Beweis eines Lehrsatzes < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | In einem geraden Pyramidenstumpf mit rechteckigen Grund- und Deckflächen werden die Raumdiagonalen von ihrem gemeinsamen Schnittpunkt in demselben Verhältnis geteilt, in dem die entsprechenden Seiten der Grund- und Deckfläche stehen. |
Hallo! 
Ich habe leider keine Ahnung ob meine Lösungsansätze so in Ordnung sind.
Meine Ansätze:
1.
Ich schneide den Pyramidenstumpf entlang zweier Raumdiagonalen auf. Grund- und Deckfläche werden beide in einer ihrer Kanten geschnitten. Die beiden Kanten sind sich in dem Pyramidenstumpf räumlich gesehen gegenüberliegend. Die Länge der Kanten ist entweder beidesmal die der Rechtecksseiten der Grund- und Deckfläche oder beidesmal die der kürzeren Rechecksseiten. Die entstehende Schnittfigur ist ein Trapez. Die Raumdiagonale, entlang derer ich geschnitten habe, sind die Diagonalen des Trapezes. Die Grundseite des Trapezes ist die Kante aus der Grundfläche und Deckseite ist die Kante aus der Deckfläche.
Denkt man sich nun die schrägen Seitenflächen weg, erkennt man, dass zwei Strahlen zwei palallele Geraden schneiden.
(Hier würde ich mit dem Strahlensatz rechnen)
2. Grund- und Deckfläche werden beide in einer ihrer Diagonalen geschnitten. Die entstehende Figur ist ein Trapez mit den Raumdiagonalen als Diagonalen im Trapez. Grundfläche ist die Diagonale aus der Grundfläche. Deckfläche ist die Diagonale aus der Deckfläche. Alle Diagonalen in ähnlichen Rechtecken haben das gleiche Verhältnis wie die Seitenflächen. Grund- und Deckfläche des Trapez haben das gliche Verhältnis wie die Seiten der Grund- und Deckfläche (Hier würde ich über Pytagoras beweisen).
Was hat diese Aufgabe mit Vektoren zu tun?
Ich habe die Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bitte helft mir.
Danke, Tanja
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> Was hat diese Aufgabe mit Vektoren zu tun?
Hallo,
Du kannst den Pyramidenstumpf ja so in ein dreidim. Koordinatensystem legen, daß eine Ecke der Grundfläche im Ursprung liegt, und zwei Seiten der Grundfläche auf der x- bzw. y-Achse.
Beträgt die Lange der einen Seite a und die der anderen b, so sind die Ortsvektoren der 4 Punkte der Grundfläche
[mm] \overrightarrow{00}= \vektor{0 \\ 0\\0}, [/mm]
[mm] \overrightarrow{0A}= \vektor{a \\ 0\\0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{0B}= \vektor{0 \\ b\\0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{0C}= \overrightarrow{0A}+\overrightarrow{0B}= \vektor{a \\ b\\0}
[/mm]
Wenn Du die Höhe der Gesamtpyramide h nennst, kannst Du den Ortsvektor der Spitze ermitteln,
und aus den Kantenvektoren die Lage der Eckpunkte der Deckfläche Deines Kegelstumpfes.
Wenn Du die hast, kannst Du die Gleichungen der Raumdiagonalen aufstellen und ihren Schnittpunkt berechnen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Sa 13.10.2007 | | Autor: | riwe |
naja, hat schon was mit vektoren zu tun, zumindest kann man diesen satz schön mit ihnen beweisen.
mit den bezeichnungen im bilderl, also den 3 linear unabhängigen vektoren [mm] \vec{a}=\overrightarrow{AB}, \vec{b}=\overrightarrow{AD}, \vec{c}=\overrightarrow{AE} [/mm] und dem verhältnis der grundseiten zu denen der deckfläche [mm] \lambda [/mm] gilt:
[mm] \overrightarrow{AG}=\vec{c}+\lambda\cdot (\vec{a}+\vec{b})
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CE}=\vec{c}-\vec{a}-\vec{b}
[/mm]
damit hast du den geschlossenen vektorzug ASCA:
[mm] \mu\cdot (\vec{c}+\lambda\cdot (\vec{a}+\vec{b}))=\vec{a}+\vec{b}+\nu\cdot(\vec{c}-\vec{a}-\vec{b})
[/mm]
[mm] \vec{a}\cdot (\mu\cdot\lambda -1+\nu)+\vec{b}\cdot (\mu\cdot\lambda -1+\nu)+\vec{c}\cdot (\mu [/mm] - [mm] \nu) =\vec{o}
[/mm]
daraus ergibt sich wegen der linearen unabhängigkeit
[mm] \mu=\nu =\frac{1}{1+\lambda} [/mm] qued
denn aus [mm] \overline{AS}=\mu=\frac{1}{1+\lambda} [/mm] folgt [mm] \overline{SG}=\frac{\lambda}{1+\lambda} [/mm]
und damit wie gewünscht
[mm] \frac{\overline{SG}}{\overline{AS}}=\lambda
[/mm]
als fleißaufgabe kannst du das nun noch für die anderen raumdiagonalen zeigen, und dass sich diese alle im punkt S schneiden, was allerdings eh aus der symmetrie folgt, denke ich.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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