Beweis lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 So 29.05.2016 | | Autor: | brover |
| Aufgabe | Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage.
Für alle f,g: [mm] $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ [/mm] gilt: Sind f und g nicht [mm] $\mathbb{R}$-linear, [/mm] so ist f + g nicht [mm] $\mathbb{R}$-linear. [/mm] |
Meine Lösung:
Seien f,g nicht linear.
Sei h(v) = f(v) + g(v). mit $v [mm] \in \mathbb{R}^3$
[/mm]
und sei x=(x1,x2,x3) u. y=(y1,y2,y3). Dann gilt:
1. h(x+y) = f(x+y) + g(x+y) [mm] \neq [/mm] f(x) + g(x) + f(y) + g(x) = h(x) + h(y)
Da f und g nicht linear aus der Vor. gilt, dass $f(x+y) [mm] \neq [/mm] f(x) + f(y)$ und auch $g(x+y) [mm] \neq [/mm] g(x) + g(y)$.
Und somit ist auch $f(x+y) + g(x+y) [mm] \neq [/mm] f(x) + g(x) + f(y) + g(x)$
2. [mm] $h(\lambda [/mm] x) = [mm] f(\lambda [/mm] x) + [mm] g(\lambda [/mm] x) [mm] \neq \lambdaf(x) [/mm] + [mm] \lambdag(x) [/mm] = [mm] \lambda*h(x)$
[/mm]
Da f und g nicht linear sind gilt: [mm] $f(\lambda x)\neq \lambdaf(x)$ [/mm] und [mm] $g(\lambda x)\neq \lambdag(x)$
[/mm]
Also folgt, dass [mm] $f(\lambda [/mm] x) + [mm] g(\lambda [/mm] x) [mm] \neq \lambdaf(x) [/mm] + [mm] \lambdag(x)$
[/mm]
Daher gilt die Beh. und f+g sind auch nicht linear.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 So 29.05.2016 | | Autor: | hippias |
Begründe das erste [mm] $\neq$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 29.05.2016 | | Autor: | brover |
Meinst du dies: h(x+y) = f(x+y) + g(x+y) $ [mm] \neq [/mm] $ f(x) + g(x) + f(y) + g(x) = h(x) + h(y)
Habe ich das nicht hiermit begründet?
Da f und g nicht linear aus der Vor. gilt, dass $ f(x+y) [mm] \neq [/mm] f(x) + f(y) $ und auch $ g(x+y) [mm] \neq [/mm] g(x) + g(y) $.
Und somit ist auch $ f(x+y) + g(x+y) [mm] \neq [/mm] f(x) + g(x) + f(y) + g(x) $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:39 Mo 30.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Meinst du dies: h(x+y) = f(x+y) + g(x+y) [mm]\neq[/mm] f(x) + g(x) +
> f(y) + g(x) = h(x) + h(y)
> Habe ich das nicht hiermit begründet?
>
> Da f und g nicht linear aus der Vor. gilt, dass [mm]f(x+y) \neq f(x) + f(y)[/mm]
> und auch [mm]g(x+y) \neq g(x) + g(y) [/mm].
> Und somit ist auch
> [mm]f(x+y) + g(x+y) \neq f(x) + g(x) + f(y) + g(x)[/mm]
Und was machst Du im Falle g=-f ??
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 So 29.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe folgende Aufgabe:
>
> Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage.
>
> Für alle f,g: [mm]\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3[/mm] gilt: Sind f
> und g nicht [mm]\mathbb{R}[/mm]-linear, so ist f + g nicht
> [mm]\mathbb{R}[/mm]-linear.
> Meine Lösung:
>
> Seien f,g nicht linear.
>
> Sei h(v) = f(v) + g(v). mit [mm]v \in \mathbb{R}^3[/mm]
> und sei
> x=(x1,x2,x3) u. y=(y1,y2,y3). Dann gilt:
>
> 1. h(x+y) = f(x+y) + g(x+y) [mm]\neq[/mm] f(x) + g(x) + f(y) + g(x)
> = h(x) + h(y)
> Da f und g nicht linear aus der Vor. gilt, dass [mm]f(x+y) \neq f(x) + f(y)[/mm]
> und auch [mm]g(x+y) \neq g(x) + g(y)[/mm].
> Und somit ist auch
> [mm]f(x+y) + g(x+y) \neq f(x) + g(x) + f(y) + g(x)[/mm]
>
> 2. [mm]h(\lambda x) = f(\lambda x) + g(\lambda x) \neq \lambdaf(x) + \lambdag(x) = \lambda*h(x)[/mm]
>
> Da f und g nicht linear sind gilt: [mm]f(\lambda x)\neq \lambdaf(x)[/mm]
> und [mm]g(\lambda x)\neq \lambdag(x)[/mm]
> Also folgt, dass
> [mm]f(\lambda x) + g(\lambda x) \neq \lambdaf(x) + \lambdag(x)[/mm]
>
> Daher gilt die Beh. und f+g sind auch nicht linear.
die Aussage ist falsch. betrachte zum beispiel g=-f.
fred
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Mo 30.05.2016 | | Autor: | brover |
Stimmt, danke!
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