Beweis erstes Potenzgesetz < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
zum ersten Potenzgesetz
[mm]a^r \cdot a^s = a^{r+s}[/mm]
habe ich in einem offiziellen Schulbuch diesen Beweis gefunden, der mir fragwürdig erscheint:
Es sei r=[mm]\bruch{m}{n}[/mm] und s=[mm]\bruch{p}{q}[/mm]
(mit m,p[mm]\in \IZ[/mm], n,q[mm]\in \IZ[/mm])
Dann gilt:
[mm](a^r \cdot a^s)^{n \cdot q} = (a^\bruch{m}{n} \cdot a^\bruch{p}{q})^{n \cdot q} = (\wurzel[n]{a^m} \cdot \wurzel[q]{a^p})^{n \cdot q} = (\wurzel[n]{a^m})^{n \cdot q} \cdot (\wurzel[q]{a^p})^{n \cdot q}[/mm]
= [mm]((\wurzel[n]{a^m})^{n})^{q} \cdot ((\wurzel[q]{a^p})^{q})^{n}
= (a^m)^q \cdot (a^p)^n = a^{m \cdot q} \cdot a^{p \cdot n}[/mm]
Bis hierher alles o.k., doch jetzt kommt der für mich problematische Schritt:
[mm]a^{m \cdot q} \cdot a^{p \cdot n} = a^{m \cdot q + p \cdot n}[/mm]
In diesem Schritt hat man GENAU DAS Gesetz benutzt, das doch eigentlich erst bewiesen werden soll...- oder bin ich blind?
(Der Rest des Beweises ist dann wieder klar:)
Aus [mm](a^r \cdot a^s)^{n \cdot q} = a^{m \cdot q + p \cdot n} [/mm] folgt:
[mm]a^r \cdot a^s = \wurzel[n \cdot q]{a^{m \cdot q + p \cdot n}} = a^\bruch{m \cdot q + p \cdot n}{n \cdot q} = a^{\bruch{m}{n} + \bruch{p}{q}} = a^{r+s}[/mm]
Ich danke für alle Hinweise, ob ich was übersehen habe.
Wenn ihr aber auch meint, dieser Beweis sei unzulässig, weil man das, was bewiesen werden soll, für den Beweis benutzt hat, so bitte ich ebenfalls um Mitteilung.
Vielen Dank im Voraus von
Herbie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Mo 10.09.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Herbie! Und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> zum ersten Potenzgesetz
> [mm]a^r \cdot a^s = a^{r+s}[/mm]
> habe ich in einem offiziellen
> Schulbuch diesen Beweis gefunden, der mir fragwürdig
> erscheint:
>
> Es sei r=[mm]\bruch{m}{n}[/mm] und s=[mm]\bruch{p}{q}[/mm]
> (mit m,p[mm]\in \IZ[/mm], n,q[mm]\in \IZ[/mm])
> Dann gilt:
> [mm](a^r \cdot a^s)^{n \cdot q} = (a^\bruch{m}{n} \cdot a^\bruch{p}{q})^{n \cdot q} = (\wurzel[n]{a^m} \cdot \wurzel[q]{a^p})^{n \cdot q} = (\wurzel[n]{a^m})^{n \cdot q} \cdot (\wurzel[q]{a^p})^{n \cdot q}[/mm]
> = [mm]((\wurzel[n]{a^m})^{n})^{q} \cdot ((\wurzel[q]{a^p})^{q})^{n}
= (a^m)^q \cdot (a^p)^n = a^{m \cdot q} \cdot a^{p \cdot n}[/mm]
>
> Bis hierher alles o.k., doch jetzt kommt der für mich
> problematische Schritt:
> [mm]a^{m \cdot q} \cdot a^{p \cdot n} = a^{m \cdot q + p \cdot n}[/mm]
>
> In diesem Schritt hat man GENAU DAS Gesetz benutzt, das
> doch eigentlich erst bewiesen werden soll...- oder bin ich
> blind?
Zunächst einmal würde ich nicht alles, was in einem Schulbuch 'Beweis' genannt wird, als strengen Beweis im mathematischen Sinne akzeptieren. Hauptsächlich deswegen, weil in der Schule keine axiomatische Basis gelegt wird. (Was kein Vorwurf an die Schule sein soll.)
In deinem Fall wird mit 2 verschiedenen Potenzgesetzen hantiert: Bewiesen werden soll dasjenige für rationale Exponenten, und dabei benutzt wird dasjenige für ganzzahlige Exponenten(, welches früher bewiesen wurde oder anschaulich klar ist).
> (Der Rest des Beweises ist dann wieder klar:)
> Aus [mm](a^r \cdot a^s)^{n \cdot q} = a^{m \cdot q + p \cdot n}[/mm]
> folgt:
> [mm]a^r \cdot a^s = \wurzel[n \cdot q]{a^{m \cdot q + p \cdot n}} = a^\bruch{m \cdot q + p \cdot n}{n \cdot q} = a^{\bruch{m}{n} + \bruch{p}{q}} = a^{r+s}[/mm]
Hier wird implizit benutzt, daß das Potenzieren eine bijektive Abbildung ist, was nur stimmt, wenn man Bild- und Wertebereich richtig wählt. Aber für ein Schulbuch ist das wohl OK, denkichmal. Schließlich hat es den Segen irgend eines KuMis.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
vielen Dank für die Antwort und die nette Begrüßung im Forum!
Dennoch habe ich deine Antwort nicht verstanden.
Bewiesen werden sollte explizit das erste Potenzgesetz, und wohl für ganzzahlige Exponenten:
[mm] a^{r} \cdot a^{s} [/mm] = [mm] a^{r + s}
[/mm]
Mir ist nach wie vor nicht einsichtig, warum man für die Beweisführung genau die Eigenschaft verwenden darf, die doch eigentlich erst bewiesen werden soll. Auch wenn's in einem "genehmigten" Mathebuch steht...
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Es handelt sich um einen Beweis, dass das Potenzgesetz für rationale (also gebrochene) Exponenten gilt (unter der Voraussetzung, dass es für ganzzahlige Exponenten gilt) Der vollständige Beweis würde (vielleicht) so laufen:
1) Beweis, dass das Potenzgestz für natürliche Zahlen gilt
2) Beweis, dass das Potenzgesetz für negative Zahlen gilt, wenn man 1/a als a hoch -1 definiert.
3) Beweis, dass das Potenzgesetz für rationale Hochzahlen gilt.
4) Beweis, dass das Potenzgesetz auch für irrationale Zahlen gilt.
1) beweist man mit vollständiger Induktion
2) durch Anwendung der Definition
3) wie in dem Buch
4) durch Intervallschachtelung unter Verwendung der Tatsache, dass das Potenzieren injektiv bzw. monoton ist.
Wobei man sich beim Beweis des einen immer auf die vorigen Tatsachen stützt.
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