Beweis links./rechts. Grenzw. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 So 06.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Ich verstehe folgenden Beweis nicht. Und zwar:
Sie f: [mm] \IR \to \IR [/mm] und [mm] x_{0} \in \IR
[/mm]
Man soll beweisen:
[mm] \limes_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=y \gdw \limes_{x\rightarrowx_{0}+}f(x)=y=\limes_{x\rightarrowx_{0}-}f(x)
[/mm]
Mein Tutor sagte, dass wäre einfach nur hinschreiben, aber irgendwie versteh ich nicht ganz, wie ich da anfangen soll. Er hat mir aber die Lösung gegeben.
Also erstmal "=>"
[mm] \limes_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=y \gdw \forall \varepsilon \exists \delta>0: f(B(x_{0}, \delta)) \subseteq B(y,\varepsilon)
[/mm]
und genauso ist
[mm] \limes_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=y \gdw \forall \varepsilon \exists \delta_{1}>0: f(B(x_{0}, \delta_{1})) \cap [/mm] {x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \ge x_{0} [/mm] } [mm] \subseteq B(y,\varepsilon)
[/mm]
[mm] \limes_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=y \gdw \forall \varepsilon \exists \delta_{2}>0: f(B(x_{0}, \delta_{2})) \cap [/mm] {x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \le x_{0} [/mm] } [mm] \subseteq B(y,\varepsilon)
[/mm]
Hmm..das verstehe ich aber nicht wirklich. Ich weiß, ist vermutlich wirklich nur hinschreiben, aber ich möchte es ja auch verstehn. Die Schreibweisen mit B... verwirren mich.
Danke vielmals für Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> Hallo.
>
> Ich verstehe folgenden Beweis nicht. Und zwar:
>
> Sie f: [mm]\IR \to \IR[/mm] und [mm]x_{0} \in \IR[/mm]
>
> Man soll beweisen:
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=y \gdw \limes_{x \rightarrow x_{0}+}f(x)=y=\limes_{x\rightarrow x_{0}-}f(x)[/mm]
>
> Mein Tutor sagte, dass wäre einfach nur hinschreiben, aber
> irgendwie versteh ich nicht ganz, wie ich da anfangen soll.
> Er hat mir aber die Lösung gegeben.
>
> Also erstmal "=>"
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=y \gdw \forall \varepsilon \exists \delta>0: f(B(x_{0}, \delta)) \subseteq B(y,\varepsilon)[/mm]
>
> und genauso ist
Besser: Daraus folgt, dass auch ... gilt
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_{0}+}f(x)=y \gdw \forall \varepsilon \exists \delta_{1}>0: f(B(x_{0}, \delta_{1})) \cap[/mm] [mm]\{x \in \IR | x \ge x_{0} \}[/mm] [mm]\subseteq B(y,\varepsilon)[/mm]
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_{0}-}f(x)=y \gdw \forall \varepsilon \exists \delta_{2}>0: f(B(x_{0}, \delta_{2})) \cap \{x\in \IR | x \le x_{0} \} [/mm][mm]\subseteq B(y,\varepsilon)[/mm]
Achtung, du musst hier notieren, ob du den rechts- oder linksseitigen Grenzwert meinst (habe + und - hinzugefügt). Wenn du hier dabei bist, nur das "=>" zu zeigen gilt außerdem [mm] \delta_2=\delta_1=\delta, [/mm] da du ja das [mm] \delta [/mm] aus der Voraussetzung nimmst
>
> Hmm..das verstehe ich aber nicht wirklich. Ich weiß, ist
> vermutlich wirklich nur hinschreiben, aber ich möchte es
> ja auch verstehn. Die Schreibweisen mit B... verwirren
> mich.
Mach dir klar, dass [mm] B(x_0,\delta) [/mm] das gleiche ist wie [mm] \{x\in\IR:|x-x_0|<\delta\}, [/mm] also eine [mm] \delta- [/mm] Umgebung von [mm] x_0. [/mm] Für alle x in der [mm] \delta- [/mm] Umgebung gilt [mm] |y-f(x)|<\varepsilon [/mm] nach Voraussetzung. Dann aber gilt es insbesondere für die x die zusätzlich kleiner gleich [mm] x_0 [/mm] (linksseitiger GW) und größer gleich [mm] x_0 [/mm] (rechtsseitiger GW) sind.
>
> Danke vielmals für Hilfe.
>
Gruß, pyw
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 So 06.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..ist das dann nicht die Definition für die Folgenstetigkeit, also:
f ist stetig im Punkt a [mm] \gdw \forall \varepsilon \exists \delta [/mm] mit |x-a| < [mm] \delta [/mm] :
|f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Dann ist dieses B nur eine andere Schreibweise???
Aber warum steht dann da
[mm] f(B_{x_{0}, \delta}), [/mm] also warum das f davor? (wieder kleinlich, ich weiß)
Zur Rückrichtung steht in der Lösung:
[mm] \delta>0 [/mm] wird als Minimum von [mm] \delta1 [/mm] und [mm] \delta2 [/mm] gewählt (warum?)
f(x) [mm] \in [/mm] B(y, [mm] \varepsilon) [/mm] falls x [mm] \in B(x_{0}, \delta) \cap [/mm] {x [mm] \in\IR [/mm] | x [mm] \ge x_{0} [/mm] }
$ f(x) [mm] \in [/mm] B(y, [mm] \varepsilon) [/mm] falls x [mm] \in B(x_{0}, \delta) \cap [/mm] {x [mm] \in\IR [/mm] | x [mm] \le x_{0} [/mm] } $
Also ist [mm] f(B(x_{0}, \delta) \subseteq [/mm] B(y, [mm] \varepsilon).
[/mm]
Was das B bedeuten soll, versteh ich jetzt, aber warum schreibt man jetzt
f(x) [mm] \in [/mm] B(y, [mm] \varepsilon)???
[/mm]
Danke vielmals.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> Hmm..ist das dann nicht die Definition für die
> Folgenstetigkeit, also:
>
> f ist stetig im Punkt a [mm]\gdw \forall \varepsilon \exists \delta[/mm]
> mit |x-a| < [mm]\delta[/mm] :
> |f(x) - f(a)| < [mm]\varepsilon[/mm]
Ja, aber der Begriff "Folgenstetigkeit" ergibt keinen Sinn. Es ist die Stetigkeit der Funktion f in a.
>
> Dann ist dieses B nur eine andere Schreibweise???
für Umgebungen 
>
> Aber warum steht dann da
>
> [mm]f(B_{x_{0}, \delta}),[/mm] also warum das f davor? (wieder
> kleinlich, ich weiß)
das ist die Bildmenge der Menge [mm] B(x_{0}, \delta), [/mm] die soll ja in der [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung von y sein.
>
> Zur Rückrichtung steht in der Lösung:
>
> [mm]\delta>0[/mm] wird als Minimum von [mm]\delta1[/mm] und [mm]\delta2[/mm] gewählt
> (warum?)
Wenn du das größere wählen würdest, könntest du doch die eine Aussage über den einseitigen Grenzwert nicht mehr als Voraussetzung nehmen.
>
> f(x) [mm]\in[/mm] B(y, [mm]\varepsilon)[/mm] falls x [mm]\in B(x_{0}, \delta) \cap[/mm] [mm] \{x \in\IR | x \ge x_{0} \} [/mm] wg. rechtsseitigem GW
>
> f(x) [mm]\in[/mm] B(y, [mm]\varepsilon)[/mm] falls x [mm]\in B(x_{0}, \delta) \cap[/mm] [mm] \{x \in\IR | x \leq x_{0} \} [/mm] wg. linksseitigem GW
>
> Also ist [mm]f(B(x_{0}, \delta)) \subseteq[/mm] B(y, [mm]\varepsilon)[/mm].
>
> Was das B bedeuten soll, versteh ich jetzt, aber warum
> schreibt man jetzt
> f(x) [mm]\in[/mm] B(y, [mm]\varepsilon)???[/mm]
Siehe oben. Ziel ist [mm] |f(x)-y|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] bzw. für alle [mm] x\in B(x_0, \delta). [/mm] Es ist [mm] |f(x)-y|<\varepsilon \gdw x\in [/mm] B(y, [mm] \varepsilon).
[/mm]
>
> Danke vielmals.
>
>
Gruß
|
|
|
|
