Beweis gleichseitiges Dreieck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mo 04.03.2013 | | Autor: | Sira10 |
| Aufgabe | | Wie kann ich Beweisen, dass alle Winkel im gleichseitigen Dreieck gleich groß sind? |
Also ich hab mein Dreieck schon in der Mitte geteilt und dann mit dem Kongruentsatz sss beweisen das beide Hälften konguent sind.
also gilt:
alpha+90°+1/2gamma=beta+90°+1/2gamma
oder
alpha+90°+1/2gamma=alpha+90°+1/2gamma
und dann komm ich nicht mehr weiter :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mo 04.03.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Sira10!
> Wie kann ich Beweisen, dass alle Winkel im gleichseitigen
> Dreieck gleich groß sind?
> Also ich hab mein Dreieck schon in der Mitte geteilt und
> dann mit dem Kongruentsatz sss beweisen das beide Hälften
> konguent sind.
> also gilt:
> alpha+90°+1/2gamma=beta+90°+1/2gamma
> oder
> alpha+90°+1/2gamma=alpha+90°+1/2gamma
> und dann komm ich nicht mehr weiter :(
Du hast also: [mm]\alpha + 90^\circ + \frac\gamma 2 = \beta + 90^\circ + \frac\gamma 2[/mm]
Das ist äquivalent zu [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \beta$
[/mm]
Teile jetzt das Dreieck an einer anderen Ecke, z.B. so, dass der Winkel [mm] $\alpha [/mm] $ halbiert wird.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mo 04.03.2013 | | Autor: | Sira10 |
Danke erstmal für de Antwort udn stimmt so gehts! Aber ich gluabe mein Lehrer meinte wri sollen es nicht so lösen da es eine schnellere unkompliziertere Lösung geben würde! Fällt dir da zufällig noch ein anderer Lösungsweg ein? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mo 04.03.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
Klar gibt es noch andere Lösungswege, aber ob die "komplizierter" sind...?
1) Ergänze zu einem Parallelogramm und nutze aus, dass sich benachbarte Winkel zu 180° ergänzen.
2) Sinussatz
3) Kosinussatz
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 04.03.2013 | | Autor: | Sira10 |
Wie kann ich das denn mit dem Sinus/Kosinussatz beweisen?
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Hallo Sira,
> Wie kann ich das denn mit dem Sinus/Kosinussatz beweisen?
Sinussatz: [mm] \bruch{a}{\sin{\alpha}}=\bruch{b}{\sin{\beta}}=\bruch{c}{\sin{\gamma}}
[/mm]
Nun weißt Du a=b=c. Daraus folgt [mm] \sin{\alpha}=\sin{\beta}=\sin{\gamma}.
[/mm]
Allerdings heißt das noch nicht, dass [mm] \alpha=\beta=\gamma, [/mm] weil der Sinus nicht eindeutig ist. Aber auch das ist zu lösen...
Mit dem Kosinussatz ist es etwas mühsamer und mehr Rechnerei, es sei denn, Du setzt gleich a=b=c an.
Dann gilt ja für jeden der drei Winkel: [mm] a^2=a^2+a^2-2a^2\cos{\varphi}
[/mm]
Fertig.
Grüße
reverend
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Guten Abend reverend !
> Hallo Sira,
>
> > Wie kann ich das denn mit dem Sinus/Kosinussatz beweisen?
>
> Sinussatz:
> [mm]\bruch{a}{\sin{\alpha}}=\bruch{b}{\sin{\beta}}=\bruch{c}{\sin{\gamma}}[/mm]
>
> Nun weißt Du a=b=c. Daraus folgt
> [mm]\sin{\alpha}=\sin{\beta}=\sin{\gamma}.[/mm]
>
> Allerdings heißt das noch nicht, dass [mm]\alpha=\beta=\gamma,[/mm]
> weil der Sinus nicht eindeutig ist. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Sinus nicht eindeutig ? Aaaaber aaber ... 
(wir wissen ja schon, was du gemeint hast - aber
an der Eindeutigkeit der Sinusfunktion liegt es nicht ...)
Schönen Abend noch !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mo 04.03.2013 | | Autor: | Sira10 |
Wieso genau ist der Sinussatz nicht eiduetig und wie krieg ich das dann mit den Winkeln raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mo 04.03.2013 | | Autor: | chrisno |
Da hat Al schon kommentiert. Ein Problem könnte erst entstehen, wenn ein Winkel größer als 90° wäre. Dann aber kann es kein gleichseitiges Dreieck mehr sein. Bei 90° hast Du ein rechtwinkliges Dreieck und da verbietet der Satz des Pythagoras, dass alle drei Seiten gleich lang sind. Wird der Winkel größer, wird die längste Seite noch größer.
Nach diesem Spruch geht es mit dem Sinussatz.
Der schnellste Beweis wurde schon genannt. Das macht der Kongruenzsatz Seite-Seite-Seite.
Du nimmst das Dreieck, nennst die Seiten a, b und c. Wenn du nun das Dreieck drehst, so dass a' auf b und b' auf c und c' auf a zu liegen kommt, so sind die beiden deckungsgleich, weil ja alle Seiten gleich lang sind. Nun liegt [mm] $\alpha'$ [/mm] auf [mm] $\beta$ [/mm] und damit sind auch [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] gleich groß. Entsprechend für [mm] $\beta$ [/mm] auf [mm] $\gamma$ [/mm] und schon ist es fertig.
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> Danke erstmal für de Antwort udn stimmt so gehts! Aber ich
> gluabe mein Lehrer meinte wri sollen es nicht so lösen da
> es eine schnellere unkompliziertere Lösung geben würde!
> Fällt dir da zufällig noch ein anderer Lösungsweg ein?
> :)
Hallo Sira10,
der wichtigste Gesichtspunkt bei dieser Aufgabe
wäre doch wohl der der Symmetrie.
Falls klar ist, dass die Form (und damit die
drei Winkel) eines Dreiecks eindeutig bestimmt
sind, wenn die 3 Seitenlängen a,b,c gegeben
sind (und die Dreiecksungleichungen erfüllen),
dann folgt bei einem Dreieck mit a=b=c wegen
der Vertauschbarkeit der Bezeichnungen sofort
auch die Gleichheit der 3 Winkel.
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo Sira,
dreh Dein Dreieck einfach mal so im Uhrzeigersinn, dass die Seiten wieder aufeinanderliegen. Geht natürlich auch gegen den Uhrzeiger.
Was sagt Dir das über die Winkel?
Grüße
reverend
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