Beweis für Ungleichungen mit < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seueb a,b reelee Zahlen. Zeige: Für jedes [mm] \varepsilon [/mm] größer 0 gelten die Ungleichungen:
2ab [mm] \le \varepsilon^{2}*a^2 [/mm] + [mm] 1/\varepsilon^2*ab^2 [/mm] und
[mm] (a+b)^2 \le(1+\varepsilon^2)*a^2 [/mm] + (1+ [mm] 1/\varepsilon^2)*b^2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Huhu hat jemand eine Art Ansatz zumindest für mich? ich weiss dass die ungleichungen prinzipiel die gleichen sind, nur anders geschrieben. Würde mich sehr über einen Lösungsansatz freuen :)
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sry in der ersten Ungleichung heisst es am ende nicht [mm] 1/\varepsilon^2 [/mm] * [mm] ab^2 [/mm] sondern ohne a nur [mm] b^2
[/mm]
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Dear Ms. Snowley, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
edit: nach Korrektur der Aufgabe ist dieser Beitrag hier eigentlich hinfällig. Trotzdem noch ein paar Nachträge am Ende...
Vorab: die Angabe "Kantstr." ist genial. Ich habe mal in der Schillerstraße gewohnt (später auch bei Haydn), vermutlich nicht weit weg, egal in welcher Stadt.
> Es seueb a,b reelee Zahlen. Zeige: Für jedes [mm]\varepsilon[/mm]
> größer 0 gelten die Ungleichungen:
Aha. Du kannst also das Zehnfingersystem (touch typing). Sonst ist "seueb" für "seien" nicht recht erklärlich.
> 2ab [mm]\le \varepsilon^{2}*a^2[/mm] + [mm]1/\varepsilon^2*ab^2[/mm] und
>
> [mm](a+b)^2 \le(1+\varepsilon^2)*a^2[/mm] + (1+ [mm]1/\varepsilon^2)*b^2[/mm]
>
> Huhu hat jemand eine Art Ansatz zumindest für mich? ich
> weiss dass die ungleichungen prinzipiel die gleichen sind,
> nur anders geschrieben.
Ja, das ist offenbar äquivalent umzuformen. Die Ungleichungen gelten (wenn sie denn gelten) wegen der Quadrate sogar für jedes [mm] \varepsilon\not=0 [/mm] .
> Würde mich sehr über einen
> Lösungsansatz freuen :)
Nehmen wir mal die erste Form der Ungleichung. Für a=0 gilt sie offenbar. Für [mm] a\not=0 [/mm] kann man die Ungleichung durch a teilen:
[mm] 2b\le\varepsilon^2*a+\bruch{1}{\varepsilon^2}b^2
[/mm]
Wenn wir nun ein bisschen umstellen, zeigt sich
[mm] a\ge \bruch{2}{\varepsilon^2}b-\bruch{1}{\varepsilon^4}b^2
[/mm]
Diese Ungleichung soll nun für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] und alle [mm] a,b\in\IR [/mm] gelten.
Wenn nun [mm] \varepsilon [/mm] und b gegeben sind, kann man aber immer a so wählen, dass die Ungleichung nicht erfüllt ist.
edit: Wenn man durch a teilt, muss man natürlich noch darauf achten, ob das Relationszeichen umgekehrt werden muss (bei negativem a). Aber das können wir uns jetzt ja alles sparen, incl. aller sonst noch nötigen Fallunterscheidungen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 So 16.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Die erste Ungl. lautet also so:
2ab $ [mm] \le \varepsilon^{2}\cdot{}a^2 [/mm] $ + $ [mm] 1/\varepsilon^2\cdot{}b^2 [/mm] $
Betrachte [mm] (\varepsilon*a-b/ \varepsilon)^2
[/mm]
Bei
$ [mm] (a+b)^2 \le(1+\varepsilon^2)\cdot{}a^2 [/mm] $ + (1+ $ [mm] 1/\varepsilon^2)\cdot{}b^2 [/mm] $
alles schön ausmultiplizieren.
FRED
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Huhu danke für Antwort:)
ist damit denn der Beweis erbracht wenn ich die 3. binomische fformel betrachte die du erstellt hast? ( dass die ungleichungen für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt)? würde ich kleine werte wie b = 2 und a =3 einsetzen würde die ungleichung doch nicht stimmen oder? oder übersehe ich das was?
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Hallo Evelyn,
die korrigierte Ungleichung gefällt mir viel besser. 
> ist damit denn der Beweis erbracht wenn ich die 3.
> binomische fformel betrachte die du erstellt hast? ( dass
> die ungleichungen für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gilt)?
Es ist die 2. binomische Formel...
Und die Ungleichung gilt für jedes [mm] \varepsilon\not=0.
[/mm]
Ja, der Beweis ist so doch ganz leicht zu erbringen. [mm] 0\le{c^2} [/mm] gilt doch für alle [mm] c\in\IR.
[/mm]
> würde
> ich kleine werte wie b = 2 und a =3 einsetzen würde die
> ungleichung doch nicht stimmen oder? oder übersehe ich das
> was?
Ja, da übersiehst Du was.
Der Sinn eines Beweises besteht aber auch darin, dass man alle Fälle erfasst - und eben nichts übersieht.
Mit Freds Tipp und einer einzigen Äquivalenzumformung bist Du doch am Ziel.
Grüße
reverend
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Ich danke euch für die Erklärungen :) ich habs jetzt verstanden weil ihr es sehr leicht verständlich erklärt habt und ich es gut nachvollziehen kann. ich brauche definitiv ein besseres auge für die bin formel^^ Nochmals danke ;)
Evelyn
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