Beweis mit Summe und n über k < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Ronin |
Also ich blicks net
Ich soll beweisen dass
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{m+k \\ m} [/mm] = [mm] \vektor{m+n+1 \\ m+1}
[/mm]
Wenn ich nun also versuche das für nen beliebigen wert auszurechnen
komme ich auf sowas da ja [mm] \vektor{n \\ k}=n!/((n-k)! [/mm] k!)
erstmal umgeschrieben ist das doch
[mm] \summe_{k=0}^{n}((m+k)!/(k!m!))=(m+n+1)!/((n+2)!(m+1)!)
[/mm]
oder nicht??
für n=1
m!/m! +((m+1)!/m!)=(m+2)!/(3!*(m+1)!)
tja und das ist doch nich das selbe
oder bin ich total blöd
Irgendwas mach ich gehoerig falsch
Bitte sagt mir was
Danke
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Betrachte die Menge [mm]A[/mm] der ersten [mm]m+n+1[/mm] natürlichen Zahlen:
[mm]A = \left\{ 1, 2 , 3 , \ldots , m+n , m+n+1 \right\}[/mm]
Jetzt wähle [mm]m+1[/mm] Elemente mit einem Griff aus. Dafür gibt es bekanntermaßen [mm]{{m+n+1} \choose {m+1}}[/mm] Möglichkeiten.
Bei dieser Wahl kann [mm]m+1[/mm] die größte Zahl sein:
Dafür gibt es [mm]{m \choose m} = 1[/mm] Möglichkeit, nämlich [mm]\left\{ 1 , 2 , 3 , \ldots , m , m+1 \right\}[/mm].
Oder es kann [mm]m+2[/mm] die größte Zahl sein:
Dafür gibt es [mm]{{m+1} \choose m}[/mm] Möglichkeiten - man kann nämlich aus [mm]\left\{ 1, 2 , 3 , \ldots , m , m+1 \right\}[/mm] noch [mm]m[/mm] Elemente auswählen.
Oder es kann [mm]m+3[/mm] die größte Zahl sein:
Dafür gibt es [mm]{{m+2} \choose m}[/mm] Möglichkeiten - man kann nämlich aus [mm]\left\{ 1, 2 , 3 , \ldots , m+1 , m+2 \right\}[/mm] noch [mm]m[/mm] Elemente auswählen.
...
Oder es kann [mm]m+n+1[/mm] die größte Zahl sein:
Dafür gibt es [mm]{{m+n} \choose m}[/mm] Möglichkeiten - man kann nämlich aus [mm]\left\{ 1, 2 , 3 , \ldots , m+n-1 , m+n \right\}[/mm] noch [mm]m[/mm] Elemente auswählen.
Die Sortierung nach dem jeweils größten Element bei der Auswahl der [mm]m+1[/mm] Elemente aus [mm]A[/mm] führt zu disjunkten Kategorien. Deshalb darf man die Anzahlen addieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Ronin |
hmmmm ok sorry wenn ich das sagen muss aber ich bin eigentlich fast genau so schlau wie vorher...
Fangen wir doch mal so an was ich in meiner ersten fragen aufgestellt habe (die umformung in die fakultäten) ist die richtig????
Ich dachte eigentlich ich sollte das ganze mit vollst Induktion Beweisen oder geht das hier nicht?
irgendwo muss doch ein fehler sein weil ja schon für n=1 rechts und links nicht das selbe steht....
Danke trotzdem
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
> hmmmm ok sorry wenn ich das sagen muss aber ich bin
> eigentlich fast genau so schlau wie vorher...
>
> Fangen wir doch mal so an was ich in meiner ersten fragen
> aufgestellt habe (die umformung in die fakultäten) ist die
> richtig????
>
> Ich dachte eigentlich ich sollte das ganze mit vollst
> Induktion Beweisen oder geht das hier nicht?
Ich denke schon, dass das mit Induktion zu machen ist...
> irgendwo muss doch ein fehler sein weil ja schon für n=1
> rechts und links nicht das selbe steht....
Sieh dir mal meine Antwort hier an.
Viele Grüße
Bastiane
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Natürlich kannst du den Beweis mit vollständiger Induktion führen - und Bastiane hat dich weiter unten auf deinen Rechenfehler hingewiesen.
Der Beweis, den ich in meinem ersten Beitrag gemacht habe, ist aber wesentlich eleganter, weil er sozusagen ohne jede Rechnung, allein durch eine kombinatorische Überlegung, das Ergebnis liefert. Man kann ihn auch noch wesentlich kürzer fassen, ich habe ihn nur zur besseren Verständlichkeit so ausführlich hingeschrieben.
Du solltest ihn wirklich einmal genau durchdenken. Damit lernst du mehr als mit rein formalen Umformungen von Binomialkoeffizienten und Fakultäten. Natürlich hat auch das seinen Reiz - ich will das nicht bestreiten ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Ronin |
Hallo habs mir jetzt nochmal angeschaut und ich komm einfach net weiter
Induktionsanfang ist jetzt klar (hatte ja nur die Minusklammer vergessen)
aber mit dem rest komm ich net durch
umgeformt sieht die aufgabe doch so aus
[mm] \summe_{k=0}^{n}((m+k)!/(k!*m!))=(((m+n+1)!)/(n!*(m+1)!))
[/mm]
Mein unduktionsschritt wäre dann doch
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}((m+k)!/(k!*m!))= \summe_{k=0}^{n}((m+n)!/(n!*m!))+(((m+n+1)!)/((n+1)!*m!)) [/mm] = (((m+n+2)!)/((n+1)!*(m+1)!))
oder??
Naja und wenn ich das dann umforme
dann steht da
(((m+n+1)!)/(n!*(m+1)!))+(((m+n+1)!)/((n+1)!*m!))
und dann
(((n+1)(m+n+1)!+(m+n+1)!*(m+1))/((m+1)!*(n+1)!))
aber damit komm ich doch niemals auf
(((m+n+2)!)/((n+1)!*(m+1)!))
und das ist doch zu zeigen
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Hallo Ronin,
>
> (((n+1)(m+n+1)!+(m+n+1)!*(m+1))/((m+1)!*(n+1)!))
>
> aber damit komm ich doch niemals auf
>
> (((m+n+2)!)/((n+1)!*(m+1)!))
>
> und das ist doch zu zeigen
Was ist bitte ((n+1)+(m+1)) (m+n+1)! ?
Gruß
MathePower
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Hallo!
> Also ich blicks net
>
> Ich soll beweisen dass
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{m+k \\ m}[/mm] = [mm]\vektor{m+n+1 \\ m+1}[/mm]
>
>
> Wenn ich nun also versuche das für nen beliebigen wert
> auszurechnen
> komme ich auf sowas da ja [mm]\vektor{n \\ k}=n!/((n-k)![/mm] k!)
>
> erstmal umgeschrieben ist das doch
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}((m+k)!/(k!m!))=(m+n+1)!/((n+2)!(m+1)!)[/mm]
>
> oder nicht??
Es gilt doch aber [mm] \vektor{m+n+1 \\ m+1} [/mm] = [mm] \bruch{(m+n+1)!}{(m+1)!(m+n+1-(m+1))!} [/mm] = [mm] \bruch{(m+n+1)!}{(m+1)!n!}
[/mm]
> für n=1
Wieso fängst du bei 1 an? Der Induktionsanfang wäre hier n=0.
> m!/m! +((m+1)!/m!)=(m+2)!/(3!*(m+1)!)
>
> tja und das ist doch nich das selbe
Und dann stimmt es, oder?
Viele Grüße und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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