Beweis irrationaler Zahlen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 So 12.09.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo zusammen,
jeder kennt sie, die Beweise darüber, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] irrational ist.
Hier die Version, die ich grade habe:
Annahme: [mm] \wurzel{2}\in\IQ.
[/mm]
Dann ist [mm] \wurzel{2}=\bruch{p}{q} [/mm] ein vollständig gekürzter Bruch mit [mm] p\in\IN, q\in\IN\setminus\{0} [/mm] und [mm] q\not=1.
[/mm]
Dann gilt: [mm] \wurzel{2}*\wurzel{2}=\bruch{p}{q}*\bruch{p}{q}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2 = [mm] \bruch{p}{q}*\bruch{p}{q}
[/mm]
Aber [mm] 2\in\IN.
[/mm]
Da aber [mm] \bruch{p}{q} [/mm] vollständig gekürzt und [mm] q\not=1 [/mm] gilt [mm] \bruch{p}{q}*\bruch{p}{q} \not\in\IN.
[/mm]
Widerspruch.
Also [mm] \wurzel{2}\not\in\IQ
[/mm]
Jetzt verstehe ich aber nicht, wieso man zum Beispiel mit [mm] \wurzel{4} [/mm] was anderes erhalten soll. Was würde im Beweis passieren, sodass man sieht, dass [mm] \wurzel{4} [/mm] eine rationale (bzw. natürliche) Zahl ist?
Viele Grüße
Ferolei
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> Hallo zusammen,
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> jeder kennt sie, die Beweise darüber, dass [mm]\wurzel{2}[/mm]
> irrational ist.
>
> Hier die Version, die ich grade habe:
>
> Annahme: [mm]\wurzel{2}\in\IQ.[/mm]
> Dann ist [mm]\wurzel{2}=\bruch{p}{q}[/mm] ein vollständig
> gekürzter Bruch mit [mm]p\in\IN, q\in\IN\setminus\{0}[/mm] und
> [mm]q\not=1.[/mm]
>
> Dann gilt: [mm]\wurzel{2}*\wurzel{2}=\bruch{p}{q}*\bruch{p}{q}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 2 = [mm]\bruch{p}{q}*\bruch{p}{q}[/mm]
> Aber [mm]2\in\IN.[/mm]
Hallo,
also ist [mm] 2q^2=p^2.
[/mm]
Dann sind beide Seiten gerade.
Also ist p gerade, dh. es gibt ein [mm] r\in \IN [/mm] mit p=2r
==> [mm] 2q^2=4r^2 [/mm] ==> [mm] q^2=2r^2,
[/mm]
also ist auch q gerade.
Daß p und q beide gerade sind, ist ein Widerspruch dazu, daß [mm] \bruch{p}{q} [/mm] gekürzt ist.
Wenn Dir hier nun alles klar ist, versuche, ob Du mit einer vergleichbaren Argumentation die Irrationalität von [mm] \wurzel{4} [/mm] zeigen kannst, bzw. schau nach, was in diesem Fall anders ist.
Gruß v. Angela
> Da aber [mm]\bruch{p}{q}[/mm] vollständig gekürzt und [mm]q\not=1[/mm]
> gilt [mm]\bruch{p}{q}*\bruch{p}{q} \not\in\IN.[/mm]
>
> Widerspruch.
>
> Also [mm]\wurzel{2}\not\in\IQ[/mm]
>
> Jetzt verstehe ich aber nicht, wieso man zum Beispiel mit
> [mm]\wurzel{4}[/mm] was anderes erhalten soll. Was würde im Beweis
> passieren, sodass man sieht, dass [mm]\wurzel{4}[/mm] eine rationale
> (bzw. natürliche) Zahl ist?
>
> Viele Grüße
>
> Ferolei
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 So 12.09.2010 | | Autor: | Ferolei |
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> > Hallo zusammen,
> >
> > jeder kennt sie, die Beweise darüber, dass [mm]\wurzel{2}[/mm]
> > irrational ist.
> >
> > Hier die Version, die ich grade habe:
> >
> > Annahme: [mm]\wurzel{2}\in\IQ.[/mm]
> > Dann ist [mm]\wurzel{2}=\bruch{p}{q}[/mm] ein vollständig
> > gekürzter Bruch mit [mm]p\in\IN, q\in\IN\setminus\{0}[/mm] und
> > [mm]q\not=1.[/mm]
> >
> > Dann gilt: [mm]\wurzel{2}*\wurzel{2}=\bruch{p}{q}*\bruch{p}{q}[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm] 2 = [mm]\bruch{p}{q}*\bruch{p}{q}[/mm]
> > Aber [mm]2\in\IN.[/mm]
>
> Hallo,
>
> also ist [mm]2q^2=p^2.[/mm]
>
> Dann sind beide Seiten gerade.
>
> Also ist p gerade, dh. es gibt ein [mm]r\in \IN[/mm] mit p=2r
>
> ==> [mm]2q^2=4r^2[/mm] ==> [mm]q^2=2r^2,[/mm]
>
> also ist auch q gerade.
>
> Daß p und q beide gerade sind, ist ein Widerspruch dazu,
> daß [mm]\bruch{p}{q}[/mm] gekürzt ist.
>
> Wenn Dir hier nun alles klar ist, versuche, ob Du mit einer
> vergleichbaren Argumentation die Irrationalität von
> [mm]\wurzel{4}[/mm] zeigen kannst, bzw. schau nach, was in diesem
> Fall anders ist.
>
> Gruß v. Angela
>
Du meinst rational?
Da stünde dann ja :
[mm] 4q^2=p^2
[/mm]
Das heißt, p ist durch vier teilbar und es gibt eine natürliche Zahl r, sodass
4*r=p
[mm] \Rightarrow 4q^2=16r^2 \Rightarrow q^2=4r^2. [/mm] Also ist auch q durch 4 teilbar.
Da sowohl p als auch q durch 4 teilbar ist, muss [mm] \wurzel{4}\in\IQ [/mm] sein.
So ????
Viele Grüße
> > Da aber [mm]\bruch{p}{q}[/mm] vollständig gekürzt und [mm]q\not=1[/mm]
> > gilt [mm]\bruch{p}{q}*\bruch{p}{q} \not\in\IN.[/mm]
> >
> > Widerspruch.
> >
> > Also [mm]\wurzel{2}\not\in\IQ[/mm]
> >
> > Jetzt verstehe ich aber nicht, wieso man zum Beispiel mit
> > [mm]\wurzel{4}[/mm] was anderes erhalten soll. Was würde im Beweis
> > passieren, sodass man sieht, dass [mm]\wurzel{4}[/mm] eine rationale
> > (bzw. natürliche) Zahl ist?
> >
> > Viele Grüße
> >
> > Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 So 12.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dein Weg ist so schon mal gar nicht schlecht, beachte aber, dass
[mm] 4r^{2}=2^{2}*r^{2}=(2r)^{2}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 So 12.09.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ich verstehe nicht, worauf du hinaus möchtest.
VG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Mo 13.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
aus [mm] 4q^2=p^2 [/mm] folgt nur, dass [mm] p^2 [/mm] durch 4 teilbar ist, nicht dass p durch 4 teilbar ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 So 12.09.2010 | | Autor: | abakus |
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> > Hallo zusammen,
> >
> > jeder kennt sie, die Beweise darüber, dass [mm]\wurzel{2}[/mm]
> > irrational ist.
> >
> > Hier die Version, die ich grade habe:
> >
> > Annahme: [mm]\wurzel{2}\in\IQ.[/mm]
> > Dann ist [mm]\wurzel{2}=\bruch{p}{q}[/mm] ein vollständig
> > gekürzter Bruch mit [mm]p\in\IN, q\in\IN\setminus\{0}[/mm] und
> > [mm]q\not=1.[/mm]
> >
> > Dann gilt: [mm]\wurzel{2}*\wurzel{2}=\bruch{p}{q}*\bruch{p}{q}[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm] 2 = [mm]\bruch{p}{q}*\bruch{p}{q}[/mm]
> > Aber [mm]2\in\IN.[/mm]
>
> Hallo,
>
> also ist [mm]2q^2=p^2.[/mm]
Hier kann man jetzt auch mit der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung argumentieren.
[mm] p^2 [/mm] und [mm] q^2 [/mm] müssen jeweils eine gerade Anzahl von Primfaktoren besitzen. Dann hat [mm] 2q^2 [/mm] einen Primfaktor mehr als [mm] q^2 [/mm] und somit eine ungerade Anzahl. Damit kann [mm] 2q^2 [/mm] nicht einem Ergebnis mit einer geraden Anzahl gleich sein.
Gruß Abakus
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> Dann sind beide Seiten gerade.
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> Also ist p gerade, dh. es gibt ein [mm]r\in \IN[/mm] mit p=2r
>
> ==> [mm]2q^2=4r^2[/mm] ==> [mm]q^2=2r^2,[/mm]
>
> also ist auch q gerade.
>
> Daß p und q beide gerade sind, ist ein Widerspruch dazu,
> daß [mm]\bruch{p}{q}[/mm] gekürzt ist.
>
> Wenn Dir hier nun alles klar ist, versuche, ob Du mit einer
> vergleichbaren Argumentation die Irrationalität von
> [mm]\wurzel{4}[/mm] zeigen kannst, bzw. schau nach, was in diesem
> Fall anders ist.
>
> Gruß v. Angela
>
> > Da aber [mm]\bruch{p}{q}[/mm] vollständig gekürzt und [mm]q\not=1[/mm]
> > gilt [mm]\bruch{p}{q}*\bruch{p}{q} \not\in\IN.[/mm]
> >
> > Widerspruch.
> >
> > Also [mm]\wurzel{2}\not\in\IQ[/mm]
> >
> > Jetzt verstehe ich aber nicht, wieso man zum Beispiel mit
> > [mm]\wurzel{4}[/mm] was anderes erhalten soll. Was würde im Beweis
> > passieren, sodass man sieht, dass [mm]\wurzel{4}[/mm] eine rationale
> > (bzw. natürliche) Zahl ist?
> >
> > Viele Grüße
> >
> > Ferolei
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 So 12.09.2010 | | Autor: | schnok |
> Hallo zusammen,
>
> jeder kennt sie, die Beweise darüber, dass [mm]\wurzel{2}[/mm]
> irrational ist.
>
> Hier die Version, die ich grade habe:
>
> Annahme: [mm]\wurzel{2}\in\IQ.[/mm]
> Dann ist [mm]\wurzel{2}=\bruch{p}{q}[/mm] ein vollständig
> gekürzter Bruch mit [mm]p\in\IN, q\in\IN\setminus\{0}[/mm] und
> [mm]q\not=1.[/mm]
>
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Die Annahme, dass die Wurzel aus 2 Teil der rationalen Zahlen ist, heisst nicht automatisch, dass q nicht eins sein darf, denn auch die natürlichen Zahlen sind Teil der rationalen. Ich kenne den Beweis derart, dass jede rationale Zahl durch den Bruch zweier Zahlen p und q dargestellt werden kann, die teilerfremd und ganz sind... Die Anforderungen die hier an den Bruch gestellt werden sind höher als nötig um ihn Teil der rationalen Zahlen werden zu lassen.
Gruß
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Die anderen Antwortbeiträge liefern dir den typischen Standardbeweis, ohne aber auf deine Frage einzugehen. Du willst ja keinen anderen Beweis, sondern fragst dich, wo bei dem von dir betrachteten Beweis der Haken ist.
> Hallo zusammen,
>
> jeder kennt sie, die Beweise darüber, dass [mm]\wurzel{2}[/mm]
> irrational ist.
>
> Hier die Version, die ich grade habe:
>
> Annahme: [mm]\wurzel{2}\in\IQ.[/mm]
> Dann ist [mm]\wurzel{2}=\bruch{p}{q}[/mm] ein vollständig
> gekürzter Bruch mit [mm]p\in\IN, q\in\IN\setminus\{0}[/mm] und
> [mm]q\not=1.[/mm]
>
Hier ist der Haken.
Woher weiß der Autor, dass [mm]q\not=1[/mm] gilt?
Antwort: Wäre [mm]q=1[/mm] , so wäre [mm] \wurzel{2} [/mm] eine ganze Zahl. Durch "Herumprobieren" stellt man aber fest, dass das nicht der Fall ist, denn der Wert muss zwischen 1 und 2 liegen.
Übertragen auf alle anderen natürlichen Zahlen n bedeutet dies nun:
Zunächst stellen wir fest, dass [mm] \wurzel{n} [/mm] keine natürliche Zahl ist, indem wir herumprobieren. Bei [mm] \wurzel{4}, \wurzel{25} [/mm] usw. merken wir, dass doch eine natürliche Zahl herauskommt, also q=1 ist, und wir können den Beweis nicht fortsetzen. In allen (!!!) anderen Fällen können wir den Beweis fortsetzen und gelangen so zu dem Ergebnis, dass der Wert irrational ist.
Feststellung: Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder selber eine natürliche Zahl (dann hatten wir eine Quadratzahl) oder schon irrational. Sie kann nie ein echter Bruch sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Mo 13.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Methode erst ausprobieren ob man ne ganze Zahl kriegt geht schon bei Wurzel 1.21 nicht mehr. der Beweis sollte also wirklich auf die eindeutigkeit der primzahlzerlegung zurueckgefuehrt werden.
gruss leduart
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Ja, der Beweis baut ja darauf auf, dass irgendwo steht: 2 [mm] \in \IN \not= [/mm] echter Bruch. Der betrachtete Beweis - und meine Argumentation - beziehen sich überhaupt nur auf ganze Zahlen, also nicht auf 1,21 oder Ähnliches.
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