Beweis konstante Funktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:14 Di 15.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Seien X [mm] \not= \emptyset [/mm] und Y Mengen, und f: X -> Y eine Abbildung. Beweisen Sie: Wenn für jede Teilmenge B [mm] \subset [/mm] Y
[mm] f^{-1}(\{B\}) [/mm] = X oder [mm] f^{-1}(\{B\}) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] gilt, dann ist f konstant. |
Guten Morgen,
ich habe hier folgendes versucht:
Wähle [mm] \{a\} \in [/mm] Y mit [mm] f^{-1}(\{a\}) [/mm] = X [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) [mm] \in \{a\} \Rightarrow [/mm] f(x) = a. Dann gilt für alle [mm] B\setminus \{a\}, f^{-1}(\{B\setminus \{a\}\}) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] und für alle B mit [mm] \{a\} \subseteq [/mm] B [mm] f^{-1}(\{B\}) [/mm] = X.
Hm stimmt das soweit? Falls nein, hat jemand einen Tipp für mich?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien X [mm]\not= \emptyset[/mm] und Y Mengen, und f: X -> Y eine
> Abbildung. Beweisen Sie: Wenn für jede Teilmenge B [mm]\subset[/mm]
> Y
> [mm]f^{-1}(\{B\})[/mm] = X oder [mm]f^{-1}(\{B\})[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] gilt,
> dann ist f konstant.
> Guten Morgen,
>
> ich habe hier folgendes versucht:
>
> Wähle [mm]\{a\} \in[/mm] Y mit [mm]f^{-1}(\{a\})[/mm] = X [mm]\Rightarrow \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] X: f(x) [mm]\in \{a\} \Rightarrow[/mm] f(x) = a. Dann gilt
> für alle [mm]B\setminus \{a\}, f^{-1}(\{B\setminus \{a\}\})[/mm] =
> [mm]\emptyset[/mm] und für alle B mit [mm]\{a\} \subseteq[/mm] B
> [mm]f^{-1}(\{B\})[/mm] = X.
>
> Hm stimmt das soweit?
Na ja,, Du hast die richtige Idee, aber Du hast es nicht ganz sauber formuliert.
> Falls nein, hat jemand einen Tipp
> für mich?
Nimm ein [mm] $x_0 \in [/mm] X$ (fest), setze [mm] y_0:=f(x_0) [/mm] und [mm] $B:=\{y_0\}$. [/mm]
Dann ist $ [mm] f^{-1}(\{B\}) \ne \emptyset$, [/mm] denn [mm] $x_0 \in f^{-1}(\{B\}) [/mm] $.
Somit ist $ [mm] f^{-1}(\{B\}) [/mm] =X$.
Das bedeutet aber:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X: $ [mm] $f(x)=y_0$.
[/mm]
FRED
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 Di 15.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke schön. An meinen Formulierungen muss ich unter anderem noch arbeiten. Noch mals danke.
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