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| Aufgabe | Beweise, dass es sich bei der linken Seite der Gleichung
[mm] \bruch{\partial^2u}{\partial t^2}-\bruch{\partial^2u}{\partial x^2}=0
[/mm]
um einen linearen Operator handelt. |
Hallo zusammen,
der Prof. hat folgenden kurzen Beweis in der Vorlesung vorgerechnet, dabei versteh ich einen Schritt nicht so ganz.
[mm] Lu=\bruch{\partial^2u}{\partial t^2}-\bruch{\partial^2u}{\partial x^2}=0
[/mm]
[mm] L(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2})=\bruch{\partial^2(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2})}{\partial t^2}-\bruch{\partial^2(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2})}{\partial x^2}=0
[/mm]
So, mit dem nächsten Schritt hab ich Probleme:
[mm] L(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2})=c_{1}\bruch{\partial^2u_{1}}{\partial t^2}+c_{2}\bruch{\partial u_{2}}{\partial t^2}-(c_{1}\bruch{\partial^2u_{1}}{\partial x^2}+c_{2}\bruch{\partial u_{2}}{\partial x^2})
[/mm]
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Warum nicht:
[mm] L(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2})=c_{1}\bruch{\partial^2u_{1}}{\partial t^2}+c_{2}\bruch{[red]\partial^2[/red] u_{2}}{\partial t^2}-(c_{1}\bruch{\partial^2u_{1}}{\partial x^2}+c_{2}\bruch{[red]\partial^2[/red] u_{2}}{\partial x^2})
[/mm]
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Naja so gehts dann weiter:
[mm] L(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2})=c_{1}(\bruch{\partial^2u_{1}}{\partial t^2}-\bruch{\partial^2u_{2}}{\partial x^2})+c_{2}(\bruch{\partial u_{1}}{\partial t^2}-\bruch{\partial u_{2}}{\partial x^2})
[/mm]
[mm] L(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2})=c_{1}Lu_{1}+c_{2}Lu_{2}
[/mm]
Bin kein Mathematiker und bräuchte deshalb wenns geht bitte ne relativ leicht verständliche Erklärung.
Vielen Dank
Bernd
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Hallo,
das liegt daran, dass der Prof sich verschrieben hat. Selbstverständlich muss man die zweite Ableitung bilden.
Gut erkannt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Mo 28.10.2013 | | Autor: | berndbrot |
ok, vielen Dank!
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