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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Sa 31.12.2005 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Es gibt eine Zahl a.
[mm] a=p_{1}^{ \alpha_{1}}*p_{2}^{ \alpha_{2}}*...*p_{r}^{ \alpha_{r}}
[/mm]
p sind die Primzahlen und [mm] \alpha [/mm] sind die Potenzen der jeweiligen Primzahlen. Also wie oft sich die Primzahl wiederholt.
Die Menge
[mm] b=p_{1}^{ \beta_{1}}*p_{2}^{ \beta_{2}}*...*p_{r}^{ \beta_{r}}
[/mm]
für die gilt: 0 [mm] \le\beta_{r}\le\alpha_{r}
[/mm]
ist die Menge aller Teiler von a.
Die Behauptung ist zu beweisen.
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Ich habe hier mal versucht es zu beweisen und würde mich freuen wenn mal einer drüberschauen könnte, ob der Beweis überhaupt einen Sinn macht.
Beispiel: [mm] 144=2^4*3^2, [/mm] wobei die 2 ein Primzahlfaktor ist und die 3 der andere Primzahlfaktor. 4 ist also [mm] \alpha_{1} [/mm] und 2 ist [mm] \alpha_{2}.
[/mm]
b ist nun die Menge aller Teiler von a, also: [mm] b=2^4*3^2, [/mm] so wie angegeben.
Also ist [mm] 2^1=2 [/mm] ein Teiler oder [mm] 2^2=4 [/mm] ein Teiler usw.
Also ist in diesem Beispiel [mm] \alpha_{1}=4=\beta_{1} [/mm] und [mm] \alpha_{2}=2=\beta_{2}, [/mm] wie vorausgesetzt.
Dies erstmal allgemein zum Verständnis.
Nun meine Folgerung:
Angenommen [mm] \beta_{1} [/mm] wäre in diesem Fall nicht 4 sondern 5, dann würde b größer werden als a. Da aber b die Menge aller Teiler von a sein soll so wie vorausgesetzt, muß b kleiner sein als a, sonst könnte b kein Teiler mehr von a sein, dies wäre also ein Widerspruch zu der Voraussetzung und somit muss das Gegenteil gelten, nämlich das b kleiner sein muß als a und somit auch [mm] \beta_{r}\le\alpha_{r}.
[/mm]
Somit wäre meiner Meinung nach die Sache bewiesen, indem ich gezeigt habe, daß das Gegenteil zu einem Widerspruch führt.
Gruß,
clwoe
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Hallo,
naja, also vom Verständnis her scheinen ja keine Probleme vorzuliegen, dennoch ist mir nicht ganz klar, welche Aussage zu beweisen ist, zudem sollte man das vielleicht etwas formaler aufschreiben.
Wenn ich recht sehe, ist eine (ganze) Zahl [mm] $a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}$ [/mm] mit ihrer Primfaktorzerlegung gegeben.
Zu zeigen ist:
[mm] $b\in B:=\{p_1^{\beta_1}\cdots p_n^{\beta_n} \mid 0\le\beta_i\le\alpha_i \ \forall i\in\{1,\dots,n\}\} [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] b\mid [/mm] a$
Es sind also hier zwei Richtungen zu zeigen.
1. $b_$ (wie oben) teile $a_$.
Dann ist zu zeigen, daß dann für alle i aus 1,...,n [mm] $0\le\beta_i\le\alpha_i$ [/mm] gilt.
Angenommen nicht.
Dann existiert [mm] $j\in\{1,\dots,n\}$ [/mm] mit [mm] $\beta_j>\alpha_j$.
[/mm]
Dann ist aber [mm] $k:=\frac{a}{b}=\frac{p_1^{\alpha_1}\cdots p_j^{\alpha_j}\cdots p_n^{\alpha_n}}{p_1^{\beta_1}\cdots p_j^{\beta_j}\cdots p_n^{\beta_n}}=\frac{p_1^{\alpha_1}\cdots p_{j-1}^{\alpha_{j-1}}p_{j+1}^{\alpha_{j+1}}\cdots p_n^{\alpha_n}}{p_1^{\beta_1}\cdots p_j^{\beta_j-\alpha_j}\cdots p_n^{\beta_n}}$
[/mm]
Da [mm] $\beta_j>\alpha_j$, [/mm] ist [mm] $\beta_j-\alpha_j\in\IN$ [/mm] und, da die [mm] $p_i$ [/mm] prim sind, ist keiner der Faktoren im Zähler durch [mm] $p_j^{\beta_j-\alpha_j}$ [/mm] teilbar, also $k_$ keine ganze Zahl, Widerspruch zur oben geforderten Teilbarkeit.
Also gilt [mm] $b\mid [/mm] a [mm] \Rightarrow b\in [/mm] B$.
Nun zur anderen Richtung. Sei [mm] $b\in [/mm] B$, d.h. [mm] $0\le\beta_i\le\alpha_i [/mm] \ [mm] \forall i\in\{1,\dots,n\}$. [/mm] Dann ist also [mm] $\alpha_i-\beta_i\in \IN_0$, [/mm] es gilt also
[mm] $\frac{a}{b}=\frac{p_1^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}}{p_1^{\beta_1}\cdots p_n^{\beta_n}}=p_1^{\alpha_1-\beta_1}\cdots p_n^{\alpha_n-\beta_n}\in \IZ$, [/mm] mit anderen Worten, $b_$ teilt $a_$.
Also gilt auch [mm] $b\in B\Rightarrow b\mid [/mm] a$, damit folgt die Aussage.
Gruß und guten Rutsch,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 So 01.01.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
danke erstmal für die schnelle Antwort. Den Beweis den du gebracht hast habe ich nachvollzogen und auch verstanden.
Nur, ist mein Beweis, der natürlich nicht so formell war wie deiner vom Prinzip her richtig???
Nur damit ich sehe, ob ich es richtig verstanden habe und ob ich das Problem richtig angegangen bin.
Gruß,
clwoe
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Hallo.
Das Prinzip war schon richtig, doch hast Du nur die eine Richtung gezeigt, nämlich daß [mm] $b\mid [/mm] a [mm] \Rightarrow b\in [/mm] B$ gilt.
Zudem mußt Du aufpassen, daß Du sauber zwischen den Elementen einer Menge und der Menge selbst unterscheidest. Das wird in Deiner Schreibweise manchmal nicht ganz deutlich.
Gruß,
Christian
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