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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:55 Do 15.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Seien V,W K-Vektorräume und A:V [mm] \rightarrow [/mm] W eine lineare Abbildung: Sei U [mm] \subseteq [/mm] W ein Unterraum. Zeige
[mm] A^\* (U^{orthogonal})=(A^{-}(U))^{orthogonal}. [/mm] |
Hat einer eine Idee zu dieser Aufgabe?
Und wie gibt man orthogonal in den Rechner ein? Ich habe das Zeichen im Formeleditor leider nicht gefunden.
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> Seien V,W K-Vektorräume und A:V [mm]\rightarrow[/mm] W eine lineare
> Abbildung: Sei U [mm]\subseteq[/mm] W ein Unterraum. Zeige
>
> [mm]A^\* (U^{orthogonal})=(A^{-}(U))^{orthogonal}.[/mm]
> Hat einer
> eine Idee zu dieser Aufgabe?
> Und wie gibt man orthogonal in den Rechner ein? Ich habe
> das Zeichen im Formeleditor leider nicht gefunden.
Hallo,
bei den Eingabehilfen unterhalb des Eingabefensters findest Du [mm] \perp [/mm] , perp mit einem backslash davor.
Das scheint mir aber das geringste Problem zu sein...
Vielleicht erklärst Du uns erstmal, was Du mit [mm] A^\* [/mm] und [mm] A^{-} [/mm] meinst.
Dann reicht es nicht, wenn V, W K-VRe sind. Das sollen doch bestimmt VR mit Skalarprodukt sein, oder?
Als erster Lösungsansatz wäre es sicher sinnvoll, zunächst einmal aufzuschreiben, was mit diesem orthogonalen Komplement gemeint ist.
Dann solltest Du Dir klarmachen, daß nicht, wie Du in der Überschrift schreibst, die Gleichheit zweier linearer Abbildungen zu zeigen ist, sondern daß es um die Gleichheit von Mengen bzw. VRen geht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Fr 16.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Angela,
danke für deine schnelle Antwort. Das [mm] A^{-} [/mm] steht für das Urbild von A und [mm] A^{ \* } [/mm] ist der Dualraum zu A.
Gruß DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Fr 16.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Meinst Du mit A* den zu A dualen Operator, also A*: W*--> V* ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Fr 16.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ja genau.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Fr 16.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Jetzt mußt Du doch nur noch nachrechnen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Fr 16.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich denke mir:
[mm] A^{ \* } \in Hom(V^{ \* },W^{ \* })
[/mm]
[mm] U^{ \perp }=KerR, [/mm] R ist eine Restriktion von V nach U
Was meinst du mit einfach ausrechnen? Wenn ich wüsste, wie man das einfach ausrechnet hätte ich die Frage doch nicht reingestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Fr 16.05.2008 | | Autor: | fred97 |
1.Schreibt doch mal die Def. von Uorthogonal auf
2. Wie hängen A und A^* zusammen (Def. von A^*)
Wenn Du diese Definitionen nicht zur Verfügung hast , kann Dir auch nicht geholfen werden !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Fr 16.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
[mm] (A^{ \* }f)(v)=f(Av) [/mm] für v [mm] \in [/mm] V und f [mm] \in W^{\*}
[/mm]
[mm] U^{\perp}=\left\{f|f \in V^{\*}, f(u)=0 \forall u \in U\right\}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Fr 16.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal eine Richtung vor, wobei ich mit U^+ den Orthogonalraum zu U bez.8Ich komme mit dem Formeleditor nicht besonders gut zurecht, hoffe aber trotzdem, dass Du mir folgen kannst)
Sei g ein El. aus A*(U^+), also ex. ein f in U^+ mit g=A*f.
Jetzt ist zu zeigen: g(z)=0 für jedes z in V mit Az in U.
Es ist g(z) = (A*f)(z) = f(Az) = 0 (das letzte Gleicheitszeichen gilt, weil Az in U und f in U^+ liegt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Fr 16.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
g(z)=0 muss deshalb sein, weil auf der rechten Seite nur Elemente stehen, die auf 0 abgebildet werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Fr 16.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein !
Ich habe den Eindruck, dass Du keinen der Begriffe und keine der Definitionen, die Du für diese Aufgabe benötigst, wirklich kennst und auch verstanden hast.
Also: mache dir klar, was der zu A duale Operator ist und mache dir klar was U^+ bedeutet. Mache Dir weiter klar, wie man die Gleichheit zweier Mengen beweist.
Dass die linke Menge Teilmenge der rechten ist, habe ich dir gezeigt.
Wenn dir die begriffsbildungen klar sind, müßtest du eigentlich verstehen, was ich gemacht habe.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:26 Sa 17.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 1.Schreibt doch mal die Def. von Uorthogonal auf
> 2. Wie hängen A und A^* zusammen (Def. von A^*)
Kann es sein, dass mit [mm] $A^\ast$ [/mm] nicht der duale Operator (im Sinne von Dualraum) gemeint ist, sondern der adjungierte Operator? Andernfalls macht es auch keinen Sinn, [mm] $A^\ast$ [/mm] auf [mm] $U^\perp$ [/mm] loszulassen, da [mm] $U^\perp$ [/mm] eine Teilmenge von $W$ ist und der duale Operator eine Abbildung von [mm] $W^\ast$ [/mm] nach [mm] $V^\ast$ [/mm] ist, der adjungierte Operator dagegen eine von $W$ nach $V$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:17 Mo 19.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Nirgendwo steht, dass V und W Innenprodukträume oder Hilberträume sind
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:19 Mo 19.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Laut Aufgabenstellung sind V und W Vektorräume.
Dann sind A*, W* und V* rein algebraisch zu verstehen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Mo 19.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Fred
> Laut Aufgabenstellung sind V und W Vektorräume.
> Dann sind A*, W* und V* rein algebraisch zu verstehen
Die Frage ist dann, was mit ``orthogonal'' gemeint ist, wenn kein Skalarprodukt vorhanden ist.
Sollen [mm] $U^\bot$ [/mm] vielleicht die Linearformen sein, die vollstaendig auf dem Unterraum $U$ verschwinden? Also fuer $U [mm] \subseteq [/mm] V$ gilt [mm] $U^\bot [/mm] = [mm] \{ f \in V^\ast \mid f|_U = 0 \}$?
[/mm]
Das koennte natuerlich sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:44 Di 20.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Genauso ist es !
Bem.: ist X ein topologischer Vektorraum, so verwndet man natürlich stetige Linearformen.
Hat man aber keine topologische Struktur,so zieht man alle Linearformen heran.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Di 20.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Fred,
> Genauso ist es !
ah super. So versteh ich das dann auch 
> Bem.: ist X ein topologischer Vektorraum, so verwndet man
> natürlich stetige Linearformen.
> Hat man aber keine topologische Struktur,so zieht man alle
> Linearformen heran.
Klar. Und wenn man einen Hilbertraum hat, nimmt man halt das Skalarprodukt :)
LG Felix
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