Beweis eines Satzes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 29.03.2005 | | Autor: | tobes |
Hi!
Ich weiß nicht, ob dieser Post unbedingt in die Kategorie "Uni-Numerik" passt, aber ich wusste auch nicht, wo ich sie sonst posten sollte. Vllt. könnt ihr mir ja trotzdem weiterhelfen.
Es geht um den Beweis eines Satzes. Deshalb hier erstmal der Satz.
Satz.
Hat eine ganze Zahl bei Teilung durch 4 den Rest 3, dann hat sie (diese Zahl) einen Primfaktor, der sich als 4m+3 mit ganzzahligem m darstellen lässt.
Dazu ein Beispiel:
Die Zahl 15 hat bei Teilung durch 4 den Rest 3: (15 mod 4) = 3.
In Primfaktoren zerlegt ist 15 als 3*5 darstellbar.
3 ist ein Primfaktor, der sich mit m=0 als 4m+3 darstellen lässt.
Mein Frage zielt nun auf den Beweis dieses Satzes ab. Ich hab versucht den Satz zu beweisen, bin aber sehr unsicher, ob mein Beweis richtig ist. Würde mich freuen, wenn ihr meinen Beweis kommentieren könntet oder gar noch eigene Beweise zu diesem Satz finden könntet.
Mein "Beweisversuch":
Offensichtlich gilt:
(I) (a mod 4)=3 [mm] \Rightarrow [/mm] a=4x+3 mit a,x [mm] \in \IZ, [/mm] x geeignet.
Wenn a selbst prim ist, dann ist nichts zu zeigen.
Wenn a aber nicht prim ist, dann bleibt zu zeigen, dass es eine Zahl darstellbar als 4m+3 (m [mm] \in \IZ) [/mm] gibt, die a teilt.
Da a nicht prim ist, können wir sie als Primfaktorzerlegung darstellen.
[mm] p_{i} [/mm] bezeiche alle n Primfaktoren von a.
[mm] a=p_{1}*p_{2}*p_{3}*\ldots*p_{n} [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
[mm] p1=\bruch{a}{p_{2}*p_{3}*\ldots*p_{n}} [/mm] und selbstverständlich p1 [mm] \in \IZ.
[/mm]
Mit [mm] m:=\bruch{x}{p_{2}*p_{3}*\ldots*p_{n}}-\bruch{3}{4}*(1-\bruch{1}{p_{2}*p_{3}*\ldots*p_{n}})
[/mm]
exisitiert also m, sodass [mm] p_{1}=4m+3 [/mm] gilt. Es existiert also eine Primzahl 4m+3, die a teilt.
Bleibt zu zeigen, dass jetzt m [mm] \in \IZ [/mm] gilt.
Diesen Schritt bekomm ich noch nicht hin, aber ich meine, dass der Beweis dann vollständig wäre?!
Dieser letzte Schritt ist überhaupt erst die Schwierigkeit bzw. der eigentliche Inhalt dieses Beweises, oder?
So, jetzt brauch ich eure Hilfe.
1) Ist der Beweis (abgesehen, vom Ende) richtig? Kann man das überhaupt so machen, oder ist der Satz so trivial, dass er evtl. gar keinen Beweis benötigt? Ist der Beweis zu umständlich? Gehts einfacher?
2) Wie zeige ich am Ende, dass m [mm] \in \IZ [/mm] gilt?
3) Hat jemand vllt. einen schöneren, einfacheren Beweis?
Vielen Danke für euer Hilfe.
tobes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Di 29.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo tobes!
Der Beweis führt so nicht zum Ziel, jedenfalls nicht besonders elegant (aus meiner Sicht direkt gar nicht).
Die Aussage ist aber viel einfacher:
Wären alle Primfaktoren kongruent zu $1$ modulo $4$, dann auch ihr Produkt, Widerspruch, fertig.
Versuche die letzte Aussage mal zu beweisen. Mit etwas Kenntnis der Kongruenzrechnung ist sie wegen [mm] $\bar{1}_4 \cdot \bar{1}_4 [/mm] = [mm] \overline{1 \cdot 1}_4 [/mm] = [mm] \bar{1}_4$ [/mm] ("repräsentantenweises" Rechnen im Ring [mm] $\IZ/4\IZ$) [/mm] trivial.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Di 29.03.2005 | | Autor: | tobes |
Hi Stefan!
Danke für die Antwort.
Ich hab aber zu deinem Beweis noch ne Frage.
Du verwendest ja die Tatsache, dass sich alle Primzahlen in zwei (bzw. drei) Kategorien einteilen lassen; "4k+1"- und "4k+3"-Primzahlen (und die Zahl 2).
Kann ich das an der Stelle einfach als bewiesen voraussetzen oder ist der Beweis dafür so trivial, dass man ihn einfach nicht nennt?! ...
Gibt es vielleicht trotzdem eine Möglichkeit meinen Beweisgang (sofern, er überhaupt sinnvoll ist) durch den Beweis der Ganzzahligkeit von m am Ende zu vervollständigen?
Viele Grüße
tobes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Di 29.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Naja, im Falle $p=4k+2$ oder $p=4k$ wäre $p$ gerade (was nur für $k=0$ möglich wäre). Aber den Fall $p=2$ kann man ausschließen, weil dann auch das Produkt gerade wäre (und damit sicherlich nicht von der Form $4n+1$).
Ich sehe leider nicht, wie man deinen Beweis retten könnte.
Aber so, wie ich es gemacht habe, ist es doch eh viel einfacher, oder etwa nicht?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 Mi 30.03.2005 | | Autor: | tobes |
Danke nochmal für die wieder sehr schnelle Antwort.
Jetzt ist mir das endlich alles klar, wonach ich die ganze Zeit gesucht hab. Vielen Dank.
Dabei isses so simpel, eigentlich.
Ist ja klar, dass Primzahlen nur vom Typ "4k+1" oder "4k+3" sein können, da sie nicht gerade sein können. Dumm von mir.
Gruß
tobes
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