [mm] \frac{k^2}{2}x^2 [/mm] - [mm] \frac{k^2}{2}a^2 [/mm] - [mm] \frac{k^2}{2}y^2 [/mm] + [mm] (\frac{k^2}{2})^2 [/mm] = [mm] -2x^2-2a^2-2y^2$
[/mm]
Wenn du mich fragst: Da stimmt doch was nicht :)
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