Beweis: injekt. und surjekt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Matti87 |
| Aufgabe | Seien f: A [mm] \to [/mm] B und g: B [mm] \to [/mm] C Funktionen. Man beweise, dass für alle Mengen A, B, C folgende Behauptungen richtig sind:
a) Wenn g [mm] \circ [/mm] f injektiv ist, so ist f injektiv.
b) Wenn g [mm] \circ [/mm] f surjektiv ist, so ist g surjektiv. |
Hi, ich beschäftige mich grad mit der Beweisführung bei Injektivität und Surjektivität. Mein Lösungsvorschlag zu a) habe ich analog zu einem früheren Beweis geführt. Leider ist mir da ein Punkt noch unklar.
a)
Beweis:
Sei g [mm] \circ [/mm] f injektiv.
So ist zu zeigen: [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] A: f(a)=f(b) [mm] \Rightarrow [/mm] a=b
Sei f(a)=f(b). Dann gilt auch g(f(a))=g(f(b)).
[mm] \Rightarrow [/mm] g [mm] \circ [/mm] f (a) = g [mm] \circ [/mm] f (b).
Da g [mm] \circ [/mm] f injektiv, gilt insbesondere a=b.
"Hier frage ich mich, warum man von f(a)=f(b) auf g(f(a))=g(f(b)) schließen kann. Ist dieser Beweis überhaupt logisch korrekt?"
b)
Beweis:
Sei g [mm] \circ [/mm] f surjektiv.
So ist zu zeigen: [mm] \forall [/mm] c [mm] \in [/mm] C [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B: g(b)=c
...
"Hierfür bräuchte ich vielleicht einen Hinweis."
Jetzt schonmal "Danke" für die Mühe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Seien f: A [mm]\to[/mm] B und g: B [mm]\to[/mm] C Funktionen. Man beweise,
> dass für alle Mengen A, B, C folgende Behauptungen richtig
> sind:
>
> a) Wenn g [mm]\circ[/mm] f injektiv ist, so ist f injektiv.
>
> b) Wenn g [mm]\circ[/mm] f surjektiv ist, so ist g surjektiv.
> Hi, ich beschäftige mich grad mit der Beweisführung bei
> Injektivität und Surjektivität. Mein Lösungsvorschlag zu
> a) habe ich analog zu einem früheren Beweis geführt.
> Leider ist mir da ein Punkt noch unklar.
>
> a)
> Beweis:
> Sei g [mm]\circ[/mm] f injektiv.
> So ist zu zeigen: [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] A: f(a)=f(b) [mm]\Rightarrow[/mm]
> a=b
>
> Sei f(a)=f(b). Dann gilt auch g(f(a))=g(f(b)).
> [mm]\Rightarrow[/mm] g [mm]\circ[/mm] f (a) = g [mm]\circ[/mm] f (b).
> Da g [mm]\circ[/mm] f injektiv, gilt insbesondere a=b.
>
> "Hier frage ich mich, warum man von f(a)=f(b) auf
> g(f(a))=g(f(b)) schließen kann. Ist dieser Beweis
> überhaupt logisch korrekt?"
Wenn f(a)=f(b) wird g mit dem gleichen Argument gefüttert. Dann ist g(f(a))=g(f(b)) klar.
>
> b)
> Beweis:
> Sei g [mm]\circ[/mm] f surjektiv.
> So ist zu zeigen: [mm]\forall[/mm] c [mm]\in[/mm] C [mm]\exists[/mm] b [mm]\in[/mm] B:
> g(b)=c
> ...
>
> "Hierfür bräuchte ich vielleicht einen Hinweis."
Das kannst du über Widerspruch zeigen:
Angenommen es gibt ein [mm] c\in [/mm] C mit [mm] g(b)\neq [/mm] c für alle [mm] b\in [/mm] B. Dann ... (warum gibt es dann auch kein [mm] a\in [/mm] A mit [mm]g\circ f(a)=c[/mm]?)
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> Jetzt schonmal "Danke" für die Mühe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Matti87 |
| Aufgabe | Seien f: A [mm] \to [/mm] B und g: B [mm] \to [/mm] C Funktionen. Man beweise,
dass für alle Mengen A, B, C folgende Behauptungen richtig sind:
a) Wenn g $ [mm] \circ [/mm] $ f injektiv ist, so ist f injektiv.
b) Wenn g $ [mm] \circ [/mm] $ f surjektiv ist, so ist g surjektiv. |
Danke dir!!!
> Wenn f(a)=f(b) wird g mit dem gleichen Argument gefüttert. Dann ist g(f(a))=g(f(b)) klar.
Also kann ich prinzipiell, wenn die Funktionen f, g, h gegeben sind, solche beliebigen "aufsteigenden" Folgerungen ziehen?
a=b [mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=f(b) [mm] \Rightarrow [/mm] g(f(a))=g(f(b)) [mm] \Rightarrow [/mm] h(g(f(a)))=h(g(f(b)))
> Das kannst du über Widerspruch zeigen:
> Angenommen es gibt ein $ [mm] c\in [/mm] $ C mit $ [mm] g(b)\neq [/mm] $ c für alle $ [mm] b\in [/mm] $ B. Dann ... (warum gibt es dann auch kein $ [mm] a\in [/mm] $ A mit $ [mm] g\circ [/mm] f(a)=c $?)
Meine Lösungsidee:
Ich wähle für b:= f(b) , da ja beide aus der Menge B sind.
Damit erhalte ich g(f(b)) [mm] \not= [/mm] c .
Was ja nichts anderes als g [mm] \circ [/mm] f [mm] \not= [/mm] c bedeutet.
Das würde sich dann doch mit der Vorraussetzung, dass g [mm] \circ [/mm] f surjektiv ist, widersprechen!?
Ich hoffe, ich habe keinen Denkfehler gemacht.
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> Seien f: A [mm]\to[/mm] B und g: B [mm]\to[/mm] C Funktionen. Man
> beweise,
> dass für alle Mengen A, B, C folgende Behauptungen
> richtig sind:
>
> a) Wenn g [mm]\circ[/mm] f injektiv ist, so ist f injektiv.
>
> b) Wenn g [mm]\circ[/mm] f surjektiv ist, so ist g surjektiv.
> Danke dir!!!
>
> > Wenn f(a)=f(b) wird g mit dem gleichen Argument gefüttert. Dann ist g(f(a))=g(f(b)) klar.
>
> Also kann ich prinzipiell, wenn die Funktionen f, g, h
> gegeben sind, solche beliebigen "aufsteigenden" Folgerungen
> ziehen?
> a=b [mm]\Rightarrow[/mm] f(a)=f(b) [mm]\Rightarrow[/mm] g(f(a))=g(f(b))
> [mm]\Rightarrow[/mm] h(g(f(a)))=h(g(f(b)))
Ja. Solange der Definitionsbereich stimmt.
>
> > Das kannst du über Widerspruch zeigen:
> > Angenommen es gibt ein [mm]c\in[/mm] C mit [mm]g(b)\neq[/mm] c für alle
> [mm]b\in[/mm] B. Dann ... (warum gibt es dann auch kein [mm]a\in[/mm] A mit
> [mm]g\circ f(a)=c [/mm]?)
>
> Meine Lösungsidee:
>
> Ich wähle für b:= f(b) , da ja beide aus der Menge B sind.
Hier muss man raten, was du meinst. Gib dir deine Voraussetzungen klar vor. Dabei wäre es besser, wenn du dein Element aus a nicht mit b bezeichnest, aber ich bleibe jetzt mal bei deiner Bezeichnung:
Sei [mm] b\in [/mm] A. Dann liegt f(b) in B.
> Damit erhalte ich g(f(b)) [mm]\not=[/mm] c .
> Was ja nichts anderes als g [mm]\circ[/mm] f (b)[mm]\not=[/mm] c bedeutet
und zwar für alle [mm] b\in [/mm] A.
> Das würde sich dann doch mit der Vorraussetzung, dass g [mm]\circ[/mm] f surjektiv ist, widersprechen!?
Genau!
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> Ich hoffe, ich habe keinen Denkfehler gemacht.
Kamaleonti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Matti87 |
Super! =) Genau so habe ich es gemeint, nur leider ist mir zu spät aufgefallen, dass die Belegung mit f(b) schlecht gewählt war.
Also nochmal sauber zu Abschluss:
Beweis durch Widerspruch:
Sei g [mm] \circ [/mm] f surjektiv.
Annahme: [mm] \exists [/mm] c [mm] \in [/mm] C [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B mit g(b) [mm] \not= [/mm] c (g ist nicht surjektiv)
Sei a [mm] \in [/mm] A. Wähle man für b:= f(a).
Dann gilt g(f(a)) [mm] \not= [/mm] c und insbesondere g [mm] \circ [/mm] f (a) [mm] \not= [/mm] c.
Dies steht aber im Widerspruch zur Surjektivität von g [mm] \circ [/mm] f.
Damit ist g surjektiv.
Vielen Dank für deine Hilfe.
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